§ 7. Векторное произведение векторов и его свойства
7.1. Определение векторного произведения
Три некомпланарных вектора , и , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 7.1).
Рис. 7.1.
Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который:
1)
перпендикулярен векторам
и
,
т. е.
и
;
2) имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (см. рис. 7.2), т. е.
,
где
;
Рис. 7.2.
3) векторы , и образуют правую тройку.
Векторное
произведение обозначается
или
.
Из определения
векторного произведения непосредственно
вытекают следующие соотношения между
ортами
,
и
(см. рис. 7.3):
,
,
.
Докажем, например, что .
Рис. 7.3.
,
;
,
но
;векторы , и образуют правую тройку (см. рис. 7.1).
7.2. Свойства векторного произведения
Свойство
1. При
перестановке сомножителей векторное
произведение меняет знак, т. е.
(см. рис. 7.4).
Рис. 7.4.
Доказательство.
Векторы
и
коллинеарные, имеют одинаковые модули
(площадь параллелограмма остается
неизменной), но противоположно направлены
(тройки
,
,
и
,
,
противоположной ориентации). Стало
быть,
.
Свойство
2. Векторное
произведение обладает сочетательным
свойством относительно скалярного
множителя, т. е.
.
Пусть
.
Вектор
перпендикулярен векторам
и
.
Вектор
также перпендикулярен векторам
и
(векторы
,
лежат в одной плоскости). Значит, векторы
и
коллинеарные. Очевидно, что и направления
их совпадают. Имеют одинаковую длину:
и
.
Поэтому
.
Аналогично доказывается при
.
Свойство
3.
Два ненулевых вектора
и
коллинеарные тогда и только тогда, когда
их векторное произведение равно нулевому
вектору, т. е.
.
Если
,
то угол между ними равен
или
.
Но тогда
.
Значит,
.
Если же
,
то
.
Но тогда
или
,
т. е.
.
В
частности,
.
Свойство
4. Векторное
произведение обладает распределительным
свойством:
.
Примем без доказательства.
7.3. Выражение векторного произведения через координаты
Мы будем использовать таблицу векторного произведения векторов , и :
Чтобы не ошибиться со знаком, удобно пользоваться схемой: если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает — третий вектор берется со знаком «минус».
Пусть
заданы два вектора
и
.
Найдем
векторное произведение этих векторов,
перемножая их как многочлены (согласно
свойств векторного произведения):
т. e.
(7.1)
Полученную формулу можно записать еще короче:
,
(7.2)
так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки. Равенство (7.2) легко запоминается.