Методическое пособие 780

При движении идеальной жидкости механическая энергия не теряется – вязкое трение, которое в реальной жидкости переводит механическую энергию в теплоту, отсутствует. Поэтому удельная механическая энергия остается постоянной вдоль элементарной струйки, что приводит снова к уравнению (2.16).

Рассмотренный вывод показывает, что уравнение Бернулли выражает собой закон сохранения и взаимного преобразования механической энергии при движении идеальной жидкости. В этом смысле оно имеет фундаментальное значение для гидромеханики; уравнения (2.14) и (2.15) часто называют уравнениями энергии.

Измерение полного напора. Трубка Пито. Скоростной напор измеряется с помощью трубки Пито (рис. 7, а), представляющей собой трубку Д , изогнутую открытым концом

навстречу потоку. У открытого конца трубки обтекающая его струйка раздваивается, скорость здесь равна нулю. Кинетическая энергия струйки в этом сечении полностью переходит в приращение потенциальной энергии давления. Применяя уравнение Бернулли (2.17) к двум сечениям струйки, одно из которых относится к невозмущенному потоку с параметрами v и p , а второе – к входу в трубку Пито, имеем

v2 p p0 ,

2g

отсюда разность высот столбов жидкости, уравновешивающих разность давления p0 и p , равна

71

Превышение давления p0 над статическим давлением p называется динамическим давлением потока pд . Очевидно, что оно равно

в)

Рис. 2.7. Способы измерения полного напора

Таким образом, скоростной напор равен разности высот жидкости в трубке Пито и пьезометре, установленном в том же сечении (разумеется, предполагают, что возмущения, которые вносит в поток трубка Пито, оказывают пренебрежимо малое влияние на давление, измеряемое пьезометром П ).

Трубка Пито широко применяется для измерения скоростей в потоке и, наоборот, для определения скорости тела (корабля, самолета) относительно неподвижной жидкости. Разность динамического и статического давления измеряют обычно с помощью дифференциального манометра, присоединенного к трубке Пито и пьезометру и заполненного жидкостью большего удельного веса (рис. 2.7, б). Для измерения динамического давления,

72

а следовательно, и скорости потока часто используется трубка Пито-Прандтля (рис. 2.7, в), представляющая собой комбинацию датчиков динамического давления (трубка Д ) и статического давления (отверстия П ).

2.2.6. Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

Уравнение Бернулли для струйки. Основным уравне-

нием гидродинамики является уравнение Д. Бернулли, устанавливающее связь между давлением p , Па в жидкости и скоро-

стью ее движения U , м/c.

Уравнение Д. Бернулли, записанное для двух произвольно взятых сечений элементарной струйки (скорости в различных точках сечения элементарной струйки одинаковы, а сама струйка с течением времени не изменяет своей формы) идеальной несжимаемой жидкости имеет вид

где z – геометрическая высота, или геометрический напор, м;

напор, м;

U 2

2g – скоростная высота, или скоростной напор, м.

Термин высота применяется при геометрической, а напор – при энергетической интерпретациях уравнения Д. Бернулли. Трехчлен вида

73

называется полным напором, под которым понимают удельную энергию жидкости, отнесенную к единице силы тяжести. Первые два члена представляют собой удельную потенциальную энергию жидкости, а третий член кинетическую энергию.

Энергетический смысл уравнения Д. Бернулли заключается в том, что для элементарной струйки идеальной жидкости полный напор, т.е. сумма геометрического, пьезометрического и скоростного напоров, есть величина постоянная во всех ее сечениях, т.е.

Таким образом, уравнение Д. Бернулли выражает закон сохранения механической энергии движущейся жидкости, которая может иметь три формы: энергия положения, энергия давления и кинетическая энергия.

С геометрической точки зрения уравнение Д. Бернулли может быть сформулировано так: для элементарной струйки идеальной жидкости сумма трех высот – геометрической, пьезометрической, скоростной – есть величина постоянная вдоль струйки. При этом члены уравнения Д. Бернулли имеют следующий физический смысл:

Z – расстояние от произвольно выбранной горизонтальной плоскости сравнения до центра тяжести рассматриваемого сечения объекта (например, трубопровода), м;

P – пьезометрическая высота такого столба жидкости, ко-

торый у своего основания создает давление p , равное давлению в рассматриваемом сечении элементарной струйки, м;

U 2

2g – высота, с которой должно упасть в пустоте тело,

чтобы приобрести скорость U , м/c.

При геометрической интерпретации уравнения Д. Бернулли вводится понятие пьезометрической и напорной линии.

74

пьезометрической линией. Линия, соединяющая сумму отрезков

кости это горизонтальная линия).

Если вместо идеальной жидкости рассматривать жидкость реальную (вязкую), в которой при движении происходят потери на сопротивления, то уравнение Д. Бернулли для двух сечений элементарной струйки реальной жидкости примет вид

где hw , м – потеря напора между рассматриваемыми сечени-

ями струйки 1 и 2, включающая в себя потери напора на преодоление сил трения ( hтр ) и потери напора на местных сопротив-

лениях ( hм ), т.е. hw hтр hм .

При переходе от элементарной струйки к потоку реальной (вязкой) жидкости, имеющему конечные размеры и ограниченному стенками, необходимо учесть неравномерность распределения скоростей по сечению, а также потери энергии. Уравнение Д. Бернулли для потока реальной жидкости имеет вид

где – коэффициент Кориолиса или коэффициент кинетической энергии;

V1 , V2 – соответственно средние значения скоростей по-

тока в сечениях 1 и 2, м/с.

Коэффициент Кориолиса представляет собой отношение действительной кинетической энергии потока в данном сечении

75

к величине кинетической энергии, вычисленной по средней скорости, и зависит от степени неравномерности распределения скоростей в поперечном сечении потока. Для ламинарного режима 2 , а для турбулентного режима 1,1.

Член hw в уравнении (2.24) учитывает потери напора на

преодоление сопротивлений движению жидкости между двумя сечениями потока.

Таким образом, уравнение Д. Бернулли свидетельствует о том, что по длине потока реальной жидкости полный напор уменьшается на величину потерь. Кроме того, по длине потока с увеличением скорости уменьшается давление (пьезометрический напор) и наоборот, с увеличением давления скорости уменьшаются.

Необходимо помнить, что существует три основных условия применимости уравнения Д. Бернулли:

1)движение жидкости должно быть установившимся;

2)расход между двумя рассматриваемыми сечениями дол-

жен быть постоянным Q const ;

3) движение жидкости в сечениях должно быть параллельноструйным.

Уравнение Д. Бернулли может быть изображено графически. Для этого по оси абсцисс откладывают расстояния между сечениями трубопровода, а по оси ординат – значения составляющих напора для этих же сечений. Обычно, чтобы иметь полную характеристику трубопровода, строят пьезометрическую и напорную линии.

Расстояние от пьезометрической линии до плоскости сравнения указывает в каждом сечении потока величину пьезометрического напора, а расстояния от линии полного напора до плоскости сравнения дают значения гидравлического напора в соответствующих сечениях трубопровода.

76

График полного напора является нисходящей линией, так как часть напора hw затрачивается на преодоление сопротив-

лений движению. Пьезометрическая линия может понижаться и повышаться.

При равномерном движении, т.е. когда средняя скорость на рассматриваемом участке во всех сечениях одинакова, напорные пьезометрические линии представляют собой взаимно параллельные прямые.

Уравнение Бернулли для потока. Применяя уравнение Бернулли к струйке реальной жидкости, необходимо учесть, что полная механическая энергия не остается постоянной вдоль струйки: она постепенно переводится в теплоту процессами вязкого трения. Эту потерю механической энергии на участке струйки между двумя сечениями учитывают введением в пра-

вую часть уравнения (2.17) слагаемого hw – потери напора (по-

тери удельной механической энергии). При наличии потерь гидродинамическая линия E E на диаграмме уравнения Бернулли (в соответствии с рисунком 2.6) не горизонтальна: она по-

нижается вниз по течению. Отношение потерь напора hw к длине струйки l называется гидравлическим уклоном

Переходя к потоку жидкости (такому, как в трубе или канале), естественно для расчета скоростного напора использовать среднюю скорость vср . Для определения средней скорости

по скоростям отдельных струек используется формула (2.3). Однако, если скорости струек в сечении неодинаковы (например, замедляются у стенок трубы вследствие трения), то расчет кинетической энергии по средней скорости vср приведет к зани-

женным результатам по сравнению с расчетом суммарной кинетической энергии отдельных струек. (Это происходит потому,

77

что скорость входит в член, учитывающий кинетическую энергию, в степени выше первой.) Такое затруднение преодолевают введением в кинетическую энергию, вычисленную по средней скорости, поправочного коэффициента 1 . Очевидно, что коэффициент неравномерности скоростей численно равен отношению суммарной кинетической энергии струек к энергии, вычисленной по средней скорости потока. В итоге уравнение Бернулли для вязкой жидкости приобретает вид

В дальнейшем среднюю скорость будем обозначать через v без индексов.

Величина коэффициента возрастает с ростом поперечной неравномерности скоростей в сечении трубы. Для ламинарного течения в круглой трубе 2 , для турбулентного, в котором скорости мало меняются по сечению трубы, по опытным данным, 1,05...1,1.

Рассмотрим вопрос о выборе сечений потока, к которым можно применять уравнение Бернулли. Очевидно, что эти сечения нельзя выбирать в местах резкого поворота потока, так как из-за действия центробежной силы инерции в таком сечении давления распределены неравномерно; в пьезометре, присоединенном у вогнутой стенки поворота, высота столба жидкости окажется больше, чем у выпуклой стенки. Уравнение Бернулли можно применять только к тем сечениям потока, в которых давление подчиняется закону гидростатики (1.9).

Нельзя применять уравнение Бернулли и к сечениям, в которых резко возрастает поперечная неравномерность скоростей, например, в зонах расширения потока после диафрагмы или в месте соединения труб разных диаметров, где появляются противотоки и вихревые области. В таких сечениях невозможно достаточно точно определить коэффициент неравномерности скоростей .

78

Мы пренебрегли скоростным напором v02 ввиду малой ско-

2g

рости падения уровня в сравнении со скоростью истечения; жидкость считаем идеальной.

Как видим, скорость истечения идеальной жидкости равна скорости свободного падения тела в пустоте с высоты H . Если давление над поверхностью в баке и в пространстве, в которое вытекает струя, неодинаково, то из уравнения (2.27) следует

где p – разность давлений на уровне оси отверстия.

Из-за вязкого трения скорость струи оказывается несколько меньше теоретической. Влияние трения учитывают введением в формулу (2.28) коэффициента скорости истечения 1, так что

v 2gH 2p . (2.30)

По опытным данным, в автомодельной области истечения0,96, т.е. вязкое трение снижает скорость истечения на

4 %.

80