Методическое пособие 780

приближенно можно считать равными радиусу соответствующей окружности r , проведенному из оси камеры. Распределение скоростей оказывается близким к заданному формулой (6.4). Скорость сильно возрастает с приближением к оси камеры.

Рис. 6.4. Схема движения в спиральной камере

Возрастание скорости с приближением к оси спиральной камеры позволяет использовать ее в качестве циклонной установки для сепарации твердых частиц из газового потока центробежные силы; действующие на частицы при движении с большой скоростью по криволинейным траекториям, отбрасывают их к стенкам камеры.

Другое применение спиральной камеры так называемые рециркуляционные печи, используемые при термической обработке крупных поковок или отливок. Обрабатываемое изделие (садка) размещается у оси камеры. За счет большой скорости газов, обтекающих поверхность садки, происходит интенсивный теплообмен между потоком и поверхностью, что позволяет сократить сроки термообработки.

6.2. Функция тока и потенциал скорости

Уравнение линии тока. Вектор скорости частицы v направлен по касательной к линии тока s . Для плоского течения это показано на рис. 6.5. Пусть vx ,vy – проекции вектора скорости

на координатные оси. Из рис. 6.5 следует, что

211

cos vvx dxds , cos vvy dyds ,

где ds – элемент дуги линии тока.

Рис. 6.5. Линия тока при плоском течении

Составим производные пропорции

dx ds , dy ds , vx v vy v

откуда

dx dy

vx vy

(6.5)

Мы получили уравнение линии тока для плоского течения. В случае трехмерного (пространственного) потока уравнения линии тока выводятся аналогично и имеют вид

6.2.1. Функция тока для двухмерного течения

Дифференциальное уравнение линии тока плоского течения (6.5) может быть представлено в виде

Введем такую «функцию тока» x, y , полный дифференциал которой равен левой части выражения (6.7)

212

Поскольку на линии тока согласно формуле (6.7) d 0 ,

очевидно, что функция тока сохраняет вдоль линии тока постоянное значение.

Полный дифференциал функции двух переменных имеет вид

d dx dy .x y

Сравнивая это выражение с формулой (6.8), получаем, что производные функции тока определяются зависимостями

Сама функция тока может быть определена интегрированием выражения (6.9).

Контур поверхности тела, обтекаемого потоком идеальной жидкости, сам является линией тока: в некоторой «критической» точке набегающий поток раздваивается и огибает тело. Следовательно, на обтекаемой поверхности функция тока постоянна. Но можно, наоборот, рассматривать любую линию тока как контур сечения твердого тела. Действительно, если заменить область, ограниченную линией тока твердым телом, то остальные линии тока не изменятся (так как жидкость мы считаем идеальной, трение отсутствует). Они дают картину обтекания такого тела. В этом состоит принцип отвердения линий тока, широко применяемый в гидродинамике идеальной жидкости. Если, например, считать отвердевшими линии тока, показанные на рис. 6.6 по координатным осям x, y , то получится

картина течения внутри прямого угла.

213

Рис. 6.6. Линии тока

6.2.2. Потенциал скорости

Функцией скоростного потенциала или сокращенно – потенциалом скорости x, y,z называется такая функция, частные производные которой равны составляющим вектора скорости по соответствующим координатным осям

Полный дифференциал функции равен

d vx dx vy dy dz dz.

Сама функция скоростного потенциала определяется интегрированием выражения (6.11).

Введение потенциала скорости позволяет заменить векторное поле скорости течения (для изучения которого нужно знать три компоненты по координатным осям) распределением в пространстве одной скалярной функции , что значительно упро-

щает исследование. В механике твердого тела вводится аналогичное понятие «потенциала силы»; это скалярная функция,

214

производные от которой равны составляющим силы по координатным осям. Такую же природу имеет в электротехнике понятие потенциала электрического поля: вместо задания в пространстве векторной величины напряженности поля вводится скалярная функция потенциала V , производные от которой по координатным осям равны соответствующим компонентам вектора напряженности.

Придавая функции определенные значения, получим

уравнения поверхностей равного потенциала, или эквипотенциальных поверхностей (в случае двухмерного течения – линий равного потенциала, или эквипотенциалей).

Рассмотрим связь потенциала скорости и функции тока. В случае плоского (двухмерного) течения vz 0 ; дифференциал

функции тока выражается формулой (6.8), дифференциал функции скоростного потенциала, из равенства (6.11), формулой

d vx dx vy dy .

Пусть линия тока const такого течения представлена на рис. 6.7 сплошной линией, эквипотенциаль const – пунктирной линией.

Рис. 6.7. Линия тока

215

Проведем к этим линиям касательные в точке их пересечения A . Угол наклона прямой AB к оси абсцисс определится согласно уравнению (6.7) выражением

tg 1 dy vy , dx vx

угол наклона прямой AD выражением

tg 2 dx vx . dx vy

Очевидно, что tg 1tg 2 1 и угол между касательными

равен 90º.

Таким образом, функция тока и потенциал скорости

взаимно ортогональны; линии тока и эквипотенциали пересекаются всегда под прямым углом. Это позволяет по известным эквипотенциалям строить линии тока и наоборот. Семейства ли-

ний x, y const и x, y const , нанесенные на один чер-

теж, называются гидродинамической сеткой течения. Пример такой сетки приведен на рис. 6.6.

Сравнивая выражения для составляющих скорости плоского течения vx и vy через функцию тока (6.9) и функцию

В математике эти условия называются условиями Коши-Ри- мана. При их соблюдении оказывается возможным использовать для исследования функций и математический аппарат

теории функций комплексной переменной, который широко применяется в теории потенциального обтекания геометрически правильных тел.

216

Угловая скорость вращения жидкой частицы в плоском потоке определяется формулами (6.2). Если течение потенциально, т.е. существует некоторая функция скоростного потенциала , производные которой равны соответствующим компо-

нентам вектора скорости, то используя (6.10) имеем

Равенство нулю угловой скорости вращения свидетельствует о том, что потенциальное течение – безвихревое, т.е. вращение частиц в нем отсутствует. Как будет показано в дальнейшем, у твердых поверхностей, ограничивающих поток, вследствие вязкости всегда формируются зоны вращательных движений, поэтому вблизи стенок теория потенциального обтекания неприменима. Однако для изучения внешнего потока теория потенциала используется с большим успехом.

Применим к потенциальному течению несжимаемой жидкости уравнение неразрывности

vx vy vz 0 .x y z

Подставляя в него выражения для компонентов скорости через функцию скоростного потенциала (6.10), получаем

Это уравнение известно в математической физике под названием уравнения Лапласа. Таким образом, для нахождения функции , полностью определяющей кинематику потенциаль-

ного потока, необходимо решить уравнение Лапласа. Дифференциальное уравнение в частных производных

(6.13) имеет бесчисленное множество решений, поэтому должны быть заданы дополнительные (граничные) условия для данной конкретной задачи. К таким условиям относятся задание

217

скорости в удалении от обтекаемого тела v и условие равенства

нулю на поверхности тела нормальной составляющей скорости. При этом предполагается, что жидкость обтекает тело без отрывов. У поверхности тела скорость направлена по касательной (имеет место «скольжение» жидкости).

В силу того, что сумма любого числа частных решений уравнения Лапласа является также его решением, оказывается возможным суммировать потенциалы скорости простейших течений для получения картины сложного течения. В этом состоит идея метода наложения потенциальных потоков.

6.3.Вихревое движение жидкости

6.3.1.Интенсивность вихря

Угловая скорость вращения жидкого элемента выражается через производные скорости течения формулами (6.2). Угловой скорости при этом приписывается векторный смысл: по определению, это – вектор, нормальный к плоскости вращения частицы и ориентированный таким образом, что из его конца вращение кажется происходящим против часовой стрелки. Величина этого вектора равна геометрической сумме его компонен-

тов x , y , z

Как и всякий вектор, вектор угловой скорости имеет некоторое распределение в пространстве – «вихревое поле». Отметим, что в некоторых курсах гидромеханики удвоенную величину угловой скорости вращения называют «вихрем скорости» или «ротором скорости»; в частности, в случае плоского течения

rotz v 2 z vy vx .x y

218

Точно так же, как была определена линия тока, можно ввести понятие вихревой линии – это такая линия, в каждой точке которой вектор угловой скорости направлен по касательной к ней. Очевидно, вихревая линия представляет собой мгновенную ось вращения частиц жидкости, располагающихся на ней. Дифференциальные уравнения вихревых линий подобны уравнениям линии тока (6.6)

Вихревые линии, проведенные через все точки замкнутого элементарного контура, взятого в потоке (рис. 6.9), образуют вихревую трубку (аналог элементарной струйки, поверхность которой составлена из линий тока). Обозначим площадь нормального сечения вихревой трубки через dF , и будем считать угловую скорость вращения постоянной по ее сечению.

Рис. 6.9. Вихревая трубка

Интенсивностью dJ элементарной вихревой трубки называется удвоенное произведение угловой скорости вращения на

Интенсивность вихревой трубки конечных размеров, для которой нельзя пренебрегать изменением угловой скорости по сечению, равна

J dJ 2 dF 2 ср F ,

F F

где ср – средняя величина угловой скорости по сечению F вихревой трубки.

219