Методическое пособие 780

прямоугольник с элементарными сторонами dx, dy площадью dF dxdy . Вычислим циркуляцию по этому элементарному контуру. Она складывается из четырех частей

Таким образом, циркуляция оказалась равна интенсивности вихря для вихревой трубки, натянутой на элементарный контур. Для контура, охватывающего вихревую трубку конечного сечения, циркуляция скорости определится аналогично

Нами получено доказательство теоремы Стокса: циркуляция по произвольному контуру равна сумме интенсивностей вихревых трубок, пронизывающих поверхность F , натянутую на этот контур. Таким образом, в безвихревом (потенциальном) течении циркуляция скорости по любому контуру равна нулю. Только при появлении вращательного движения в жидкости циркуляция становится отличной от нуля.

6.3.3. Теоремы о вихрях

Для вихревого движения идеальной жидкости справедливы следующие теоремы.

Кинематическая теорема Гельмгольца: интенсивность вихря не меняется по длине вихревой трубки.

Выберем на вихревой трубке конечных размеров произвольные сечения 1 и 2 (рис. 6.11). Проведем замкнутый контур ABCDEF по поверхности вихревой трубки. Очевидно, что циркуляция по этому контуру равна нулю, так как он вихревыми ли-

ниями не пронизывается, т.е. ГABCDEF 0 .

221

Рис. 6.11. Сечения в вихревой трубке

Из этой теоремы следует, что вихревая трубка не может закончиться в жидкости. Действительно, если F 0 , то для выполнения условия J 2 F const , необходимо, чтобы , однако, бесконечное увеличение угловой скорости вращения частиц невозможно вследствие действия вязкости. Поэтому вихревая трубка должна быть либо замкнута сама на себя, образуя вихревое кольцо (рис. 6.12, а), либо упираться концами в свободную поверхность жидкости или твердую стенку (рис. 6.12,

б,в).

Рис. 6.12. Различные типы вихревых трубок

222

Приведем теперь без вывода основную теорему о вихрях в идеальной жидкости.

Теорема Томсона: циркуляция по замкнутому жидкому контуру в идеальной несжимаемой жидкости, находящейся в поле действия силы тяжести, не меняется со временем.

Из теоремы Томсона следует, что в идеальной жидкости вихри не могут возникать и не могут уничтожаться; если в некоторый начальный момент времени движение было безвихревым, то оно останется безвихревым и в дальнейшем. В реальной жидкости вихри размываются с течением времени вследствие вязкости. Однако во многих практически важных случаях, например, при определении подъемной силы крыла влиянием вязкости можно пренебречь.

6.3.4. Поле скоростей, вызываемое вихревыми трубками

В ряде применений гидромеханики приходится сталкиваться с задачей определения скоростей движения жидкости, вызванного заданной системой вихрей. До сих пор мы решали обратную задачу: по известному полю скоростей находили вектор угловой скорости частиц потока (формулы (6.2) и (6.4).

Каждый из элементарных вихрей, составляющих вихревую систему, создает около себя поле скоростей, распространяющееся на весь поток, в том числе и на другие элементарные вихри системы. Выясним, какую скорость вызывает в произвольной точке потока одиночная вихревая трубка.

Пусть dl – элемент вихревой трубки; Г – циркуляция скорости по контуру, охватывающему эту трубку; – угол между касательной к элементу и радиусом-вектором r , проведенным в точку М , в которой определяется скорость (рис. 6.13). Скорость течения, вызываемая в этой точке элементом вихревой трубки, определяется формулой Био-Савара, которую приводим без вывода

223

Рис. 6.13. Схема для определения поля скоростей

В теоретической электротехнике закон Био-Савара определяет действие элемента проводника, по которому течет ток, на единичный магнитный полюс, помещенный в точку М . При этом сила тока в проводнике является аналогом циркуляции Г , а сила воздействия на магнитный полюс – аналогом индуцируемой скорости. Индуцируемая скорость dv направлена перпендикулярно плоскости, содержащей отрезки dl и r , в сторону циркуляции.

Применим формулу Био-Савара для вычисления скорости, индуцируемой в некоторой точке М (рис. 6.13) бесконечной вихревой трубкой с прямолинейной осью, отстоящей от точки

Скорость, вызываемая в точке М всей вихревой трубкой определится интегрированием полученного выражения в пределах от 0 до

224

В двухмерном безвихревом циркуляционном течении рас-

пределение скоростей определяется формулой (6.4): v const . r

Сравнивая это выражение с равенством (6.22), убеждаемся, что одиночная вихревая трубка порождает в окружающей жидкости поле скоростей, характерное для безвихревого циркуляционного течения. При этом константа в равенстве (6.4) может быть

представлена через циркуляцию: const 2Г . Это обстоятель-

ство позволяет определять величину циркуляции Г в плоском циркуляционном течении (или около одиночной вихревой

трубки). Действительно, если задана скорость vl на одной из

концентрических линий тока, расположенной на расстоянии r от оси вихревой трубки, то циркуляция

Гvl dl vl dl 2 rvl .

6.4.Обтекание тел идеальной жидкостью

6.4.1.Распределение давления по поверхности обтекаемого

тела

Исследуем обтекание тела произвольной формы равномерным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Пусть вдали от тела, где поток можно считать невозмущенным, скорость те-

чения равна v , давление p . Будем рассматривать плоский го-

ризонтальный поток, что избавит нас от необходимости учитывать распределение скоростей и давлений по координате z .

Применим уравнение Бернулли к струйке, проходящей по поверхности обтекаемого тела (рис. 6.14). Выберем сечение

225

этой струйки «на бесконечности», где не сказывается искажающее влияние на поток обтекаемого тела, и в некоторой точке на поверхности тела, где скорость равна v , а давление p . Имеем

Рис. 6.14. Схема для определения давления

Из уравнения Бернулли непосредственно следует

носит название коэффициента давления.

На поверхности обтекаемого тела величина коэффициента давления определяется скоростью течения в данной точке, т.е. тем возмущающим действием, которое оказывает на поток помещенное в него твердое тело (рис. 6.14). В передней «критической» точке A , где раздваивается набегающий поток, скорость

226

равна нулю, и вся кинетическая энергия потока идет на повышение давления. Давление здесь превышает p на величину ди-

v2

намического давления 2 .

В области утолщения обтекаемого тела (у «миделя»), где скорость вследствие поджатия потока превышает v , коэффици-

ент давления отрицателен, и p p . В случае особенно резкого

падения давления в точке B могут даже возникнуть разрывы потока. В несжимаемой жидкости при падении p до давления

парообразования может начаться процесс кавитации. Возрастание давления в кормовой области, связанное с

уменьшением скорости течения, полностью компенсирует избыток давления в носовой части. Поэтому при обтекании тела идеальной жидкостью равнодействующая сил давления в направлении потока равна нулю (парадокс Даламбера). В вязкой жидкости имеет место сила сопротивления, обусловленная касательными напряжениями по поверхности обтекаемого тела и недостаточным возрастанием давления в кормовой области вследствие образования там вихревой зоны.

6.4.2. Теорема Жуковского

Мы установили, что при обтекании тела идеальной жидкостью сила сопротивления, направленная по потоку, равна нулю. Однако в этом случае возможно существование сил, перпендикулярных направлению течения.

Предположим, что в плоскопараллельный поток со скоростью v помещено тело произвольных очертаний, например в

форме одиночного крылового профиля (рис. 6.15). Вблизи тела течение окажется заметно возмущенным; появляются добавки к

скорости v , которые мы обозначим через v , v . Скорость ре-

x y

зультирующего течения оказывается равной

227