Методическое пособие 780

(волны) уплотнения. Величины вектора скорости для линии тока, пересекающей волны уплотнения, находят по диаграмме характеристик путем перемещения по эпициклоиде диаграммы характеристик в сторону меньших скоростей (отрезок AB на рис. 4.11). Следует иметь в виду, однако, что если несколько линий уплотнения пересекаются, то в этом месте параметры газа и скорость течения меняются прерывно – образуется скачок уплотнения, в котором процесс сжатия газа становится необратимым – механическая энергия теряется. При малой интенсивности скачка еще допустимо применение диаграммы характеристик для приближенного расчета скорости после волны уплотнения, но в случае сильных скачков ошибки становятся значительными.

181

догоняет основание, и в последовательные моменты времени t1 ,t2 ,t3 возрастание давления в волне сжатия становится все бо-

лее резким. Наконец, на некотором расстоянии от поршня возникает ударная волна – прерывное изменение давления, в котором параметры газа меняются очень резко на расстоянии порядка длины свободного пробега молекулы, т. е. при нормальных условиях — порядка микронов. Ударная волна движется в

газе со скоростью v1 , превышающей скорость звука.

Сзади поршня по трубе распространяется волна разрежения P . Скорость распространения гребня волны разрежения

равна a0 , тогда как скорость основания меньше — здесь сказы-

вается охлаждение газа и его течение за поршнем. Поэтому волна разрежения делается все более пологой; ударные волны возможны только в волнах уплотнения.

Прерывное изменение параметров газа и скорости течения наблюдается также и при обтекании неподвижного тела сверхзвуковым потоком. Если, например, обтекаемое тело имеет спереди затупленную форму, то торможение газа в лобовой части приводит к появлению здесь области дозвуковых скоростей. Волны повышения давления от тела распространяются в этой области дозвуковых скоростей и навстречу потоку, но на сравнительно небольшое расстояние — до скачка уплотнения, расположенного перед телом. В скачке уплотнения сверхзвуковая скорость потока прерывно переводится в дозвуковую. До перехода через скачок сверхзвуковой поток остается невозмущенным — волны давления от обтекаемого тела распространяются со скоростью звука, а скорость потока ее превышает.

Если система координат связывается с областью прерывного сжатия газа (или с обтекаемым телом, относительно которого она неподвижна), то эта область прерывного изменения параметров газа называется скачком уплотнения. Сквозь него про-

текает газ, имея сверхзвуковую скорость v1 на входе и v2 v1 v

на выходе. Температура, давление и плотность в скачке мгновенно возрастают.

183

Если система координат связана с неподвижным газом, в котором распространяется со сверхзвуковой скоростью область прерывного сжатия, то эта область называется ударной волной. Физические процессы, происходящие в скачке уплотнения и в ударной волне, одинаковы, поэтому иногда оба эти названия применяют для одного и того же явления (например, скачок уплотнения перед затупленной передней частью тела называют «головной ударной волной».

5.1.2. Изменение параметров газа в прямом скачке

Прерывное уплотнение сжатия, которое расположено по нормали к вектору скорости (рис. 5.2) называется прямым скачком уплотнения.

Рассмотрим движение газа через прямой скачок уплотнения. Исходные уравнения:

- уравнение неразрывности имеющее в данном случае вид

денных уравнений могут быть определены три остальные: v2 ,P2 , 2 .

Приведем основные результаты совместного решения исходных уравнений.

184

волны – это скорость, которую газ имеет за ударной волной; на рис. 5.1 скорость движения газа вместе с поршнем). Из соотношения (5.4)

Рис. 5.3. Зависимость p2 p1 p1 и 2 1 1 от безразмерного отношения скоростей

186

Из равенств (5.4)-(5.7) следует, что изменение параметров на скачке тем резче, чем больше 1 , т.е. его интенсивность усиливается с ростом сверхзвуковой скорости на входе в скачок. На

по оси абсцисс отложены также соответствующие значения чисел M .

5.1.3.Ударная адиабата. Рост энтропии и потеря давления

впрямом скачке

Безразмерная скорость газа – величина ограниченная. Действительно,

Поэтому возрастание плотности в скачке уплотнения (5.7) оказывается ограниченным

Для воздуха k 1,4 возможно максимальное уплотнение

в скачке в 6 раз. В то же время известно, что при обратимом (изоэнтропическом) адиабатном сжатии

p2 2 k , p

1 1

187

т.е. при возрастании давления плотность возрастает неограниченно.

Связь между давлением и плотностью в скачке может быть получена из совместного решения уравнений (5.5) и (5.6). Она называется ударной адиабатой или адиабатой Гюгонио (приведено без вывода)

На рис. 5.4 представлено изменение давления при изменении плотности воздуха для изоэнтропического сжатия и для сжатия в скачке уплотнения. Асимптота адиабаты Гюгонио показана пунктиром.

Рис. 5.4. Изменение давления при изменении плотности воздуха для изоэнтропического сжатия и для сжатия в скачке уплотнения

Как известно из термодинамики, при теплообмене между телами, входящими в систему, энтропия системы возрастает. При течении газа без скачков теплообмен между частицами пренебрежимо мал, движение изоэнтропическое. В то же время процесс сжатия газа в скачке уплотнения не изоэнтропический, энтропия в скачке нарастает. Это происходит вследствие передачи тепла от уплотненного и нагретого объема газа к не-

188

возмущенному газу процессами теплопроводности; температура в скачке резко меняется на очень малом расстоянии толщины ударной волны, порядка микронов.

Доля кинетической энергии частицы газа единичной массы, Дж/кг, равная

v12 v22 ,

2

переходит в тепловую энергию. Однако при расширении

не полностью преобразуется снова в кинетическую. Потери механической энергии характеризуются коэффициентом восстановления давления , равным отношению давлений торможения за скачком и до скачка

Коэффициент восстановления давления приходится вводить, например, при измерении скорости сверхзвукового потока трубкой Пито (рис. 2.7, б): в скачке уплотнения, который появляется перед трубкой, происходят потери давления. Отметим, что температура торможения, характеризующая полную энергию газа, одинакова для изоэнтропического и скачкового сжатия. Действительно, при переходе через скачок уменьшается механическая энергия частиц газа и возрастает их внутренняя (тепловая) энергия. Полная же энергия, мерой которой является температура торможения, остается неизменной.

Параметры газа за прямым скачком и величины коэффициента восстановления давления приводятся в таблицах прямых скачков облегчающих решение задач.

Важное практическое значение имеют прямые скачки в расширяющейся части сопла Лаваля (рис. 5.5). Эти скачки появляются в случае нерасчетного истечения при достаточно большом противодавлении на выходе из сопла. В прямом скачке скорость

189

переходит в дозвуковую и резко растет давление; если, например, скачок занимает положение 1-1, давление в расширяющейся части сопла изменяется по линии KABC (кривая 1). При дальнейшем возрастании противодавления скачок приближается к наименьшему сечению сопла, давление изменяется по кривым 2, 3, 4. Наконец, если противодавление достаточно велико, течение в сжатом сечении сопла становится дозвуковым, давление изменяется по кривой 5, скорость по кривой 1.

Рис. 5.5. Прямые скачки в расширяющейся части сопла Лаваля

5.2.Косые скачки уплотнения

5.2.1.Возникновение косых скачков

Исследуем обтекание сверхзвуковым потоком ( v1 a , M1 1) острого клина. При малом растворе клина (рис. 5.6,

а) возмущение уплотнения, вносимое клином в поток, также невелико. В этом случае линия возмущения AB совпадает с характеристикой сверхзвукового потока, угол может быть определен по формуле

sin M11 .

190