Методическое пособие 780

Постоянную интегрирования C определим из условия на стенке v 0 при r r0 . Подставляя в выражение для v , получим формулу Пуазейля (1840)

Согласно формуле Пуазейля эпюра скоростей в поперечном сечении трубы имеет форму параболы (рис. 3.4). Максимальная скорость наблюдается при r 0 , здесь

Расход в трубе можно определить интегрированием по сечению трубы элементарных расходов, которые равны произведению скорости (3.10) на площадь элементарного кольца 2 rdr

101

получаем

Зависимость (3.16) для коэффициента трения при ламинарном течении в круглой трубе приведена в таблице 3.1. Она хорошо подтверждается результатами опытных данных.

3.3. Некоторые частные случаи ламинарного течения жидкости

3.3.1. Ламинарное течение жидкости в круглой трубе

Рассмотрим участок трубы длиной l расположенный достаточно далеко от входа и горизонтально, чтобы исключить влияние сил тяжести.

Рис. 3.5

Уравнение Бернулли для выбранных сечений будет иметь

вид

где hтр – потеря напора на трение. Тогда

102

В потоке жидкости выделим контрольный объём в форме цилиндра, как показано на рисунке, и составим уравнение равномерного движения его. Уравнение будет иметь следующий вид

Выразим касательное напряжение по закону Ньютона, т.е.

Знак минуса обусловлен тем, что направление отсчёта радиуса противоположное ранее принятому направлению отсчёта нормали. Получаем

Постоянную интегрирования определим из условий, заданных на стенке трубы, где при r r0 ; v 0.

103

И тогда получаем закон распределения скоростей по сечению круглой трубы при ламинарном течении, получаемый путём непосредственного интегрирования уравнений Навье-Стокса.

Среднее по сечению значение скорости будет

Формула (3.30) получена Пуазейлем экспериментально в 1840 г. Получим так называемый закон Пуазейля-Гагена, который используется для расчёта трубопроводов с ламинарным режимом течения. Приведём уравнение (3.30) к виду

104

С этой целью в формуле (3.30) заменим расход через про-

изведение 4d 2 vcp , после соответствующих преобразований бу-

дем иметь

Здесь следует обратить внимание, что hтр при ламинарном

течении пропорциональна скорости в первой степени, а квадрат скорости в формуле (3.32) получен искусственно.

Зная закон распределения скоростей по сечению трубы и закон сопротивления, легко определить значение для случая стабилизированного ламинарного течения жидкости в круглой трубе

Таким образом, можно показать, что импульс ламинарного потока с полученным законом распределения скоростей в раз

больше импульса того же потока, но с равномерным распределением скорости

105

Полученные соотношения хорошо подтверждаются экспериментально за исключением некоторых частных случаев.

3.3.2. Начальный участок ламинарного течения

Формирование параболического профиля скоростей на начальном участке ламинарного течения в круглой трубе под действием сил вязкости происходит как показано на рис. 3.6.

Рис. 3.6. Формирование параболического профиля скоростей на начальном участке ламинарного течения в круглой трубе

Расстояние от начала трубы, на котором происходит стабилизация параболического профиля скоростей, называется

начальным участком течения ( lнач. ). За пределом этого участка

мы имеем стабилизированное ламинарное течение. Для определения длинны начального участка используется формула Шиллера

106

Т.к. значение градиента скорости у стенки на начальном участке больше, чем на участке стабилизированного ламинарного течения, то сопротивление начального участка будет больше и составит

x

где k 1 и является функцией Re d , с увеличением которой он

уменьшается и при x lнач становится равным 1,09, т.е. сопро-

тивление всего начального участка на 9 % больше, чем сопротивление такого же участка трубы, взятого в области стабилизированного ламинарного течения.

3.3.3. Ламинарное течение жидкости в зазорах

Рассмотрим ламинарное течение жидкости в зазоре, образованном двумя параллельными твёрдыми стенками, расстояние между которыми равно a . Выделим контрольный объём жидкости в зазоре в форме прямоугольного параллелепипеда, как показано на рис. 3.7, и запишем условие его равномерного движения вдоль оси x

Рис. 3.7. Ламинарное течение потока в зазоре

107

А теперь получим значение расхода,

Получили параболический закон распределения скоростей

– течения Пуазейля. Следовательно, потеря давления через vcp выразится следующим образом

Рассмотрим случай, когда одна из стенок движется, а давление вдоль зазора постоянно. При этом возникает так называемое фрикционное безнапорное движение. Из уравнения равновесия элемента жидкости следует d 0 Тогда const . Из уравнения Ньютона получаем

108

Рис. 3.8. Случай с движущейся стенкой

Для определения постоянных интегрирования C и C1 ис-

Т.е. имеет место течения Куэтта. Если перемещение стенки происходит при наличии перепада давления, то закон распределения скорости как алгебраическая сумма ранее полученных выражений, а именно

Соответственно выражение для расхода будет иметь вид

109

Этими выражениями можно пользоваться и тогда, когда зазор образован двумя цилиндрическими поверхностями.

3.3.4. Течение с теплообменом

Выше были разобраны случаи изотермического течения, т.е. предполагалось постоянство температуры во всех точках потока. Если температура жидкости существенно отличается от температуры окружающей среды, то будет иметь место теплообмен с внешней средой, при этом температура жидкости и её вязкость не остаются постоянными, течение является неизотермическим и полученные выше выражения для hтр и Pтр нужда-

ются в уточнении.

Действительно, если температура окружающей среды ниже температуры жидкости в трубопроводе, то в пристеночных слоях температура жидкости будет ниже, а, следовательно, её вязкость будет больше, чем в основном ядре потока, где температура будет больше. В случае, когда температура окружающей среды будет выше температуры жидкости, будет иметь место обратная картина. Соответствующим образом будет меняться и гидравлическое сопротивление потока.

Таким образом, в результате теплообмена нарушается обычный параболический закон распределения скоростей. Как видно из нижеприведенного рисунка, охлаждение увеличивает неравномерность исходного изотермического течения ( 2 ) и сопротивление получается больше, а нагревание жидкости – уменьшает неравномерность распределения скоростей ( 2 ) и сопротивление будет меньше, чем в исходном потоке. Это является следствием изменения вязкости жидкости в пристеночных слоях в зависимости от температуры.

110