Методическое пособие 780

Рис. 3.23. Струйка жидкости, составляющей поток

струйки переместится в положение 1 2 .

Применим к выделенному участку струйки теорему об изменении кинетической энергии, согласно которой работа сил, приложенных к телу, равна изменению кинетической энергии этого тела.

Такими силами в нашем случае будут:

- силы давления, действующие нормально к поверхности рассматриваемого участка струи, работа которых равна в сечениях 1-1 и 2-2 соответственно

-силы давления, которые действуют на боковых участках струи, работы не производят, т.к. они нормальны к направлению перемещения;

-работа силы тяжести будет равна изменению потенциаль-

ной энергии положения участка струи. Так как веса отрезков 11 и 2 2 согласно уравнению неразрывности равны между собой т.е.

v1dS1dt v2dS2dt G ,

141

то работа сил тяжести выразится как произведение разности высот участков на их вес

z1 z2 G ;

-удельную работу сил инерции, так называемый инерционный напор, обозначим в общем случае Hин .

Чтобы подсчитать приращение кинетической энергии рассматриваемого участка струи за время dt, необходимо из кинетической энергии объёма 1-2 вычислить кинетическую энергию объёма 1 2 . В результате будем иметь

G

v22 v12 2 g .

Сложив удельную работу сил давления, сил тяжести и инерционных сил и приравняв эту сумму к приращению удельной кинетической энергии системы будем иметь

Для вязкой жидкости с учётом потерь и неравномерности распределения поля скоростей в сечении будем иметь

где 1 и 2 - безразмерные коэффициенты, учитывающие не-

равномерность распределения скоростей в контрольных сечениях и равные

v3dS

h - суммарные потери удельной энергии (напора) на участке между рассматриваемыми сечениями.

142

А теперь рассмотрим конкретные виды инерционного напора для следующих основных случаев относительного дви-

жения жидкости Hин .

3.7.2. Прямолинейное равноускоренное движение русла

Если русло, по которому течёт жидкость, движется прямолинейно с постоянным ускорением a , м/с2, то на все частицы жидкости действует постоянная одинаковая во времени сила инерции переносного движения. Удельное значение этой силы, отнесенное к массе, будет равно ускорению и направлено в сторну, обратную ускорению. Соответственно на каждую еди-

ницу веса будет действовать сила инерции равная 1g a . Тогда ра-

бота этой силы будет равна Hин ag La , где La – проекция

рассматриваемого участка русла между сечениями на направление ускорения.

При этом необходимо пользоваться для Hин следующим

правилом знаков, если ускорение направлено от 1 к 2, то сила инерции препятствует перемещению и должна входить в правую часть уравнения Бернулли со знаком , т.е в этом случае инерционный напор будет оказывать действие на поток аналогично гидравлическим потерям, которые всегда имеют знак в правой части.

3.7.3. Вращение русла вокруг вертикальной оси

Пусть русло, по которому движется жидкость, вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью .

Тогда на жидкость будет действовать сила инерции вращательного движения, являющаяся функцией радиуса, а поэтому для подсчёта работы этой силы необходимо применить интегрирование.

143

На единицу веса будет действовать сила инерции 2 r . Ра- g

бота этой силы при перемещении вдоль радиуса на расстоянии

Знак инерционного напора, который получаем после интегрирования соответствует изложенному выше правилу знаков.

3.7.4. Движение жидкости в условиях невесомости

Это движение характерно тем, что результирующая массовых сил, действующих на каждую частицу жидкости, равна нулю, т.к. сила тяжести уравновешивается инерционной силой переносного движении, следовательно, в исходном уравнении Бернулли, необходимо положить

Жидкость, которая находится в условиях невесомости, теряет способность образовывать сводную поверхность раздела с газообразной средой обычной формы. При этом в баке образуется двухфазная среда, возможен также случай, когда газ сосредотачивается в центре бака в виде ядра сферической формы, а жидкость обволакивает всю внутреннюю поверхность бака. Поэтому в условиях невесомости необходимо избегать непосредственного контакта между жидкостью и газом.

При отсутствии контакта между жидкостью и газом течение жидкости по трубопроводам под действием перепада давления в условиях невесомости будет отличаться от течения в

144

обычных условиях лишь отсутствием влияния разности нивелирных высот z2 . В случае же больших перепадов давления и при течении в замкнутых трубопроводах никакого различия между течениями в условиях невесомости и в обычных условиях не будет.

Дополнительно отметим, что истечение жидкости через отверстия и насадки под достаточно большим напором в газовую среду при невесомости также не имеет каких-либо существенных особенностей, т.е. истечение жидкости через форсунку и распыливание её в камере сгорания ЖРД.

3.7.5. Неустановившееся течение жидкости в трубах

Рассмотрим два частных случая:

-неустановившееся движение жидкости в трубе постоянного сечения;

-неустановившееся течение жидкости в трубопроводе, составленном из ряда последовательно соединённых труб разных диаметров

Труба произвольно расположена в пространстве, параметры указаны на рис. 3.24.

Жидкость движется с ускорением, которое может быть переменным во времени и равным

для всех сечений трубопровода.

Будем полагать, что распределение скоростей по сечениям равномерное, а потери на трение отсутствуют.

145

Рис. 3.24. Труба с произвольным расположением в пространстве

Выделим в жидкости элементарный контрольный объём и составим уравнение его движения

где hин – инерционный напор, обусловленный ускорением (торможением) жидкости в трубе.

146

При наличии гидравлических потерь они по аналогии с уравнением Бернулли записываются в правой части полученного уравнения.

Это уравнение справедливо для трубы с d const . Еcли трубопровод состоит из нескольких участков с различными d,

то hин должен быть найден как сумма hин для различных

участков, при этом ускорение определяется согласно выражению

Кроме того, в этом случае необходимо учитывать скоростные напоры в начальном и конечном сечениях трубопровода.

Таким образом, уравнение неустановившегося течения жидкости примет вид

Уравнение в таком виде находит широкое применение в расчётах самолётных гидросистем и систем питания жид- костно-ракетных двигателей.

3.7.6. Гидравлический удар в трубах

Гидроудар есть колебательный процесс, возникающий в упругом трубопроводе с малосжимаемой жидкостью при внезапном изменении её скорости или давления. Процесс быстротечен и характерен чередованием резких повышений и понижений давления, которое связано с упругими деформациями жидкости и стенок трубопровода.

147

Опишем физику явления гидравлического удара, который чаще всего возникает в результате быстротечного закрывания или открывания крана другого устройства управления потоком.

Более подробное исследование этого явления было выполнено Н. Е. Жуковским [10].

На рис. 3.25 показан полный цикл гидравлического удара. В опытах Н.Е. Жуковского было зарегистрировано по 12 полных циклов с постепенным уменьшением Руд вследствие трения и

ухода энергии в резервуар.

Действительная картина протекания процесса во времени несколько отлична от представленной на рис.3.25. Во-первых, давление нарастает хотя и очень быстро, но не мгновенно, а его амплитуда несколько падает вследствие рассеивания энергии: в точке А непосредственно у крана и в точке В, находящейся на середине трубы.

Рис. 3.25. Полный цикл гидравлического удара

148

Рис. 3.26. Эпюра давлений

Величина Руд может быть найдена из условия, что кине-

тическая энергия жидкости переходит в работу деформации стенок трубы и деформацию жидкости.

Кинетическая энергия столба жидкости будет

Работа деформации составляет 0,5 произведения силы на удлинение

где – толщина стенок трубы.

149

Тогда

Получили выражение для работы деформации стенок трубы. Работу сжатия жидкости соответственно определим

E , т.е. для абсолютно жёсткой трубы приобретает вид

150