Методическое пособие 780

Очевидно, что для потока в трубе или канале необходимо постоянство расхода, вычисленного по средней скорости vср

В случае одномерного течения сжимаемой жидкости принцип неразрывности требует постоянства массового расхода, который равен произведению объемного расхода на плотность

Одномерное течение несжимаемой жидкости является предметом изучения гидравлики. В отличие от нее гидродинамика рассматривает более сложные двухмерные и трехмерные потоки, в которых скорость может изменяться в направлении двух или трех координатных осей.

2.2.2. Уравнение неразрывности для трехмерного течения несжимаемой жидкости

Выберем в потоке фиксированный в пространстве элементарный объем в форме параллелепипеда с ребрами dx,dy,dz (рис. 2.5). Пусть у левой грани этого объема составляющая скорости в направлении оси x равна vx . По достижении правой грани эта составляющая может измениться и стать равной

wx vx dx.

x

Через левую грань за единицу времени втекает внутрь параллелепипеда объем жидкости, равный произведению нор-

мальной составляющей скорости на площадь грани: vx dydz . Через правую грань вытекает объем

61

Суммарное поступление жидкости через левую и правую грани равно разности

Аналогично получим, что через грани, перпендикулярные оси y (задняя и передняя грани на рис. 2.5), суммарное поступ-

Через грани, перпендикулярные оси z (нижняя и верхняя на рис. 2.5), поступает объем

vz dxdydz .z

Рис. 2.5. Элементарный объем

Здесь vy , vz – составляющие скорости в направлении осей y,z . Если внутри параллелепипеда нет источников и стоков, т.е.

объем жидкости в нем не меняется, то суммарный расход через все грани равен нулю

62

Разделив последнее равенство на объем параллелепипеда dxdydz , получим уравнение неразрывности в дифференциальной форме

При выводе уравнения неразрывности мы не учитывали сжимаемости жидкости. В наиболее общем случае неустановившегося движения сжимаемой жидкости уравнение неразрывности имеет вид

2.2.3. Уравнения движения идеальной жидкости Эйлера

Идеальной жидкости, лишенной свойства вязкости, в природе не существует. Опыт показывает, однако, что при обтекании некоторых тел маловязкой жидкостью (такой, как вода, воздух) торможение из-за вязкого трения охватывает лишь тонкий пристенный слой. За пределами этого слоя вязкость оказывает пренебрежимо малое влияние на распределение скоростей и давлений. Поэтому для изучения внешнего потока возможно использовать методы динамики идеальной жидкости, что существенно упрощает задачу по сравнению с динамикой вязкой жидкости. Пренебрежение вязкостью помогает также решать в первом приближении задачи одномерного течения.

Вывод уравнений. Уравнения гидродинамики Эйлера выражают в применении к жидкой частице второго закона Ньютона: «Произведение массы частицы на ускорение равно действующей силе», т.е.

63

Здесь dvdt – производная вектора скорости по времени, или

ускорение; f – сумма сил, действующих на частицу массы

m .

Применим второй закон Ньютона к частице жидкости в форме параллелепипеда с малыми ребрами dx,dy,dz (рис. 2.5). Рассмотрим проекции записанного выше векторного равенства на координатные оси, причем начнем с проекции на ось x

dvx fx . dt m

Здесь vx и fx – составляющие скорости и силы по оси x . Масса m равна произведению плотности на объем частицы, или dxdydz . К силам, действующим на частицу, относится разность давлений на грани, перпендикулярные оси x . Если давление у левой грани (в соответствии с рис. 2.5) равно p , а у

правой грани p px dx (учтено возможное изменение давления

вдоль оси x ), то разность проекций сил давления на ось x составит

Кроме силы давления частица может испытывать действие в направлении оси x внешних объемных сил (например, силы тяжести или инерции). Если проекцию ускорения, создаваемого внешними силами в направлении оси x , обозначить через X ,

мс2 (рис. 2.5), то сама сила окажется равна произведению ускорения на массу частицы, т.е. X dxdydz , Н. Подставляя полученные величины в уравнение (2.10) и пользуясь аналогич-

64

ными рассуждениями для проекций ускорений и сил на координатные оси y,z , получим систему дифференциальных уравнений гидродинамики Эйлера

Здесь Y ,Z – проекции ускорения объемных сил на оси y,z .

Дифференциальные уравнения Эйлера показывают, что ускорение частиц (левые части записанных уравнений) обусловлено перепадом давления (первые члены правых частей) и действием внешних объемных сил. В реальной жидкости, если скорости распределены неравномерно, возникают еще касательные напряжения вследствие вязкости.

Если из внешних сил на движущуюся жидкость действует только сила тяжести с ускорением g , представляется целесооб-

разным выбрать систему координат так: плоскость xy располо-

жить горизонтально, а ось z направить вертикально вверх. Тогда уравнения Эйлера примут вид

Уравнения Эйлера (2.11) совместно с уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости (2.8) образуют систему

65

четырех уравнений, содержащую четыре неизвестных: vx , vy , vz , p . В случае сжимаемой жидкости (газа) к уравнениям Эй-

лера и неразрывности необходимо добавить еще уравнение, дающее связь между давлением и плотностью жидкости

f p .

Интегрируя полученную замкнутую систему уравнений при заданных граничных и начальных условиях, можно в принципе определить вектор скорости и давление в любой точке потока и в любой момент времени.

Граничные и начальные условия. Граничные условия при обтекании тела задают распределение скоростей вдали от тела, где не сказывается его искажающее влияние на поток, и на поверхности тела. Согласно принципу относительности движения, известному из механики, задача о движении тела в неподвижной жидкости (например, самолета, корабля) в динамическом отношении тождественна задаче об обтекании неподвижного тела равномерным потоком. Поэтому гидромеханика широко использует принцип «обращения движения». Граничные условия для обращенной задачи о движении тела в неподвижной жидкости обычно задаются следующим образом:

- условия «на бесконечности». В удалении от обтекаемого тела задаются давление p , направление и скорость v обтека-

ющего потока;

- условие «непроницаемости». Пусть n – нормаль к поверхности обтекаемого тела. Если жидкость через поверхность не протекает, то нормальная составляющая скорости равна

нулю vn 0 , и скорость течения на поверхности тела может

быть только касательной к ней.

Начальные условия характеризуют состояние потока в некоторый конкретный момент. При установившемся движении скорость и давление в данной точке не меняются во времени и начальные условия не задаются.

66

В общем случае пространственного (трехмерного) потока, когда скорость изменяется в направлении всех трех координатных осей, интегрирование системы уравнений движения и неразрывности встречает чрезвычайные математические трудности. Поэтому задача решается при внесении различных упрощающих предположений. Наиболее полно разработана теория одномерного движения. Для несжимаемой жидкости эта теория составляет основу гидравлики.

При одномерном течении граничные условия задают величины скорости и давления на сечениях, ограничивающих заданный участок струйки (потока).

2.2.4. Уравнение Бернулли для идеальной жидкости

Вывод уравнения. Пусть при установившемся движении идеальной жидкости из внешних сил на жидкость действует только сила тяжести. Такое движение описывается системой уравнений (2.12).

Проинтегрируем эту систему для некоторой линии тока. Для этого умножим уравнения (2.12) соответственно на dx,dy,dz и сложим. Получим

и точно так же

67

Поэтому левая часть уравнения (2.13) есть

Сумма в скобках, стоящая в правой части уравнения (2.13) есть полный дифференциал давления p . Выражение (2.13) приобретает вид

const . Проинтегрируем уравнение (2.14) вдоль элемен-

тарной струйки (в направлении вектора скорости v ). Получим уравнение Бернулли (1738)

более употребительную форму записи уравнения Бернулли

Из уравнения Бернулли следует, что при возрастании скорости в струйке уменьшается давление и наоборот.

68

рами. При движении идеальной жидкости сумма геометрической, пьезометрической высот и скоростного напора остается, согласно уравнению Бернулли, постоянной величиной вдоль элементарной струйки. Поэтому гидродинамическая линия

нения, расположена горизонтально.

Уравнение Бернулли легко вывести, пользуясь энергетическим подходом. Энергия частицы жидкости массы m , перемещающейся вдоль элементарной струйки, складывается из кине-

тической энергии mv2 и потенциальной. В свою очередь потен-

2

циальная энергия состоит из энергии положения mgz и энергии давления mg p . (Смысл этого последнего члена легко пояснить

следующими соображениями. Если к данному сечению струйки, где давление равно p , присоединить пьезометр, то ча-

стица с массой m поднимется в нем на высоту p , совершив против силы тяжести работу mg p . Эта работа и есть мера по-

тенциальной энергии давления.) Суммарная механическая энергия частицы равна

mv2 2 mg p mgz Дж .

Удельная, т.е. отнесенная к частице единичного веса, механическая энергия может быть получена из последнего выражения делением на mg

70