Методическое пособие 551

УДК 531(075.8)

ББК 22.21я7 О-451

Рецензенты:

кафедра материаловедения и индустрии наносистем Воронежского государственного университета (д-р физ.-мат. наук, проф. Б. М. Даринский);

д-р техн. наук, проф. А. С. Борсяков

Ожерельев, В. В.

Основы классической механики: учебное пособие

[Электронный ресурс]. – Электрон. текстовые и граф. данные (2,3 Мб) / В. В. Ожерельев, В. А. Юрьев – Воронеж: ФГБОУ ВО

«Воронежский государственный технический университет», 2019. О-451 – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM): цв. – Систем. требования: ПК

500 и выше; 256 Мб ОЗУ; Windows XP; SVGA с разрешением

1024x768; Adobe Acrobat; CD-ROM дисковод; мышь. – Загл. с

экрана.

ISBN 978-5-7731-0764-4

В учебном пособии рассматриваются основы классической механики: уравнения Лагранжа и примеры их применения, вариационный принцип Гамильтона, уравнения Гамильтона и Гамильтона-Якоби, движение твердого тела.

Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по направлению 22.03.01 «Материаловедение и технологии материалов» (профиль «Физическое материаловедение»), дисциплине «Теоретическая физика». Предназначено для студентов очной формы обучения.

Ил. 51. Библиогр.: 14 назв.

УДК 531(075.8)

ББК 22.21я7

Издается по решению учебно-методического совета Воронежского государственного технического университета

ISBN 978-5-7731-0764-4 © Ожерельев В. В., Юрьев В. А., 2019

©ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2019

2

ВВЕДЕНИЕ

Внастоящем учебном пособии изложены основы классической механики, знание которых является необходимой базой для изучения других разделов теоретической физики (электродинамики, квантовой механики, статистической физики), а также физики конденсированных сред. Пособие составлено на основе материалов книги Г. Голдстейна «Классическая механика», «Механики» Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица, «Курса теоретической физики» Г. Иоса и других учебников, перечисленных в библиографическом списке.

Впервой части пособия рассматриваются основы механики Ньютона и уравнения Лагранжа, вариационные принципы механики. Вторая часть посвящена применению уравнений Лагранжа к некоторым важным задачам, таким как одномерное движение, задача двух тел, движение в центральном поле, гармонические колебания. В третьей части рассматриваются канонические уравнения Гамильтона, уравнение ГамильтонаЯкоби. Наконец, четвертая часть посвящена движению твердого тела.

3

Часть I. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА

§ 1. Основные понятия и законы механики Ньютона

1.1. Основная задача механики. Кинематика материальной точки

Предметом механики является изучение движения материальных тел под действием приложенных к ним сил. Для формулировки законов механики удобно использовать понятие материальной точки – тела, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Такая идеализация вполне разумна, когда движение тела определяется перемещением любой из его точек и не зависит от вращений и деформации тела.

Положение материальной точки в пространстве может быть полностью определено тремя декартовыми координатами x, y, z или радиус-вектором , где i, j, k – единичные векторы (орты), направленные вдоль координатных осей Ox, Oy, Oz (см. рис. 1.1).

4

зывается законом движения материальной точки. Основной задачей механики является определение законов движения для всех материальных точек рассматриваемой механической системы. Траекторией движения материальной точки называется пространственная кривая, описываемая концом радиус-вектора в процессе движения (годограф радиус-вектора).

Пусть – радиус-вектор материальной точки в момент

полная производная радиус-вектора по времени, называется скоростью материальной точки в момент времени :

Так как вектор в пределе направлен по касательной к траектории, вектор скорости также направлен по касательной к траектории в сторону движения точки. Если начала векторов скорости в различные моменты времени поместить в одну точку, то получится наглядная картина изменения скорости (рис. 1.3). Конец вектора скорости при этом будет описывать кривую, называемую годографом скорости.

Ускорение материальной точки равно скорости движения конца вектора вдоль годографа.

Плоскость, в которой происходит бесконечно малый поворот касательной к траектории при элементарном перемещении материальной точки, называют соприкасающейся плоскостью (в каждой точке пространственной траектории будет своя соприкасающаяся плоскость). Заметим, что вектор , во

5

первых, всегда направлен в сторону вогнутости траектории, а во вторых, в пределе лежит в соприкасающейся плос-

кости. Следовательно, вектор ускорения a лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории.

Если траектория движения точки заранее известна, то закон движения можно задать т.н. «естественным способом» – как зависимость от времени длины дуги , отсчитываемой вдоль траектории от выбранного начала отсчета (при этом задается положительное и отрицательное направления отсчета). Тогда радиус вектор точки, определенный в некоторой декартовой системе координат, будет функцией координаты .

Введем подвижную систему координат, центр которой совпадает с положением движущейся материальной точки, а направления координатных осей (т.н. «оси естественного трехгранника») задаются следующими взаимно-перпендикулярными единичными векторами (см. рис. 1.4):

-вектором , направленным по касательной к траектории

внаправлении положительного отсчета координаты ;

-вектором , который задает направление т.н. главной нормали: он перпендикулярен вектору , расположен в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории;

-вектором , задающим направление бинормали, он пер-

6

Рис. 1.4

Скорость материальной точки может быть представлена в виде

ния (1.4), получим

Определим величину вектора . Как известно, на беско-

нечно малом участке соответствующий отрезок кривой можно рассматривать как дугу окружности (т.н. «круг кривизны») с центром в некоторой точке M, которую называют центром кривизны траектории в в данной ее точке. Радиус такой

перпендикулярными к ним радиусами кривизны. Как видно из рис. 1.5, и , поэтому получим

7

M

прикасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории, поэтому можно сделать вывод, что направление данного вектора совпадает с направлением главной нормали n. Таким образом

Подставив это выражение в (1.5), получим

Итак, ускорение материальной точки может быть представлено в виде суммы касательного (тангенциального) ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения , направленного перпендикулярно скорости в сторону вогнутости траектории (к центру кривизны).

8

Вектор касательного ускорения определяется формулой

он характеризует изменение модуля скорости. Вектор нор-

мального ускорения равен

он характеризует изменение направления вектора скорости. Как уже было сказано, вектор ускорения всегда лежит в

соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории (справедливость этого утверждения хорошо видна из соотношения (1.9)). Таким образом, проекция вектора ускорения на направление бинормали равна нулю:

1.2. Законы Ньютона

Рассмотрим три закона Ньютона, которые играют роль основных постулатов классической механики (в ньютоновском изложении). Справедливость данных законов подтверждается согласием с опытными данными.

Положение тел в пространстве, их скорости и ускорения определяются относительно некоторой системы отсчета. Ускорение тела может быть обусловлено как взаимодействием между телами, так и движением самой системы отсчета. Со-

гласно первому закону Ньютона (закону инерции), существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными, в которых ускорения тел обусловлены исключительно их взаимодействием с другими телами. Свободная материальная точка, не подверженная воздействию со стороны каких-либо других тел, относительно инерциальной системы отсчета движется прямолинейно и равномерно.

Дифференциальные уравнения, определяющие зависи-

9

мость координат материальных точек от времени, называются

уравнениями движения. Согласно второму закону Ньютона,

уравнение движения материальной точки имеет вид:

где m есть масса материальной точки, F – равнодействующая всех сил, действующих на данную точку, которая может зависеть от положений и скоростей материальных точек системы;

– ускорение материальной точки. Данное

уравнение справедливо только в инерциальных системах отсчета.

В уравнении (1.12) предполагается, что масса тела постоянна. Второй закон Ньютона можно записать в более общей форме:

Уравнение (1.12) является обобщением опытных данных, оно может рассматриваться как определение силы и массы. Данное уравнение указывает, что тела взаимодействуют друг с другом при помощи сил, которые сообщают им ускорения.

Масса m является величиной, характеризующей тело. Массы тел можно сравнивать по ускорениям, которые им сообщает одна и та же сила: чем больше масса, тем меньше ускорение. Масса какого-либо тела может быть выбрана в качестве эталона, причем этот выбор не зависит от выбора эталонов длины и времени. Из опыта известны следующие свойства массы: аддитивность (масса тела равна сумме масс его частей

вотдельности) и постоянство (в нерелятивистской механике).

Вкоординатной форме уравнение (1.12) представляет собой систему трех дифференциальных уравнений второго по-

10