Методическое пособие 519

3.1.5. Прямая и плоскость в пространстве

Плоскость в пространстве

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат xOyz . Уравнение плоскости Q, проходящей через заданную точку M0 (x0; y0; z0 ) перпендикулярно вектору N {A; B;C} (рис. 3.23) имеет вид

и называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку M0 (x0; y0; z0 ) перпендикулярно нормальному вектору N {A; B;C}.

Если N {A; B;C} – нормальный вектор плоскости, то уравнение такой плоскости – это линейное уравнение вида

называемое общим уравнением плоскости.

81

z

Q

N {A; B; C}

M 0 (x0 ; y0 ; z0 )

x

Рис. 3.23

А. Если D = 0 , т.е. уравнение плоскости имеет вид Ax + By +Cz = 0 , то

плоскость Q проходит через начало координат (рис 3.24).

Б. Если A = 0 , т.е. уравнение плоскости имеет вид By +Cz + D = 0 , то

плоскость Q перпендикулярна плоскости yOz или, что тоже самое, плос-

кость Q параллельна оси Ox (рис 3.25). Можно сделать вывод: если в уравне-

нии плоскости отсутствует какая-нибудь переменная, то плоскость будет параллельна координатной оси того же названия, что и отсутствующая переменная.

xOz .

Д. Если A = B = D = 0 , то плоскость имеет уравнение z = 0 , т.е. плос-

кость Q – это координатная плоскость xOy (рис. 3.28). Аналогично плоско-

сти y = 0 и x = 0 – это плоскости xOz и yOz соответственно.

82

z

z

Q

O

y

O

y

Q

x

z

z

Q

y

Q

x

z

O

y

Q

x

Рис. 3.28

83

Угол между двумя плоскостями.

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

Если известны нормальные векторы N1{A1; B1;C1} и N2 {A2; B2;C2} плоскостей Q1 и Q2 , угол ϕ между нормальными векторами равен одному из углов

между плоскостями (рис. 3.31).

Q1

N1 {A1; B1; C1}

N1

N 2 N 2 {A2 ; B2 ; C2 }

ϕ

ϕ

а условие параллельности двух плоскостей –

Расстояние от точки до плоскости

Если задана точка M0 (x0; y0; z0 ) и плоскость Q общим уравнением

d

Q

O

y

x

Рис. 3.32

Прямая линия в пространстве

Если известны направляющий вектор S {m; n; p} прямой L ( S & L ) и точка M0 (x0 ; y0 ; z0 ), лежащая на L (рис. 3.33), то уравнения прямой имеют вид

и называются каноническими уравнениями прямой в пространстве. 86

z

L

где t – параметр ( −∞ <t < ∞).

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки M1 (x1; y1; z1 ) и

M2 (x2 ; y2 ; z2 ) (рис. 3.34), имеют вид

z

L

M1 (x1; y1; z1 )

M 2 (x2 ; y2 ; z2 )

x

Рис. 3.34

87

Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей Q1 и Q2 (рис. 3.35) системой уравнений этих плоско-

стей:

Систему уравнений (3.36) называют общими уравнениями прямой.

Q1

Q2

S = N1 × N 2

Рис. 3.35

Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Под углом между прямыми L1 и L2 понимают угол между их направ-

ляющими векторами S1 {m1; n1; p1} и S2 {m2 ; n2 ; p2} (рис. 3.36) (при этом пря-

мые могут и не пересекаться).

L1

S1

ϕ

Рис. 3.36

88

а условие перпендикулярности прямой и плоскости ( N & S (рис. 3.39)) –

Q

Q

3.1.6. Поверхности второго порядка

Поверхностями второго порядка являются: сфера, эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды, конус, а также эллиптический, гиперболический и параболический ци-

линдры.

Определение 3.8. Сферой называется геометрическое место точек пространства, находящихся на одинаковом расстоянии R (радиуса сферы) от данной точки (центра сферы).

Если центр сферы совпадает с началом координат (рис. 3.40), то уравнение сферы принимает вид

90