Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 519

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Тестовое задание 2.2
Разложение определителя				2	1	−7


	2 1 −7						= −3		1	−7		+ 2			2 −7				−			2 1
	2 1 −7			3 0 2			= −3		1	−7		+ 2			2 −7				−			2 1
	3	0	2	3	2	1			0	2					3	2						3	0
	3	0	2						0	2					3	2						3	0
	3	2	1
				2	1	−7

по третьей строке имеет вид …							= −3		1	−7		−2		2 −7				−			2 1
				3	0	2	= −3		1	−7		−2		2 −7				−			2 1

				3	2	1			0	2				3		2					3		0
									0	2				3		2					3		0

				2	1	−7	=3	1		−7	+ 2		2 −7				+			2 1
				2	1	−7
				3	0	2
				3	2	1		0		2			3			2				3			0
								0		2			3			2				3			0

				2	1	−7	=3	1		−7	−2		2 −7				+			2 1
				2	1	−7
				3	0	2
				3	2	1		0		2			3			2				3			0
								0		2			3			2				3			0

Решение. Воспользуемся определением 2.4: определитель равен сумме произведений элементов третьей строки на их алгебраические дополнения (это и есть разложение определителя по третьей строке), т.е.

	2	1			−7	=3 (−1)3+1				1			−7		+ 2 (−1)3+2		2	−7	+1	(−1)3+3	2	1	=


	3		0		2
	3		2		1					0		2					3	2			3	0
	3		2		1
=		3		1	−7		−2	2	−7		+		2	1		(четвертый ответ).
=		3		1	−7		−2	2	−7		+		2	1		(четвертый ответ).
				0	2			3	2				3	0

Здесь 3, 2, 1 – это элементы третьей строки, а алгебраические дополнения найдены по формуле (2.5) (воспользовались определениями 2.2 и 2.3).

Тестовое задание 2.3
Формула вычисления			определителя		ykp

	x	y	z

					ymn
третьего порядка	k	l	m	содержит
					ykn
	n	o	p
					yzp
следующие произведения …

Решение. В этом задании вспомним, что произведения, являющиеся слагаемыми в выражении определителя третьего порядка, не содержат элементов,

стоящих в одном и том же столбце или одной и той же строке. Поэтому нам не подходит произведение ykn ( k и n - элементы первого столбца) и произведе-

ние yzp ( y и z - элементы первой строки). Правильные ответы – первый и второй.

Тестовое задание 2.4
			a	b		равен 1,9 , то

Если определитель							38
Если определитель			−3	5
			−3	5
	5	0		b
	5	0		b
определитель	19	20		21	равен …
	−3	0		a

Решение. Здесь нужно внимательно посмотреть на оба определителя в условии теста. Нетрудно видеть, что определитель третьего порядка удобно разложить по второму столбцу, т.к. в нем два элемента нули. Получаем:

5	0	b	= 20 (−1)2+2	−53	ba	= 20(5a −b(−3))= 20(5a +3b).

19 20 21
−3	0	a

Сравним это выражение с известным нам определителем второго поряд-

ка. По условию	a	b	=1,9 , т.е. 5a −b(−3)=1,9 , т.е. 5a +3b =1,9 .
	−3	5

Вернемся к определителю третьего порядка, в выражении которого в скобках стоит число 1,9. Получаем, что искомый определитель третьего порядка равен 20 1,9 =38 .

Тестовое задание 2.5

Установите соответствие между α и				υ	=11
значениями определителей				υ232	=11
значениями определителей				υ212	= 7
=	3	−4	.	υ
				υ
				υ242	=15
	α	1		υ
	α	1		υ2 υ2	=19
1.α =1				υ2 υ2	=19
1.α =1				υ222	= −13
2. α = −4				υ
2. α = −4					= −1
3. α = 2				υ2 υ2	= −1
4. α =3

Решение. В этой задаче нужно подставить по очереди значения α в определитель, вычислить его и сравнить с данными ответами. Итак:

1.		α =1,	=		3					−4	=			3			−4	=3 1 −1 (−4)= 7 (второй ответ).
1.		α =1,	=		3					−4	=			3			−4	=3 1 −1 (−4)= 7 (второй ответ).
					α					1				1			1
2.		α = −4 ,	=						3	−4			=				3	−4		=3 1	−(−4) (−4)= −13		(пятый ответ).
2.		α = −4 ,	=						3	−4			=				3	−4		=3 1	−(−4) (−4)= −13		(пятый ответ).
								α		1							−4	1
3.		α = 2 ,	=				3			−4		=				3	−4		=3 1 −2 (−4)=11 (первый ответ).
3.		α = 2 ,	=				3			−4		=				3	−4		=3 1 −2 (−4)=11 (первый ответ).
							α			1						2	1
4.		α =3 ,	=			3				−4	=				3		−4		=3 1 −3 (−4)=15 (третий ответ).
4.		α =3 ,	=			3				−4	=				3		−4		=3 1 −3 (−4)=15 (третий ответ).
						α				1					3		1
Тестовое задание 2.6
Определитель				3					2			равен 0, если										1


				6			5α −1
																						0
																						0
α равно…																						−4
																						2	3	2
Решение. Для отыскания α нужно решить уравнение																									= 0 .
Решение. Для отыскания α нужно решить уравнение																									= 0 .
																							6	5α −1
	3	2		=3 (5α −1)−2 6 = 0 15α −15 = 0 α =1 (первый ответ).
	3	2		=3 (5α −1)−2 6 = 0 15α −15 = 0 α =1 (первый ответ).
	6	5α −1

	2.2.2. Матрицы: основные определения
	Тестовое задание 2.7
Алгебраическое дополнение элемента								2			−4


	−2 0 1					A =
a	матрицы A =	4	−1	3	имеет	32		−1			−3
						32		−1			−3

32								−2			1
		3	1	0		A32	=	−2			1
		3	1	0		A32	=	4			3
вид…								4			3
вид…						A	= −			−2	0


						32			3		1
									3		1
						A	= −			−2	1
						A	= −			−2	1
						32				4	3
										4	3

Решение. Чтобы найти A32 , алгебраическое дополнение к элементу a32 ,

вычеркнем из матрицы третью строку и второй столбец. Получим матрицу размера 2 ×2 , вычислим ее определитель – это дополнительный минор M32 к эле-

менту a . По формуле (2.5)	A =(−1)3+2	M	32	= −M	32	, т.е. A = −	−2	1	. Пра-

32	32					32	4	3

вильный ответ четвертый.

Тестовое задание 2.8

Установите соответствие между матрицами A и суммами элементов

a11 + a32 .		−1
	3		0
	1	2	6
1. A =
	4	−5
			−1
	2	−2	−1
	0	1	2
2. A =
	3	4	−2

	1	−3	−2
	−1	0	1
3. A =
	2	3	−3

−9		−4	−3
	−2	−1	0
4. A =
	1	2	−4

υ	4
υ232	4
υ	−2
υ212	−2
υ2 υ2	7
υ2 υ2	2
υ	6
υ222	6
υ	−7
υ242	−7

Решение. В этой задаче вычислим для каждой матрицы сумму элементов a11 + a32 и сравним с предложенными ответами:

		3	−1	0
1.	A =	1	2	6	; a		=3, a		= −5 , a			+ a		=3 −5 = −2 (второй ответ).
						11		32			11	32
		4	−5
		4	−5	−1
		2	−2	−1
2.	A =	0	1	2	; a		= 2 , a			= 4 , a	+ a		= 2 + 4 = 6 (пятый ответ).
						11		32		11		32
		3	4	−2
		3	4	−2
		1	−3	−2
3.	A =	−1	0	1		; a		=1, a		=3 , a		+ a		=1 +3 = 4 (первый ответ).
						11		32			11	32
		2	3	−3
		2	3	−3

	−9	−4	−3
4. A =	−2	−1	0		; a	= −9	, a		= 2, a	+ a = −9 + 2 = −7 (шестой ответ).
					11			32	11	32
	1	2	−4
	1	2	−4
Тестовое задание 2.9.
					5	3	−8				25
					5	3	−8
Дана матрица A =						−7

					9		6	.			6
											−6
				10		3	8				−6
Тогда сумма элементов, расположен-											−5
ных на главной диагонали этой мат-
рицы, равна…

Решение. Матрица A размера 3×3. Элементы главной диагонали матри-

цы A - это a11 =5 ,			a22 = −7 , a33 =8. Найдем сумму этих элементов:
a11 + a22 + a33 =5 −7 +8 = 6 (второй ответ).
Тестовое задание 2.10
	4	2	1
	4	2	1		8
					8

Матрица	0	5	2	является вырож-	10
	0	α	4		−22
	0	α	4		−22
денной, если число				α равно…	−10

Решение. Учитывая определение 2.10 вырожденной матрицы, подберем α так, чтобы определитель данной матрицы был равен нулю. Иными словами, решим уравнение

4 2 1

0 5 2 = 0 ,

0 α 4

которое после разложения определителя по первому столбцу примет вид

4 (−1)1+1

α5

= 0 .

Сокращая левую и правую части равенства на 4 и раскрывая определитель второго порядка по формуле (2.3), имеем

5 4 −2 α = 0 ,

откуда α =10 . Правильный ответ второй.

2.2.3. Линейные операции над матрицами

Тестовое задание 2.11
1	−3	2	−1	, то	−3	−1


Если A =	и	B =
−2 0		1 3			−1 3
−2 0		1 3			−1 3
матрица C = A −2B имеет вид…					−1 −2
матрица C = A −2B имеет вид…

					0	−6
					0	−6
					−3	−5
					−3	−5
					0	−6
					0	−6
					−3	−1
					−3	−1
					−4	−6
					−4	−6

Решение. Воспользуемся формулами (2.6) и (2.7) сложения матриц и умножения матриц на число:

				1
C = A −2B =
			−2
	1	−3		4
=	−2	0	−	2
	−2	0		2

−3		−2			2
0					1

−2				1 −4
6	=		−2		−2

−1

1 −3

−

−2 0

−

( 1)

2 1

2 3

−

(

−

−3

−1

(четвертый ответ).

2) =

−4

−6

0 −6

Тестовое задание 2.12
Если существует матрица A +(3A)T ,		является нулевой (размера m ×n ,
Если существует матрица A +(3A)T ,		является нулевой (размера m ×n ,
то матрица A ….		где m ≠ n )
		может быть единичной
		может быть произвольной
		является квадратной

Решение. В этом задании нужно вспомнить, что складывать матрицы можно только одного размера. Если матрица A имеет размер m ×n , то 3A тоже

имеет размер m ×n , а транспонированная (3A)T имеет размер n ×m . Поэтому

сложить две матрицы размеров	m ×n и n ×m можно лишь в случае, когда
m = n . Иными словами, матрица	A +(3A)T существует, когда A - квадратная

матрица. Последнему условию всегда соответствуют только второй и четвертый варианты ответов – они и являются верными.

Тестовое задание 2.13
Вычислите сумму элементов первого

								13
столбца		матрицы		C = 2A −3B , если

	−7 3		6	−4		6	−2
	5	−5 −5			6 −8 6
A =				, B =
	3	4	9		−5	5	7

Решение. Здесь при решении не обязательно находить всю матрицу C = 2A −3B , а достаточно лишь найти ее первый столбец. Обозначим его C1 ,

тогда C1 = 2A1 −3B1 , где A1				и B1 - это первые столбцы матриц A и B соответст-
венно. Получаем, учитывая формулы (2.6) и (2.7),
			−7		−4 −14 −12 −2
		C =	2	5	−3	6	=	10	−	18	=	−8	.
		1
				3		−5		6				23
				3		−5		6		−15		23
Остается сложить элементы столбца C1 : −2 +(−8)+ 23 =13 - это и есть
ответ к заданию.
Тестовое задание 2.14
Даны	матрицы	A =		5	−2		и		5	−4



				4	1				−2	−3
0	1			4	1				−2	−3
									5	−3

B =	. Тогда решением матрич-
3	2
		X + 2B = A							1	−1
									1	−1
ного уравнения					является				5	5
ного уравнения					является
матрица…
матрица…									−5	1


									5	−1
									5	−1
									7	3
									7	3

Решение. Выразим сначала матрицу X из данного матричного уравнения: X = A −2B . Теперь, учитывая формулы (2.6) и (2.7), имеем

5		−2	−2	0		1 5			−2 0			2		5 −4
X =	4	1			3	2	=	4	1	−	6	4	=	−2 −3	.

Полученный результат совпадает с первым ответом.

Тестовое задание 2.15
	1 2		0 1
	1 2		0 1		29
Если A =	−1 3	и B =	−2 3	, то	29
Если A =		и B =		, то	−11
					−11
значение	определителя		матрицы		18
C = A + 2B равно…					20

Решение. В этом задании сначала нужно найти матрицу C , а затем ее определитель. Используя формулы (2.6), (2.7) и (2.3), имеем

1 2

+ 2

0 1

1 2

0 2

1 4

C =

−1 3

−2 3

−1 3

−4 6

−5 9

C = −15 94 =1 9 −4 (−5)= 29 , т.е. первый ответ верный.

			2.2.4. Умножение матриц
Тестовое задание 2.16
			−6	1
			−6	1		23
Даны		две	матрицы: A =		и	23
Даны		две	матрицы: A =		и
			2	3		16
	2	−3				9
B =	4	5	. Элемент первой строки			18
				AB ра-

второго столбца произведения
вен…
Решение. Воспользуемся формулой (2.8). Чтобы найти элемент c12 мат-

рицы C = AB , возьмем первую строку (−6 1) матрицы A и второй столбец

−3

матрицы B . Элемент c12 равен сумме произведений их элементов:

c12 =(−6) (−3)+1 5 = 23 (первый ответ).

Тестовое задание 2.17
Даны матрицы		1 −1					3	1
Даны матрицы
2 3				2 1
2 3				2 1	υ2 υ2
A =	, B =		, C =	.			−3 1
−1 2		−1 1		3 4		13 14
Установите соответствие между двумя					υ	13 14
Установите соответствие между двумя					υ222		4	7
множествами
множествами
1. A B					υ	−1		1
2. A C					υ212		−3	3
3. B C							−3	3
3. B C							1	−1
							1	−1
					υ2 υ2		−1	1
							−1	1
					υ232	−1		−3
					υ232
					υ	1		3
						1		3

Решение. В этом задании придется найти указанные произведения, воспользовавшись формулой (2.8),

2 3

1 −1

2 1 +3 (−1)

2 (−1)+3 1

−1 1

–

A B =

−1 1 + 2 (−1)

−1 (−1)+

−1 2 −1 1

2 1

−3 3

третий ответ.

2 3 2 1

2 2 +3 3 2 1 +3 4 13 14

– второй

A C =

4 7

ответ.

−1 2 3 4

−1 2 + 2 3 −1 1 + 2 4

1 −1

2 1

−1 −3

−

3 1

−

B C =

( 1)

– пя-

−1 1

3 4

−1 2 +1 3

−1 1 +1 4

1 3

тый ответ.

Тестовое задание 2.18
4	0		−1	, тогда		3


Если A =	и	B =
−1 1		2				−4
−1 1		2				−4
матрица C = A B имеет вид…						−4
матрица C = A B имеет вид…

						3
						3
					(	−4	3)
						4
						4
						3
						3

Решение. Здесь просто найдем C = A B , применяя формулу (2.8),

4 0 −1 4 (−1)+0 2 −4

C = A B = = ( ) = – второй ответ.−1 1 2 −1 −1 +1 2 3

Тестовое задание 2.19
					1	1		. Тогда мат-						3			−2


Дана матрица A =
				2		−3								−4			11
рица A2				2		−3								−4			11
		имеет вид…												2
		имеет вид…												2

													13
													13
														1		1
														1		1
														4		9
														4		9
														3			−4
														3			−4
														−2			11
														−2			11
Решение. Матрица A2 по определению равна																		A A . По формуле (2.8)
имеем
	A2 =			1 1				1 1			1 1+1			2			1	1 +1 (−3)		3 −2
	A2 =		A A =							=	2 1								=
				2	−3			2 −3			2 1	+(−3) 2 2 1 +(−3) (−3)								−4 11
– первый ответ.
Тестовое задание 2.20
Для		матриц					2	1	3		и		AB		T
							2	1	3						T
					A =		3	0	4
							3	0	4				BA
	2	4											BT A
	3	1		и транспонированных							к		AB
B =	3	1		и транспонированных							к		AT BT
	1	5
	1	5
ним определены произведения…

Решение. В этом и следующем заданиях нужно вспомнить, что произведение матриц A B существует только для матриц с согласованными размерами (см. определение 2.9). А именно: количество элементов в строке матрицы A должно совпадать с количеством элементов в столбце матрицы B (или, иначе, количество столбцов матрицы A должно совпадать с количеством строк матрицы B ).

В этом задании в ответах участвуют произведения матриц A , AT , B , BT .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.99 Mб9Методическое пособие 514.pdf
#
30.04.20221.99 Mб11Методическое пособие 515.pdf
#
30.04.20221.99 Mб1Методическое пособие 516.pdf
#
30.04.20221.99 Mб8Методическое пособие 517.pdf
#
30.04.20222 Mб3Методическое пособие 518.pdf
#
30.04.20222.01 Mб11Методическое пособие 519.pdf
#
30.04.2022804.35 Кб5Методическое пособие 52.doc
#
30.04.2022317.56 Кб2Методическое пособие 52.pdf
#
30.04.20222.01 Mб5Методическое пособие 520.pdf
#
30.04.20222.03 Mб8Методическое пособие 521.pdf
#
30.04.20222.03 Mб6Методическое пособие 522.pdf