Методическое пособие 519

Тестовое задание 3.50

Решение. Сравнивая уравнения, предлагаемые в ответах, с каноническим уравнением эллипса (3.20), видим, что в третьем ответе каноническое уравне-

подходят. Первое уравнение, разделив обе его части на 49, можно записать в

121

центр которого в точке (−3; 4), а полуоси a =14 и b = 7 .

Решение. Воспользуемся уравнением (3.18) и возьмем x0 = −1, y0 = −1. Уравнение искомой окружности имеет вид (x +1)2 +(y +1)2 = R2 . Учитывая, что эта окружность проходит через точку A(3; 2), подставим координаты точки А в полученное уравнение и найдем R2 : (3 +1)2 +(2 +1)2 = R2 , т.е. R2 = 25 .

Итак, искомое уравнение (x +1)2 +(y +1)2 = 25 , что соответствует третьему ответу.

Решение. В п. 3.1.4 дано определение эксцентриситета ε гиперболы:

ε= ac .

Уданной гиперболы (см. формулу (3.22)) a =8, b = 6 . Поэтому

Таким образом, третий ответ верный.

122

Тестовое задание 3.54

Решение. Если разделить обе части уравнения данной гиперболы на 36, то уравнение примет канонический вид:

поэтому, сравнивая с (3.22), видим, что мнимая полуось b = 2 . Ответ: 2.

Тестовое задание 3.56

Решение. Вспомнив определения кривых второго порядка (п. 3.1.4), делаем вывод, что сформулированное в задании определение – это определение параболы.

123

Решение. Чтобы найти радиус окружности, приведем данное уравнение к виду (3.18). Для этого выделим полный квадрат:

x2 +(y2 + 4 y + 4)− 4 +3 = 0 x2 +(y + 2)2 =1 R2 =1 R =1 .

Верен третий ответ.

3.2.5. Основные задачи аналитической геометрии в пространстве

В тестовых заданиях 3.58 – 3.78 рассматривается пространственная декартова система координат. При выполнении этих задач используются свойства координат точек, расположенных по разные стороны или по одну сторону от какой-либо координатной плоскости. Например, точки, лежащие по одну сторону от плоскости xOy , имеют аппликаты одного знака, а по раз-

ные стороны – аппликаты разных знаков. Точки, у которых одна из координат равна нулю, лежат в координатной плоскости, например, точка M (x;0; z)

лежит в плоскости xOz . Справедливы и обратные утверждения.

Решение. Так как у данных двух точек абсциссы одинаковых знаков, то эти точки лежат по одну сторону от плоскости Oyz , а значит, отрезок, соеди-

няющий эти точки, тоже лежит по одну сторону от плоскости Oyz – верен четвертый ответ.

Решение. Здесь верен первый ответ, так как данные точки лежат по одну сторону от плоскости Oxy .

124

Решение. Рассуждая так же, как и в предыдущих заданиях, делаем вывод, что данные точки, а значит, и соединяющий их отрезок, лежат по одну сторону от плоскости Oxz , поэтому подходит второй ответ.

Тестовое задание 3.61

Решение. Так как у точек нулевые аппликаты, то эти точки лежат на плоскости Oxy . Отрезок, соединяющий две точки плоскости, целиком лежит в

этой плоскости. Поэтому отрезок, соединяющий данные точки, лежит в плоскости Oxy – верен первый ответ.

Тестовое задание 3.62

Решение. Здесь даны точки с нулевыми абсциссами и ординатами, поэтому они лежат и в плоскости Oyz и в плоскости Oxz , т.е. на оси Oz . Поэтому

соединяющий их отрезок тоже лежит на оси Oz – правильный ответ третий.

Тестовое задание 3.63

125

Решение. Здесь, рассуждая так же, как в тестовом задании 3.61, делаем вывод, что данные точки и соединяющий их отрезок лежат в плоскости Oxz , т.е. верен второй ответ.

Тестовое задание 3.64

Решение. Так как концы отрезка имеют абсциссы разных знаков, то они лежат по разные стороны от плоскости Oyz , поэтому соединяющий их отрезок

пересекает эту плоскость – верный ответ четвертый.

3.2.6. Прямая и плоскость в пространстве

Решение. В задании дано общее уравнение (3.26) плоскости, в котором, как известно, коэффициенты при неизвестных равны соответственно координа-

там нормального вектора плоскости. Получим N = (2; −1; 7) – верен первый ответ. Второй ответ тоже правильный, так как вектор (−2; 1; −7)= −N и тоже

перпендикулярен данной плоскости. Третий и четвертый ответы не подходят, так как координаты векторов в этих ответах не пропорциональны координатам

вектора N , поэтому эти векторы не коллинеарны N и, значит, не перпендикулярны данной плоскости ( 22 ≠ −71 ≠ −715 и −21 ≠ −71 ≠ −715 ).

126

Решение. При обсуждении общего уравнения плоскости (3.26) рассматривались разные варианты расположения плоскости относительно системы координат, когда какие-то коэффициенты в уравнении плоскости равны нулю. Учитывая полученные при этом выводы, имеем:

1. −2x +11 = 0 , A = −2, B = 0, C = 0, D =11 – плоскость параллельна плоскости yOz (второй ответ).

Тестовое задание 3.67

Решение. По условию данная плоскость проходит через точку T , поэтому при подстановке координат точки T в уравнение данной плоскости это уравнение превращается в тождественное равенство. Подставим координаты точки T в данное уравнение плоскости:

A 2 + B (−2)+5 3 −9 = 0 2A − 2B + 6 = 0 A − B = −3.

Ответ: −3 .

127

Решение. При изучении общего уравнения плоскости (3.26) был сделан вывод, что плоскость проходит через ось Oy , если в общем уравнении

B = 0, D = 0 . В ответах этому условию удовлетворяет третье уравнение. Подставим координаты точки М в это уравнение:

1 −1 = 0 ,

т.е. плоскость x − z = 0 проходит через точку М – третий ответ верный.

Решение. В этом задании, подставляя координаты предложенных в ответах точек в уравнения данных плоскостей, находим, каким из данных уравне-

И, наконец, на четвертой плоскости лежит точка из пятого ответа, так как

−9 0 +3 0 +1 0 = 0 .

Точка из четвертого ответа не лежит ни на одной из данных плоскостей – ее координаты не удовлетворяют ни одному из уравнений.

Решение. Точки, лежащие на оси Oz , имеют нулевые абсциссу и ординату, т.е. искомая точка имеет координаты (0; 0; z). Так как эта точка лежит и на

плоскости 3x + y + 2z −8 = 0 , то ее координаты удовлетворяют уравнению данной плоскости, т.е.

Решение. Здесь применим те же рассуждения, что и тестовом задании

Решение. Точка P лежит на данной плоскости. Следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости:

A 2 −6 3 −1 4 +18 = 0 2A − 4 = 0 A = 2 .

Ответ: 2.

129