Методическое пособие 519

Решение. Отрезок AB – это сторона квадрата. По формуле (3.1)

AB = (xB − xA )2 +(yB − yA )2 = (−2 −5)2 +(5 −6)2 = 50 .

Так как площадь S квадрата равна квадрату длины его стороны, то

S = ( 50 )2 = 50 ,

т.е. верен второй ответ.

Решение. Найдем ρ( A; B) = AB по формуле (3.1) для каждого из трех элементов множества расстояний.

Решение. Если треугольник ABC равнобедренный и его основание – сторона AC , то боковые стороны – AB и BC и справедливо равенство AB = BC . Найдем длины боковых сторон по формуле (3.1) и приравняем их:

AB = (1 −α)2 +(−3 −1)2 , BC = (α −7)2 +(1 +1)2 ,

(1 −α)2 +(−3 −1)2 = (α −7)2 +(1 +1)2 .

Возводим обе части равенства в квадрат и приводим подобные: 1 − 2α +α2 +16 =α2 −14α + 49 + 4 .

Получим 12α = 36 , т.е. α = 3 – верен четвертый ответ.

Тестовое задание 3.13

Решение. Воспользуемся формулой (3.1).

1.AB = (−2 −1)2 +(−4 −0)2 = 5 – соответствует первому ответу.

2.AC = (1 −1)2 +(−4 −0)2 = 4 – соответствует третьему ответу.

3. BC = (1 + 2)2 +(−4 + 4)2 = 3 – соответствует второму ответу.

Решение. Снова воспользуемся формулой (3.1). Найдем AB в каждом

102

предлагаемом варианте ответов и выберем те ответы, где AB = 5.

Очевидно, AC < BC < AB , что соответствует нумерации 1, 2, 3 соответственно.

Тестовое задание 3.16

Расстояние между точками A(3; 1) и 5 B(0; −3) равно …

Решение. По формуле (3.1):

AB = (0 −3)2 +(−3 −1)2 = 5 .

Ответ: 5.

3.2.2.Прямая на плоскости

Втестовых заданиях 3.17 – 3.23 используется понятие углового коэффициента прямой (определение 3.1) и уравнение прямой с угловым коэффициентом (уравнение 3.6).

103

и (x2 ; y2 ) (если возможно, то с целыми координатами), и тогда искомый тангенс угла ищется по формуле

k = y2 − y1 x2 − x1

(фактически определяют отношение противолежащего катета к прилежащему). На прямой u видны точки (1;3) и (0; −2), поэтому

Сложим найденные угловые коэффициенты: 5 + 13 + 0 − 13 = 5 .

Ответ: 5.

Тестовое задание 3.19

Укажите последовательность этих прямых в порядке убывания их угловых коэффициентов.

105

Тестовое задание 3.21

g

h u

Тогда отрицательный угловой коэффициент имеют прямые…

Решение. Угловой коэффициент прямой отрицателен, если угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox тупой. Видно, что под тупым углом наклонены к Ox прямая f и прямая g (верны первый и второй ответы).

Тестовое задание 3.22

Установите соответствие между прямыми

1.f

2.g

3.h

4.u

и значениями их угловых коэффициентов.

107

соответствует четвертому ответу. Прямая g проходит через точки (1;2) и

(2;0), поэтому kg = 02−−12 = −2 , что соответствует третьему ответу. Прямая h

параллельна оси Ox , поэтому kh = 0 , что соответствует первому ответу. И, на-

Решение. Две точки на прямой известны, поэтому (см. тестовое задание

3.18) kg = 1525 −−00 = 53 , что соответствует второму ответу.

5

2 15

Решение. Воспользуемся формулой (3.17) (расстояние от точки до прямой), для чего приведем уравнение данной прямой к общему: 3x − 4 y = 0 . Те-

перь по формуле (3.17), где (x0 ; y0 ) – это точка A(1; 2), имеем

что соответствует второму ответу.

108

мая не проходит через начало координат, поэтому C ≠ 0 , значит, первый ответ неверен. Из уравнения (3.54) видна ордината точки пересечения прямой с Oy

(свободный член), равная −CB . По чертежу видно, что эта ордината отрица-

тельна, т.е. −CB < 0 , откуда CB > 0 , а значит, C и B одного знака. Поэтому вто-

рой ответ неверен. Третий ответ неверен, так как противоречит верному ответу.

Решение. Очевидно, первое уравнение вида (3.7) – четвертый ответ. Второе уравнение вида (3.11) – третий ответ. Третье уравнение вида (3.9) – пятый ответ.

Решение. Для решения вспомним формулу (3.13). Ей соответствует первый ответ.

110