Методическое пособие 519
.pdf
в одной плоскости, а во втором и третьем – не лежат.
Ответ: базис в пространстве составляют тройки векторов второго и третьего вариантов ответов.
Тестовое задание 1.13
Даны векторы a =(0, −1, −3) и b =(−2, 1, −3). Установите соответст-
вие между линейными комбинациями этих векторов и их координатами
1.2a −b
2.2a +b
3.a −2b
υ2 υ2 |
(4, −3, −9) |
υ232 |
(4, −3, 3) |
υ |
(2, −3, −3) |
υ212 |
|
υ |
(−2, −1, −9) |
υ222 |
|
υ |
|
υ2 υ2 |
(−4, 1, −9) |
Решение. Здесь два вектора a и b заданы своими координатами в некотором базисе трехмерного векторного пространства. Требуется найти координаты заданных трех линейных комбинаций этих векторов и указать каким из пяти данных вариантов ответов они соответствуют. Так как a =(0, −1, −3) и
b =(−2, 1, −3), то
1. |
2a − |
|
|
( |
|
( |
|
) |
|
( |
) |
|
( |
|
) |
|
) |
|
( |
|
) |
, что соответ- |
b |
= |
|
2 0 − |
|
−2 |
|
; 2 |
|
−1 |
−1; 2 |
|
−3 |
|
−3 |
|
= |
|
2 ; −3; −3 |
|
ствует третьему варианту ответов.
2. 2a +b =(2 0 +(−2); 2 (−1)+1; 2 (−3)+(−3))=(−2 ; −1; −9), что соот-
ветствует четвертому варианту ответов.
3. a −2b =(0 −2 (−2); −1−2 1; −3 −2 (−3))=(4 ; −3; 3), что соответст-
вует второму варианту ответов.
1.2.4. Линейные отображения
Тестовое задание 1.14
Линейное отображение задано в стан- |
|
|
21 |
|
||||||
|
||||||||||
дартном |
|
|
базисе |
|
матрицей |
|
||||
|
|
|
|
|
−26 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
−3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
A = |
−6 |
. |
Тогда |
|
координатами |
|
|
18 |
|
|
|
|
|||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−28 |
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
||
образа вектора |
x = |
|
являются… |
|
|
−28 |
|
|||
|
||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21
Решение. В этом задании линейное отображение задано матрицей A раз-
мера 2 ×2 , |
т.е. в двумерном векторном пространстве с некоторым базисом. |
||||||||||||
Элементы |
такого |
пространства – |
векторы, |
задаваемые |
координатами: |
||||||||
x =(x1, x2 ) |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
при преобразовании A |
||
или x = |
1 |
. Чтобы найти образ вектора x |
|||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( y = Ax ), умножим матрицу A справа на координатный столбец вектора x : |
|||||||||||||
−3 4 |
|
−2 |
|
(−3) (−2)+ 4 3 |
|
6 +12 |
18 |
|
|||||
y = |
5 −6 |
|
3 |
|
= |
5 (−2)+( |
|
|
= |
|
= |
. |
|
|
|
|
|
−6) 3 |
−10 −18 |
−28 |
|
||||||
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
−28 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тестовое задание 1.15 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Линейным является отображение … |
|
|
f (x)= 2x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)= x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)=3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)=sin x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Четыре отображения заданы элементарными функциями. Это значит, что отображается множество действительных чисел, являющееся линейным пространством над полем действительных чисел, в себя (R → R).
Предлагается выбрать из этих отображений линейное, т.е. функцию, удовлетворяющую условию
f (αx1 + βx2 )=α f (x1 )+ β f (x2 ) |
(1.4) |
для любых α, β, x1, x2 R .
Рассмотрим последовательно данные функции. Пусть f (x)= 2x , тогда
|
f (αx + βx |
2 |
)= 2αx1 +βx2 = 2αx1 2βx2 , |
|
|
|
|
||||||
а |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α f (x ) |
+ β f (x |
|
)=α2x1 |
+ β2x2 . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, 2αx1 |
2βx2 ≠α2x1 |
+ β2x2 |
|
|
(например, при |
x = x |
|
= 0 20 20 =1 ≠ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
≠α20 + β20 =α + β , если α + β ≠1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть f (x)= x2 , тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (αx + βx )=(αx + βx |
)2 =α2 x2 |
+ 2αβx x + β2 x |
2 |
, |
|||||||||
1 |
2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
|
|
а |
α f (x )+ β f (x |
|
|
)=αx2 |
+ βx2 . |
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
||
22
Очевидно, α2 x2 + 2αβx x |
+ β2 x2 ≠αx2 |
+ βx2 |
при любых α, β, x , x R |
||||
1 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
(например, при x1 = 0 , x2 =1, α = 2 , β =3 получим 0 +0 +9 ≠ 0 +3 ). |
|
||||||
Пусть f (x)=3x , тогда |
|
f (x1 )=3x1 , |
f (x2 )=3x2 и |
|
|||
f (αx1 + βx2 )=3(αx1 + βx2 )=α 3x1 + β 3x2 =α f (x1 )+ β f (x2 )
при любых α, β, x1 , x2 R . Значит, условие (1.4) выполнено, а, следовательно, отображение f (x)=3x – линейное.
Проверим последнюю функцию f (x)=sin x . Здесь, очевидно,
f (αx1 + βx2 )=sin (αx1 + βx2 )≠α f (x1 )+ β f (x2 )=α sin x1 + β sin x2
при любых α, β, x1 , x2 R , т.е. f (x)=sin x не является линейным отображением. Итак, ответ – f (x)=3x .
Замечание 1.2. В этом тестовом задании для выяснения линейности отображения достаточно проверить отдельно частные случаи f (αx)=α f (x) и
f (x1 + x2 )= f (x1 )+ f (x2 ) для любых α, x, x1, x2 R . Выполнение этих двух частных случаев в совокупности эквивалентно определению линейности отображения. Условие f (αx)=α f (x) означает, что при умножении аргумента x на
множитель α этот множитель выносится за знак функции. Для функций 2x , x2 , и sin x сразу видно, что 2αx ≠α 2x , (αx)2 ≠α x2 и sinαx ≠α sin x для любых
α, x R , т.е. эти отображения не являются линейными.
1.2.5. Алгебра многочленов
При выполнении всех тестовых заданий данной темы используется разложение многочлена с действительными коэффициентами на множители по формуле (1.3). В некоторых заданиях многочлены уже разложены на множители, а в некоторых придется делать алгебраические преобразования многочлена.
Тестовое задание 1.16
Число действительных корней много- |
|
1 |
члена P5 (x)=(x3 −1)(x2 −4x +5) с |
|
|
|
2 |
|
учетом их кратностей равно … |
|
5 |
|
|
3 |
23 |
|
|
Решение. Здесь многочлен пятой степени P5 (x) еще не разложен не множители по формуле (1.3). Воспользуемся формулой x3 − a3 =(x − a)(x2 + ax +b)
и |
разложим |
выражение |
x3 −1 = x3 − |
13 =(x −1) |
( |
x2 |
) |
. |
Тогда |
|||
|
+ x +1 |
|||||||||||
P5 (x)=(x −1)(x2 + x +1)(x2 −4x +5) |
– это и есть разложение вида (1.3), так как |
|||||||||||
квадратные трехчлены |
x2 + x +1 |
|
( D =12 −4 = −3 < 0 ) |
и |
|
x2 −4x +5 |
||||||
( D =16 −20 = −4 < 0 ) |
имеют комплексные |
корни. |
|
Из |
разложения |
|||||||
P5 (x)=(x −1)(x2 + x +1)(x2 −4x +5) |
видно, что у этого многочлена один дейст- |
|||||||||||
вительный корень ( x1 =1) и его кратность равна единице. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Ответ: 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тестовое задание 1.17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Корнями уравнения x3 +16x |
над полем |
|
−4i |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
комплексных чисел являются … |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4i |
|
|
|
|
|
|
Решение. Здесь многочлен третьей степени x3 +16x рассматривается над полем комплексных чисел, т.е. у него три корня. Разложим его на множители
x3 +16x = x(x2 +16)=(x −0)(x2 +16).
Имеем: x1 = 0 , а x2,3 найдем, приравняв нулю квадратный трехчлен. По-
лучим x2 +16 = 0 , x2 = −16 , x = ± −16 = ±4i (напомним, что −1 = i ). |
||||
|
2,3 |
|
|
|
|
Ответ: 0, 4i , −4i . |
|
|
|
|
Тестовое задание 1.18 |
|
|
|
Дан многочлен |
|
υ2 υ2 |
1 |
|
|
||||
|
f (x)= 2(x −3)2 (x + 2)3 (x +3)4 . |
|
||
|
|
|
υ222 |
3 |
Установите соответствие между корня- |
|
υ |
|
|
|
υ |
4 |
||
ми многочлена и их кратностью. |
|
υ242 |
||
|
υ232 |
2 |
||
1. |
2 |
|
||
2. |
– 2 |
|
υ |
не является корнем |
|
υ212 |
|||
|
|
|
υ |
|
3. |
3 |
|
|
|
4. |
– 3 |
|
|
|
Решение. Дан многочлен, разложенный на множители по формуле (1.3). Нужно установить соответствие между предложенными вариантами корня и их
24
кратностью. Из разложения видно, что многочлен имеет три разных действительных корня: x1 =3 (кратность 2), x2 = −2 (кратность 3) и x3 = −3 (кратность
4). Следовательно, x = 2 не является корнем многочлена, что соответствует последнему варианту ответов; x2 = −2 – соответствует второму варианту ответов;
x1 =3 – соответствует четвертому варианту ответов, а x3 = −3 – соответствует третьему варианту ответов.
Тестовое задание 1.19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Число различных действительных кор- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
||||||
ней многочлена |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(x)=(x2 +5x +6)(x2 + 4x +3)(x + 2), |
|
|
|
|
|
|
|
||||
кратность которых больше 1, равно… |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
В |
разложении многочлена |
P(x) |
квадратный |
трехчлен |
||||||
x2 +5x +6 |
имеет |
корни |
x = −2 , |
x = −3 , |
поэтому |
||||||
x2 +5x +6 =(x − x )(x − x )=(x + 2)(x +3), |
1 |
|
2 |
|
|
||||||
а корнями |
квадратного |
трехчлена |
|||||||||
|
1 |
2 |
x2 = −1, следовательно, x2 + 4x +3 =(x +3)(x +1). |
||||||||
x2 + 4x +3 являются |
x1 = −3, |
||||||||||
Подставим разложения квадратных трехчленов в многочлен P(x): |
|
|
|||||||||
P(x)=(x + 2)(x +3)(x +3)(x +1)(x + 2) |
или P(x)=(x + 2)2 (x +3)2 (x +1). |
||||||||||
Это уже разложение вида (1.3), из которого видно, что многочлен P(x) |
|||||||||||
имеет три различных действительных корня: |
x1 = −2 |
(кратность 2), x2 = −3 |
|||||||||
(кратность 2) и x3 = −1 (кратность 1). Таким образом, два корня ( x1 и x2 ) имеют
кратность больше 1. Ответ: 2.
Тестовое задание 1.20
Если x1 – корень многочлена −4
P(x)=(x +1)3 (x −2)2 −3(x +1)2 (x −2)2 ,
имеющий наибольшую кратность, то значение P(x1 −1) равно …
Решение. Дан многочлен P(x), и через x1 обозначен его корень наибольшей кратности. Нужно вычислить P(x1 −1). Сначала найдем x1 , для чего разложим P(x) на множители в виде (1.3). Имеем
25
P(x)=(x +1)3 (x −2)2 −3(x +1)2 (x −2)2 =(x +1)2 (x −2)2 (x +1−3)=(x +1)2 (x −2)3 .
Значит, искомый корень наибольшей кратности x1 = 2 (кратность 3) (есть еще один корень x2 = −1, но его кратность равна 2). Теперь найдем
P(x1 −1)= P(2 −1)= P(1).
Пользуясь последним разложением P(x)=(x +1)2 (x −2)3 , определим
P(1)=(1+1)2 (1−2)3 = 4 (−1)= −4.
Ответ: −4 .
Тестовое задание 1.21 |
|
Наибольший действительный корень |
|
8 |
|
многочлена |
|
|
P(x)=(x +3)7 (x −5)3 −121(x +3)5 (x −5)3
равен …
Решение. Чтобы выбрать наибольший действительный корень, найдем все корни многочлена P(x), разложив его на множители в виде (1.3). Сделаем
некоторые преобразования, вынося общие множители за скобку:
P(x)=(x +3)7 (x −5)3 −121(x +3)5 (x −5)3 =(x +3)5 (x −5)3 ((x +3)2 −121)= =(x +3)5 (x −5)3 ((x +3)2 −(11)2 )=(x +3)5 (x −5)3 (x +3 −11)(x +3 +11)= =(x +3)5 (x −5)3 (x −8)(x +14).
Из полученного разложения видно, что P(x) имеет четыре различных действительных корня: x1 = −3 (кратность 5), x2 =5 (кратность 3), x3 = −14 (кратность 1) и x4 =8 (кратность 1). Наибольший корень – x4 =8 .
Ответ: 8.
Тестовое задание 1.22
P(x)=(x +3)(x −0,4)(x + 2,4) являет-
ся разложением многочлена над полем 
действительных чисел. Тогда его корни принадлежат множеству A … 
A ={x R | −3 ≤ x <1} A ={x R | −3 ≤ x < 0,4} A ={x R | −3 < x < 2} A ={x R | −2,4 ≤ x <1}
26
Решение. В этом задании многочлен P(x) уже разложен на множители в виде (1.3). Из этого разложения видно, что корни P(x): x1 = −3, x2 = 0,4 и x3 = −2,4 (все корни имеют кратность 1). Осталось проверить, какому из предложенных множеств принадлежат все корни. В первом варианте ответов все
три |
корня лежат в множестве |
A , во втором |
– |
|
x2 = 0,4 A, в третьем – |
||
x1 = −3 A , в четвертом снова x1 = −3 A . |
|
|
|
|
|||
|
Ответ: A ={x R | −3 ≤ x <1}. |
|
|
|
|
|
|
|
Тестовое задание 1.23 |
|
|
|
|
|
|
Действительными корнями многочле- |
|
6; |
7 ; |
− |
7 |
||
|
|||||||
на |
P(x)=(x2 +9)(x −6)(x2 −7) |
явля- |
|
||||
|
6; 7; 3 |
|
|
||||
ются… |
|
|
|
|
|||
|
|
6; |
7 ; |
− |
7 ; ±3i |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
−6; −7 |
|
|
|
|
Решение. В этом задании многочлен P(x) |
разложен на множители, но не |
|||||
в виде (1.3), так как в его разложении есть квадратные трехчлены, у которых также могут быть действительные корни. У квадратного трехчлена x2 +9 корни
x |
= ±3i не являются действительными, а у квадратного трехчлена x2 −7 кор- |
||
1, 2 |
|
– действительные, поэтому x2 −7 =(x − 7 )(x + |
7 ). Получим |
ни |
x1, 2 = ± 7 |
||
разложение многочлена P(x) в виде (1.3): |
|
||
|
|
P(x)=(x2 +9)(x −6)(x − 7 )(x + 7 ). |
|
|
Видно, |
что действительные корни многочлена P(x) – |
x1 = 6 , x2 = 7 , |
x3 =− 7 , поэтому нам подходит первый из вариантов предложенных ответов.
Ответ: 6; 7 ; − 7 .
Тестовое задание 1.24 |
|
|
|
Многочлен (x2 + x −7)(x2 − x −3)… |
|
|
имеет два вещественных и два |
|
|
||
|
|
|
комплексных корня |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не имеет корней |
|
|
|
имеет только два вещественных |
|
|
|
корня |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет четыре вещественных корня |
|
|
|
|
27
Решение. Чтобы решить это задание, снова разложим многочлен P(x) в виде (1.3), а для этого найдем действительные (вещественные) корни квадратных трехчленов x2 + x −7 и x2 − x −3 , если они есть. У квадратного трехчлена x2 + x −7 дискриминант D =1 + 28 = 29 > 0. Значит, он имеет два разных дейст-
вительных корня. У квадратного |
трехчлена |
x2 − x −3 |
дискриминант |
D =1+12 =13 > 0 . Следовательно, этот |
трехчлен |
тоже имеет |
два различных |
действительных корня. Делаем вывод, что многочлен четвертой степени P(x) |
|||||
имеет четыре действительных (вещественных) корня. |
|||||
Ответ: Многочлен |
(x2 + x −7)(x2 − x −3) имеет четыре вещественных |
||||
корня. |
|
|
|
|
|
Тестовое задание 1.25 |
|
|
|||
Дано разложение многочлена на мно- |
|
11 |
|||
|
|||||
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
4 |
||
жители |
P(x)=(x −1)3 |
|
x2 +1 2 x4 . То- |
|
2 |
гда корень x =1 имеет кратность, рав- |
|
||||
ную… |
|
|
|
|
3 |
Решение. В этом задании многочлен P(x) уже разложен на множители в
виде (1.3):
P(x)=(x −1)3 (x2 +1)2 (x −0)4 ,
так как квадратный трехчлен x2 +1 действительных корней не имеет. Из этого разложения видно, что корень x1 =1 имеет кратность 3 (скобка (x −1) возведена
в третью степень). Ответ: 3.
28
2.ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
2.1.Краткие теоретические сведения
2.1.1.Определители. Вычисление определителей
Определение 2.1. Квадратная таблица чисел называется квадратной матрицей.
Матрицы обозначаются буквами A, B,… Элементы матрицы обозначают
соответствующей строчной буквой с двумя индексами: элементы матрицы A , имеющей n строк и n столбцов, обозначим aij (i =1,…, n ; j =1,…, n , где i – но-
мер строки, а j – номер столбца, в которых стоит элемент aij |
). Итак, матрица A : |
||
a11 |
… a1n |
|
|
A= |
|
. |
(2.1) |
a |
… a |
|
|
n1 |
|
nn |
|
Каждая квадратная матрица характеризуется числом, называемым определителем (детерминантом) матрицы. Определитель матрицы A обозначается A , или det A , или и записывается в виде
|
|
A |
|
= |
|
a11 |
|
… a1n |
. |
|
(2.2) |
|
|
|
|
|
an1 |
… ann |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определитель (2.2) называется определителем n - го порядка. Элементы |
||||||||||||
aii (i =1,…, n ) составляют главную диагональ определителя. |
|
|||||||||||
Определитель второго порядка вычисляется по формуле |
|
|||||||||||
|
a11 |
a12 |
|
= a |
a |
−a |
a . |
(2.3) |
||||
|
|
|||||||||||
|
a21 |
a22 |
|
|
11 |
22 |
12 |
21 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определитель третьего порядка вычисляется по формуле
a11 a12 a13
a21 a22 a23 = a11a22a33 + a12a31a23 + a13a21a32 −a13a22a31 −a11a23a32 −a33a12a21 . (2.4) a31 a32 a33
29
Для запоминания формулы (2.4) можно дополнить определитель матрицы A справа еще двумя столбцами: первым и вторым:
a11 |
a12 |
a13 |
a11 |
a12 |
a21 |
a22 |
a23 |
a21 |
a22 |
a31 |
a32 |
a33 |
a31 |
a32 |
Теперь слагаемые в формуле (2.4) определяются так: три произведения по три элемента, стоящих на отрезках, обозначенных сплошной линией, – это первые три слагаемых в формуле (2.4); три произведения по три элемента, стоящих на отрезках, обозначенных пунктиром, берутся с противоположным знаком и образуют остальные слагаемые в формуле (2.4). Отметим, что каждое слагаемое содержит три элемента определителя, расположенные в разных строках и столбцах определителя.
Определение 2.2. Дополнительным минором Mij к элементу aij опреде-
лителя (2.4) называют определитель второго порядка матрицы, полученный из матрицы A вычеркиванием i - й строки и j - го столбца.
Определение 2.3. Алгебраическим дополнением к элементу aij матрицы
A (определителя |
A |
) называют число, обозначаемое |
Aij , вычисляемое по фор- |
муле |
|
||
|
|
Aij =(−1)i+ j Mij . |
(2.5) |
Для определителя n - го порядка матрицы A , имеющей n строк и n |
|||
столбцов, дополнительным минором Mij к элементу |
aij будет определитель |
||
(n −1) - го порядка, полученный так же, как Mij в определении 2.2. Алгебраиче- |
|||
ское дополнение Aij к элементу aij тоже определяется по формуле (2.5). |
|||
Определение 2.4. Определитель n - го порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Такое представление называется разложением определителя по строке (столбцу). Например, определитель третьего порядка, разложенный по элементам первой строки, будет равен
a11 |
a12 |
a13 |
|
a21 |
a22 |
a23 |
= a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 = a11 M11 −a12 M12 + a13 M13 = |
a31 |
a32 |
a33 |
|
30