Методическое пособие 519

Найдем размеры этих матриц: A размера 2 ×3, AT размера 3×2 , B размера 3×2 и BT размера 2 ×3. Перемножить можно матрицу размера m ×k на матрицу размера k ×n . Рассмотрим произведения, написанные в ответах:

1.ABT : здесь А размера 2 ×3 , BT - 2 ×3 – не согласованы.

2.BA : здесь B размера 3×2 , A - 2 ×3 – согласованы.

3. BT A: здесь BT размера 2 ×3 , A - 2 ×3 – не согласованы.

4.AB : здесь А размера 2 ×3 , B - 3 ×2 – согласованы.

5.AT BT : здесь AT размера 3×2 , BT - 2 ×3 – согласованы. Правильные ответы: второй, четвертый, пятый.

Тестовое задание 2.21

Решение. Здесь мы тоже посмотрим на размеры перемножаемых матриц

иопределим, согласованы ли они. Имеем:

1.Первая матрица размера 2 ×3 , а вторая - 2 ×2 – не согласованы.

2.Первая матрица размера 2 ×2 , а вторая - 2 ×3 – согласованы.

3.Первая матрица размера 2 ×2 , а вторая - 2 ×2 – согласованы.

4.Первая матрица размера 2 ×2 , а вторая - 1 ×2 – не согласованы.

5.Первая матрица размера 1×2 , а вторая - 2 ×2 – согласованы. Правильные ответы: второй, третий и пятый.

51

2.2.5. Обратная матрица

Тестовое задание 2.22

Решение. В этом задании вспомним, что обратная матрица к матрице A существует, если A квадратная и невырожденная. Данная матрица квадратная, значит, обратная к ней не существует, лишь если она вырожденная, т.е. ее определитель равен нулю. Поэтому искомое α найдем из уравнения

Разложим определитель, например, по первой строке, получим

α 68 −6 30 −7 (−16)= 0 68α = −68 α = −1.

Можно было увидеть этот ответ сразу, вспомнив свойство определителя (третье свойство) о его равенстве нулю, а именно, сравнив первую и третью

(−α): (−2)= −12 , то первая и третья строки будут пропорциональны, и по треть-

ему свойству определитель будет равен нулю. Очевидно, условие −−α2 = −12 вы-

полняется при α = −1. Ответ: α = −1.

52

Решение. В этом задании можно вспомнить формулу (2.11)

Решение. В этом задании придется найти обратные к данным матрицы и сравнить с предложенными ответами. Воспользуемся снова формулой (2.11):

53

вет).

2.2.6. Ранг матрицы

( k ≤ n ), поэтому первый ответ неприемлем. Второе утверждение может выполняться, а может и нет, т.к. может быть k < m . Третье утверждение верно, т.к. если ранг матрицы A равен k , то существует не равный нулю минор порядка k этой матрицы. Но тогда обязательно существует минор порядка (k −1), не рав-

ный нулю. Действительно, если бы все миноры порядка (k −1) были равны нулю, то в имеющемся у нас ненулевом миноре порядка k все дополнительные

54

миноры ко всем элементам были бы нулями, поэтому он не мог быть отличным от нуля.

Четвертое утверждение верно, исходя из определения ранга матрицы: если r (A)= k , то наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы равен

k . Иными словами, если бы не существовал минор порядка k , который не равен нулю, то ранг A был бы меньше k .

Правильные ответы третий и четвертый.

Решение. В этом задании вспомним необходимое и достаточное условие совместности системы ( r( A) = r( A) , формулу (2.14)) и (при выполнении (2.14))

условия единственности решения (формула (2.15)).

По условию задания матрица системы A размера m ×n , n - количество неизвестных. Ранги матриц обозначены r( A) = k , r( A) = p . Рассмотрим предложенные утверждения.

1. p = k +1, значит, r( A) ≠ r( A) , значит, система несовместна - утверждение верно.

2.Соотношение между m и n не связано с формулой (2.14), т.е. с выводом о совместности системы, поэтому утверждение не является верным.

3.Условие n = m не связано с вопросом о совместности системы и количеством ее решений, поэтому при n = m может быть что угодно, в частности, у системы может быть бесчисленное множество решений – утверждение верно.

4.Из условия n = k не следует справедливость формулы (2.14), поэтому утверждение не является верным.

Ответ: верны первое и третье утверждения.

55

Решение. Посмотрим внимательно на матрицу A . Так как второй и третий столбцы пропорциональны (третий получен из второго умножением на ( −1)), то по третьему свойству определителей делаем вывод, что det A = 0 . Матрица A размера 3×3, поэтому у этой матрицы минор третьего порядка только один – ее определитель. Так как det A = 0 , то делаем вывод, что ранг матрицы A меньше трех. Миноры второго порядка, отличные от нуля у матрицы A , найти легко. Рассмотрим, например, первую и вторую строки и первый и второй

Так как нашелся минор второго порядка, не равный нулю, а миноры третьего порядка равны нулю, то делаем вывод, что ранг матрицы A равен 2, т.е. первый ответ верный.

Решение. Дано: r (A)= k . Рассмотрим предложенные утверждения.

1. Так как r (A)= k - наивысший порядок отличных от нуля миноров мат-

рицы A , то все миноры порядка большего, чем k , равны нулю – утверждение верно.

2.Это утверждение тоже верно, так как ранг матрицы не больше количества строк.

3.Утверждение верно, см. определение 2.13 ранга матрицы.

56

4. Утверждение не является верным (см. обсуждение третьего утвержде-

ния в тестовом задании 2.26.)

Итак, верными являются первое, второе и третье утверждения.

2.2.7. Системы линейных уравнений: основные понятия

Решение. В этом задании вспомним, что последний столбец расширенной матрицы системы состоит из правых частей системы, записанной в виде (2.12), а остальные столбцы – это столбцы матрицы системы. Поэтому сначала перепишем системы в виде (2.12), т.е. перенесем свободные члены из левых частей уравнений в правые, записывая одноименные переменные друг под другом:

57

Тестовое задание 2.33

Как и в предыдущих заданиях, базисный минор виден сразу:

Поэтому в качестве базисных переменных можно взять переменные x1, x2 , x3 , а в качестве свободных - x4 , x5 , x6 . Их количество одинаково: три базисных, три свободных, поэтому ответ на вопрос задания - (3 −3)= 0 .

Ответ: ноль.

2.2.8. Системы линейных уравнений: методы решения

60