12.7. Цилиндрические поверхности

Уравнение вида в пространстве определяет цилиндрическую поверхность, у которой образующие параллельны оси Oz.Аналогично, уравнение определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oy, и - цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Ox.

Канонические уравнения цилиндров второго порядка:

- эллиптический цилиндр (рис. 41), (12.8)

- гиперболический цилиндр (рис. 42), (12.9)

- параболический цилиндр (рис. 43). (12.10)

Образующие всех трех цилиндров, определяемых этими уравнениями,параллельны оси Oz, а направляющей служит соответствующая кривая второго порядка (эллипс, гипербола, парабола), лежащая в плоскости xOy.

Библиографический список

1. _{Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометриии линейной алгебры. М.: Наука,1980.}

2. _{Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: Наука,1975}

3. _{Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. М.: Наука,1972.}

4. _{Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука,1980.}

5. _{Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1986. Ч.1.}

6. _{Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука,1975.}

Оглавление

Введение …………………………………………………………3

1. Матрицы и операции над ними…………………………….4

1.1. Понятие матрицы……………………………………...4

1.2. Линейные операции над матрицами…………………5

1.2.1. Сумма матриц………………………………...5

1.2.2. Умножение матриц на действительное число…………………………………………………………………..6

1.2.3. Транспонирование матриц…………………..7

1.3. Умножение матриц……………………………………8

0. Свойства произведения матриц…………………….10

2. Определители………………………………………………...13

2.1. Операции над определителями……………………...13

2.2. Основные свойства определителя…………………..14

2.3. Ранг матрицы…………………………………………17

2.4. Вычисление обратной матрицы……………………..19

3. Системы линейных алгебраических уравнений…………23

1. Общий вид и свойства системы уравнений…………23

2. Матричная форма системы уравнений………………24

3. Метод обратной матрицы и теорема Крамера………25

4. Метод Гаусса………………………………………….28

4. Векторная алгебра…………………………………………....35

4.1. Понятие вектора…………………………………...…..35

4.2. Линейные операции над векторами……………….…36

4.2.1. Операция сложения векторов………………..36

4.2.2. Операция вычитания векторов (частный случай сложения)……………………………………..38

4.2.3. Операция умножения вектора на вещественное число…………………………………………..38

4.3. Линейная зависимость и линейная независимость векторов на плоскости и в пространстве……………………….39

4.4. Базис на плоскости и в пространстве. Разложение по базису. Проекция вектора на ось и ее свойства…………..40

4.5. Декартова прямоугольная система координат……..43

4.6. Формулы деления отрезка в данном отношении…..45

4.7. Произведение векторов: скалярное, векторное, смешанное………………………………………………..…….46

4.7.1. Скалярное произведение………………………46

4.7.2. Векторное произведение векторов……………49

4.7.3. Смешанное произведение трех векторов……..52

5. Плоскость в пространстве…………………………………..60

5.1. Общее уравнение плоскости………………………….60

5.2. Уравнение плоскости в нормальном виде……….…..61

5.3. Уравнение плоскости в отрезках………………….….63

5.4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки…………………………………………………………………..63

5.5. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей…………………..64

6. Прямая на плоскости………………………………………....68

6.1. Общее уравнение………………………………………68

6.2. Каноническое уравнение прямой………………….….70

6.3. Параметрическое уравнение прямой…………………72

6.4.Уравнение прямой с угловым коэффициентом………72

6.5. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых…………………………..73

6.5.1. Прямые заданы общими уравнениями………..73

6.5.2. Прямые заданы каноническими уравнениями..74

6.5.3. Прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом……………………………………………74

7. Прямая в пространстве………………………………………76

7.1. Общие и канонические уравнения прямой в пространстве…………………………………………….………….76

7.2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки………………………………………………….……78

7.3. Параметрические уравнения прямой в пространстве……………………………………………………….79

7.4. Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой………………….……………………….…80

7.5. Условие принадлежности прямых к одной плоскости……………………………………………………...82

7.6. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости……………………………………………………...83

7.7. Условие принадлежности прямой к плоскости. Пересечение прямой и плоскости……………………………..84

8. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола……………………………………………….……………88

8.1. Каноническое уравнение эллипса, окружности…….89

8.2. Каноническое уравнение гиперболы………………..91

8.3. Каноническое уравнение параболы………………....93

8.4. Эксцентриситет эллипса и гиперболы………………95

8.5. Директрисы эллипса и гиперболы………………..…96

8.5.1. Директрисы эллипса………………………...96

8.5.2. Директрисы гиперболы………………….….97

9. Преобразование систем координат…………………….…103

10. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду……………………………………………..105

11. Полярные координаты……………………………………110

12. Поверхности второго порядка……………………………114

12.1. Эллипсоид…………………………………………...114

12.2. Однополостный гиперболоид………………………115

12.3. Двуполостный гиперболоид………………………..115

12.4. Эллиптический параболоид………………………..117

12.5. Гиперболический параболоид……………………..117

12.6. Конус второго порядка……………………………..119

12.7. Цилиндрические поверхности….………………….120

Библиографический список ………………………………….122

Учебное издание

Горбунов Валерий Викторович

Соколова Ольга Анатольевна

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Компьютерный набор О.А.Соколовой