Вопросы для самопроверки

1. Что называется вектором и модулем вектора?

2. Какие векторы называют коллинеарными, компланарными, равными?

3. Могут ли два вектора, имеющие равные модули, быть неравными? Если да, то чем они отличаются друг от друга?

4. Какие операции над векторами называются линейными и каковы свойства этих операций?

5. Что называется базисом на плоскости, в пространстве?

6. В каком случае векторы называются линейно зависимыми, а в каком линейно независимыми?

7. Как определяется декартова система координат?

8. Как выражаются координаты вектора через координаты его начальной и конечной точек?

9. Приведите формулы деления отрезка в данном отношении?

10. Что называется скалярным произведением двух векторов, каковы его свойства, как оно выражается через координаты векторов-сомножителей?

11. Каковы формулы длины вектора, угла между двумя векторами, расстояния между двумя точками в декартовой системе координат?

12. Что называется векторным произведением двух векторов, каковы его свойства, как оно выражается через координаты векторов-сомножителей?

13. Что называется смешанным произведением трех векторов, каковы его свойства, как оно выражается через координаты векторов-сомножителей?

14. Какому условию должны удовлетворять координаты трех векторов, чтобы их можно было принять за базис пространства?

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить скалярное произведение векторов и , заданных своими координатами, и углы между ними: , .

Ответ. .

2. Найти внутренние углы треугольника с вершинами A(5,2,-4), B(9,-8,-3), C(16,-6,-11).

Ответ. ; .

3. Найти проекцию вектора на ось вектора .

Ответ. 4.

4. Найти векторное произведение векторов и

Ответ.

5. Упростить выражение: .

Ответ. .

6. Векторы связаны соотношениями . Доказать, что векторы и коллинеарны.

7. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Ответ. 43.

8. Показать,что векторы компланарны.

9. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках A (5, 2, 2), B(-8, -2, 5), C(6, 3, 0), D(9, 3,2).

Ответ: 0,5.

5. Плоскость в пространстве

5.1. Общее уравнение плоскости

Если в пространстве фиксирована произвольная декартова прямоугольная система , то всякое уравнение первой степени с тремя неизвестными х,у,z определяет относительно этой системы плоскость.

Уравнение

Ах + Ву + Сz + D = 0 (5.1)

с произвольными коэффициентами А, В, С, D такими, что из коэффициентов А, В, С хотя бы один отличен от нуля, называется общим уравнением плоскости.

Пусть уравнение (5.1) имеет хотя бы одно решение х₀,у₀,z₀, т.е. существует точка М₀(х₀,у₀,z₀), координаты которой удовлетворяют уравнению Ах₀ +Ву₀ +Сz₀ +D = 0.

Вычитая это уравнение из (5.1), получим

А(х – х₀) + В(у –у₀) +С(z – z₀) = 0 . (5.2)

Это уравнение определяет плоскость, проходящую через (х₀,у₀,z₀) перпендикулярно .

Вектор перпендикулярен плоскости и называется нормальным вектором плоскости.

Если = 0, то плоскость проходит через начало координат.

Уравнение (5.1) – полное уравнение. Если один из коэффициентов равен нулю, то получим неполное уравнение. Например, уравнение Ах +Ву + D = 0 определяет плоскость, параллельную оси Оz, вектор , (перпендикулярную плоскости ).