Вопросы для самопроверки

1. Что называется центром линии второго порядка?

2. Каково условие наличия центра у кривой второго порядка?

3. Из какого условия получается уравнение для нахождения угла поворота системы координат?

4. Является ли гипербола нецентральной кривой второго порядка?

5. Какую кривую можно привести в качестве примера нецентральной кривой второго порядка?

Задачи для самостоятельного решения

1. Уравнение привести к каноническому виду путем преобразования систем координат.

Ответ.

2. Уравнение привести к каноническому виду путем преобразования систем координат.

Ответ.

3. Уравнение привести к каноническому виду путем преобразования систем координат.

Ответ.

11. Полярные координаты

Полярная система координат задается точкой О, которая называется полюсом, лучем Ор, называемым полярной осью. С лучем Ор связан единичный вектор того же направления. Возьмем произвольную точку М на плоскости. Положение этой точки задается двумя числами, называемыми полярными координатами: расстоянием от полюса О до точки М и углом , образованным отрезком ОМ с полярной осью, при этом отсчет угла ведется от полярной оси против часовой стрелки.

Число называется полярным радиусом и может меняться на промежутке [ 0, ). Угол называется полярным углом и принимает значения на промежутке [0,2 ).

Для установления связи между прямоугольными и полярными координатами совместим полюс О с началом координат системы хОу , а полярную ось – с положительной полуосью Ох. Пусть х и у будут прямоугольными координатами точки М, а и - ее полярными координатами.

Из рисунка видно, что прямоугольные координаты точки М с вязаны с полярными координатами следующим образом:

(11.1)

Полярные координаты точки М выражаются через декартовы координаты формулами:

(11.2)

Пример 11.1. Записать в декартовых координатах уравнение линии , заданной в полярной системе координат, определить ее тип и сделать чертеж.

Решение. Воспользуемся формулами связи декартовых и полярных координат (11.1)

, , .

Получим

или .

Возведение в квадрат обеих частей дает равенство

.

Выделяя полный квадрат, имеем

.

Разделив обе части уравнения на , получаем каноническое уравнение гиперболы, смещенной по оси Ох на влево.

.

Вопросы для самопроверки

1. Как образуется система полярных координат?

2. В каких пределах меняются полярный радиус и полярный угол?

3. Какими соотношениями связаны декартовы прямоугольные координаты и полярные координаты произвольной точки?

Задачи для самостоятельного решения

1. Записать в декартовых координатах уравнение линии .

Ответ.

2. Записать в полярных координатах уравнение линии

Ответ.

3. Записать в полярных координатах уравнение лемнискаты и указать, в каких пределах изменяется полярный угол в уравнении кривой.

Ответ.