8.5.2. Директрисы гиперболы

Определение. Директрисой (i = 1, 2) гиперболы, отвечающей фокусу F_i (i = 1, 2), называется прямая, расположенная в полуплоскости p_i (i=1, 2), перпендикулярно действительной оси гиперболы на расстоянии от её центра.

Замечание 1. Уравнения директрис имеют вид

: х = - ,

: х = .

Замечание 2. Директрисы целиком расположены в области, не содержащей точек гиперболы.

Для точек директрис

êх ê= < а, так как > 1.

р = а ( - ) = а .(8.14)

- расстояние от фокуса гиперболы до соответствующей ему директрисы.

Теорема. Расстояние r_i от точки М гиперболы до фокуса F_i к расстоянию d_i от этой точки до отвечающей этому фокусу директрисы равно эксцентриситету этой гиперболы.

Используя всe вышесказанное, можем сформулировать следующее определение отличного от окружности эллипса, гиперболы и параболы.

Определение. Геометрическое место точек М плоскости p, для которых отношение расстояния r до точки F этой плоскости к расстоянию d до прямой D, расположенной в плоскости p, есть величина постоянная, представляет собой либо эллипс (при 0< <1), либо параболу (при =1), либо гиперболу (при > 1). Точка F называется фокусом, прямая D– директрисой, - эксцентриситетом геометрического места точек .

Пример 8.1. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить линию, определяемую уравнением .

Решение. Выделяя полные квадраты , преобразуем левую часть уравнения. Имеем или

Вводя новые координаты , после деления на 18, получаем или .

Т аким образом получено уравнение окружности с центром в точке .

Пример 8.2. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить линию, определяемую уравнением .

Решение. Выделяя полные квадраты , преобразуем левую часть уравнения. Имеем

;

;

.

Вводя новые координаты , получаем .

Таким образом получено уравнение эллипса с центром в точке .

П ример 8.3. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить линию, определяемую уравнением .

Решение. Выделяя полные квадраты , преобразуем левую часть уравнения. Имеем

;

;

.

Вводя новые координаты , получаем - уравнение гиперболы, для которой действительной осью является ось , а центр расположен в точке .

Пример 8.4. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить линию, определяемую уравнением .

Решение. Выделяя полный квадрат , преобразуем левую часть уравнения. Имеем

;

;

.

Вводя новые координаты , получаем

- уравнение параболы, вершина которой в точке .

Вопросы для самопроверки

1. Каковы канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы?

2. Что называется фокусами, директрисами и эксцентриситетом эллипса, гиперболы, параболы?

3. Каковы геометрические свойства эллипса, гиперболы, параболы?

4. Что называется асимптотами гиперболы?

5. Каков геометрический смысл неравенства первой степени с двумя переменными?

Задачи для самостоятельного решения

1. Привести уравнения кривых к каноническому виду и построить линии, определяемые уравнениями:

1) ;

2)

3)

4)

5)

6)

Ответы:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ;

6) ; .