- •Введение
- •Матрицы и операции над ними
- •. Понятие матрицы
- •Матрицы и одинакового размера называются равными, если попарно равны их соответствующие элементы .
- •1.2. Линейные операции над матрицами
- •1.2.1. Сумма матриц
- •Свойства операции суммирования матриц
- •1.2.2. Умножение матрицы на действительное число
- •Свойства произведения матрицы на число
- •1.2.3. Транспонирование матриц
- •1.3. Умножение матриц
- •1.4. Свойства произведения матриц
- •Пусть дана матрица
- •2.2. Основные свойства определителя
- •2.3. Ранг матрицы
- •Матрица (2.5) имеет ступенчатый вид , где , * - некоторые числа.
- •2.4. Вычисление обратной матрицы
- •3.1. Общий вид и свойства системы уравнений
- •3.2. Матричная форма системы уравнений
- •3.3. Метод обратной матрицы и теорема Крамера
- •3.4. Метод Гаусса Суть метода Гаусса в том, чтобы с помощью элементарных преобразований матриц получить матрицу вида:
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4. Векторная алгебра
- •4.1. Понятие вектора
- •4.2. Линейные операции над векторами
- •4.2.1. Операция сложения векторов
- •Свойства операции сложения векторов
- •4.3. Линейная зависимость и линейная независимость векторов на плоскости и в пространстве
- •4.4. Базис на плоскости и в пространстве. Разложение по базису. Проекция вектора на ось и ее свойства
- •Линейные свойства проекций
- •4.5. Декартова прямоугольная система координат
- •4.6. Формулы деления отрезка в данном отношении р ассмотрим в пространстве две точки и и прямую, определяемую этими точками.
- •4.7. Произведение векторов: скалярное, векторное, смешанное
- •4.7.1. Скалярное произведение
- •Теорема. Два ненулевых вектора и составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно). Алгебраические свойства скалярного произведения
- •4.7.2. Векторное произведение векторов
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Выражение векторного произведения в декартовых координатах
- •4.7.3. Смешанное произведение трех векторов
- •Геометрический смысл
- •Пример 4.4. Упростить выражение .
- •Находим площадь треугольника
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Плоскость в пространстве
- •5.1. Общее уравнение плоскости
- •5.2. Уравнение плоскости в нормальном виде
- •5.3. Уравнение плоскости в отрезках
- •5.4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •5.5. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Прямая на плоскости
- •6.1. Общее уравнение
- •6.2. Каноническое уравнение прямой
- •6.3. Параметрическое уравнение прямой
- •6.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •6.5. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •6.5.1. Прямые заданы общими уравнениями
- •6.5.2. Прямые заданы каноническими уравнениями
- •6.5.3. Прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
- •Вопросы для самопроверки
- •7.4.Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.
- •7.5. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости
- •7.6. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •7.7. Условие принадлежности прямой к плоскости. Пересечение прямой и плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола
- •8.1. Каноническое уравнение эллипса, окружности
- •8.2. Каноническое уравнение гиперболы
- •8.3. Каноническое уравнение параболы
- •8.4.Эксцентриситет эллипса и гиперболы
- •8.5. Директрисы эллипса, гиперболы
- •8.5.1. Директрисы эллипса
- •8.5.2. Директрисы гиперболы
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •9. Преобразование систем координат
- •10. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11. Полярные координаты
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •12.Поверхности второго порядка
- •12.1. Эллипсоид
- •12.2. Однополостный гиперболоид
- •12.3.Двуполостный гиперболоид
- •12.4. Эллиптический параболоид
- •12.5. Гиперболический параболоид
- •12.6. Конус второго порядка
- •12.7. Цилиндрические поверхности
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Лр № 0668515 от 25.08.99. Подписано к изданию 18.03.02.
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
9. Преобразование систем координат
Выделяются два случая преобразования одной прямоугольной системы координат в другую: параллельный перенос осей координат и поворот осей координат.
Рассмотрим параллельный перенос осей координат, при котором направление осей и масштаб остаются неизменными, а меняется положение начала координат. Начало новой системы координат точка имеет координаты в старой системе координат хОу , т.е. . Координаты произвольной точки М плоскости в системе хОу обозначим через (х,у), а в новой системе - через (рис. 30).
Из рисунка видно, что
(9.1)
Н айденные формулы позволяют находить старые координаты х,у по известным новым кординатам и наоборот. Рассмотрим поворот осей координат как преобразование, при котором начало координат и масштаб не меняются, а обе оси поворачиваются на один и тот же угол . Новая система координат получена поворотом старой системы координат на угол . Произвольная точка М имеет относительно старых осей координаты , а относительно новых осей - координаты .
На рис. 31 Из прямоугольного треугольника следует, что
а из прямоугольного треугольника следует, что . Отсюда получаются уравнения связи координат точки в исходной системе координат и повернутой системе координат
(9.2)
10. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
Линией второго порядка в декартовых координатах называется линия, определяемая уравнением второй степени с двумя неизвестными:
. (10.1)
Центром линии второго порядка является точка плоскости, совпадающая с центром симметрии кривой, если таковой имеется. В качестве примера центральной линии второго порядка можно назвать эллипс и гиперболу. Центр у линии второго порядка существует, если найдется единственная точка , координаты которой будут удовлетворять системе уравнений:
(10.2)
Система уравнений имеет единственное решение, если главный определитель , называемый дискриминантом, будет отличен от нуля:
(10.3)
В этом случае по формулам Крамера
Если центр линии определен, то уравнение кривой упрощается при переходе к новым координатам системы координат , полученной из старой системы координат путем параллельного переноса. Используя уравнения связи координат при параллельном переносе
,
получаем уравнение линии в виде
где
Следующий этап упрощения связан с поворотом системы координат на угол , задаваемый формулами (9.2).
Выразим в уравнении линии старые координаты через новые:
Выберем угол таким образом, чтобы коэффициент при обратился в ноль
При подстановке найденного значения угла в уравнение линии последнее приобретает вид
где
Если то уравнение для тангенса угла поворота теряет смысл. В этом случае из чего следует, что систему координат требуется повернуть на
Пример 10.1. Уравнение привести к каноническому виду путем преобразования систем координат.
Решение. Перейдем к смещенной системе координат, вычислив предварительно координаты центра кривой .
Старые координаты х, у связаны с новыми координатами уравнениями
Уравнение кривой в координатах примет вид
,
Перейдем к системе координат , повернутой относительно предыдущей системы координат на угол , для чего воспользуемся формулами связи координат при повороте (9.2).В результате получим
+
+
Угол поворота выбирается из условия обращения в ноль коэффициента при :
6sin cos -4 +4 =0.
Вычисление дает tg 1=2, tg 2= -1/2.
Условимся выбрать в первой четверти, тогда tg =2,
а sin =tg / =2/ , cos =1/ =1/ .
Используя найденные тригонометрические функции, получим уравнение
которое после деления на свободный член приобретет вид уравнения эллипса с полуосями =1/2, =3/4.
Если кривая второго порядка не является центральной, т.е. дискриминант =0, упрощение уравнения рекомендуется начинать с поворота системы координат указанным выше способом, после чего с помощью параллельного переноса системы координат производится дальнейшее упрощение вида уравнения. В качестве примера нецентральной кривой второго порядка можно указать параболу.