Алгебраические свойства векторного произведения

1. (свойство антиперестановочности сомножителей).

2. (сочетательное относительно числового множителя).

3. (распределительное относительно суммы векторов).

4. для любого вектора , так как вектор коллинеарен сам себе.

Выражение векторного произведения в декартовых координатах

Теорема. Если два вектора и определены своими декартовыми прямоугольными координатами и , то векторное произведение этих векторов имеет вид

(4.17)

или же

. (4.18)

Следствие. Если два вектора и коллинеарны, то координаты их пропорциональны, то есть

(эту пропорцию следует понимать как и т.д.).

4.7.3. Смешанное произведение трех векторов

Пусть даны три вектора , и . Если вектор векторно умножается на , а затем получившийся вектор скалярно умножается на вектор , то получается число, называемое смешанным произведением векторов , , .

Геометрический смысл

Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах , и , взятому со знаком (+), если тройка правая, и со знаком (-) , если тройка левая.

Следствие 1. Справедливо равенство

.

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Следсвие 3. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю. (Такие три вектора заведомо компланарны).

Смешанное произведение в декартовых координатах

Теорема. Если три вектора , и определены своими декартовыми прямоугольными координатами , , , то смешанное произведение равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов, то есть

. (4.19)

Пример 4.1. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы вектор был перпендикулярен вектору ?

Решение. Если , то .

Раскрывая скобки в последнем равенстве (в силу свойства скалярного произведения), получим , откуда .

Пример 4.2. Дан треугольник с вершинами (-3,5,6),

(1,-5,7), (8,-3,-1). Найти внутренний угол при вершине .

Решение. Внутренний угол треугольника при вершине равен углу между векторами и .

По формулам находим координаты указанных векторов:

, .

С помощью формулы находим косинусы углов:

_.

Следовательно, .

Пример 4.3. Даны три вектора , , . Найти .

Решение. Определим вектор:

;

В соответствии с формулой находим:

.

Пример 4.4. Упростить выражение .

Решение. Пользуясь формулой и свойствами векторного произведения получаем

_.

Пример 4.5. Вычислить площадь треугольника с вершинами A(-1,0,2), B(1,-2,5), C(3,0,-4).

Решение. Находим сначала координаты векторов и :

, .

Координаты векторного произведения определяем по формуле:

.

Получаем

или .

Находим площадь треугольника

Пример 4.6. Доказать, что векторы , , компланарны.

Решение. Найдем смешанное произведение этих векторов по формуле:

.

Равенство нулю смешанного произведения означает, что векторы компланарны.

Пример 4.7. Даны вершины тетраэдра: (0, -2, 5),

(6, 6, 0), (3, -3, 6), (2, -1, 3). Найти длину его высоты, опущеной из вершины .

Решение. Найдем сначала объем тетраэдра . По формуле получаем:

Так как определитель равен отрицательному числу, то в данном случае перед формулой нужно взять знак минус. Следовательно, .

Искомую величину h определим из формулы , где S – площадь основания. Определим площадь S:

где

Поскольку

то

Подставляя в формулу значения и , получим h=3.

Пример 4.8. Образуют ли векторы базис в пространстве ? Разложить вектор по базису векторов .

Решение. Три вектора в пространстве R₃ могут образовать базис, если они не лежат в одной плоскости, т.е. некомпланарны.

Найдем смешанное произведение векторов :

,

следовательно векторы некомпланарны и образуют базис в пространстве. Если векторы образуют базис в пространстве, то любой вектор можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов , а именно ,где координаты вектора в базисе векторов . Найдем эти координаты, составив и решив систему уравнений

.

Решая ее методом Гаусса, имеем

Отсюда .

Тогда .

Таким образом, .