8.3. Каноническое уравнение параболы

Парабола представляет собой линию пересечения кругового конуса с плоскостью, параллельной одной из образующих конуса (рис. 21).

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, также расположенной в данной рассматриваемой плоскости.

Точка F – называется фокусом параболы, а фиксированная прямая - директрисой (направляющей) параболы.

Пусть . Тогда согласно определению

r = d – необходимое и достаточное условие расположения точки М(х, у) на данной параболе (рис. 22).

Пусть , тогда F( .

Тогда r = ,

d = Þ

= .

Упрощаем:

(х - .

Отсюда

-рх + у² = рх,

у² = 2рх

- каноническое уравнение параболы.

Из этого уравнения видно, что парабола симметрична относительно оси 0х.

Еe верхняя половина определяется уравнением

у = (0£ х < ).

Точка пересечения с осью симметрии называется вершиной параболы. Величина р – называется параметром параболы. Так как р > 0, то вся парабола расположена в правой полуплоскости 0ху. (Для р < 0 парабола расположена в левой полуплоскости).

Директриса параболы, определяемой каноническим уравнением у² = 2рх (р > 0) имеет уравнение

у = . (8.8)

Используя понятие фокуса и директрисы, можно определение параболы сформулировать так: парабола есть геометрическое место точек плоскости, для которых отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы есть величина постоянная, равная единице.

Аналогично, и для эллипса, отличного от окружности и для гиперболы: для каждого фокуса эллипса или гиперболы можно указать такую прямую, называемую директрисой, что отношение расстояния от точек этих кривых до фокуса к расстоянию до отвечающей этому фокусу директрисы есть величина постоянная.

8.4.Эксцентриситет эллипса и гиперболы

Пусть с – половина расстояния между фокусами эллипса (гиперболы), а – большая полуось эллипса (действительная полуось гиперболы).

Определение. Эксцентриситетом эллипса (гиперболы) называется величина

(8.9)

Учитывая, что для эллипса , Þ ,

для гиперболы , , имеем

(8.10)

для эллипса;

(8.11)

для гиперболы .

Таким образом, эксцентриситет эллипса меньше 1, а гиперболы больше 1. Эксцентриситет окружности равен 0 (т.к. = а).

При одинаковых эксцентриситетах два эллипса или две гиперболы подобны.

Эксцентриситет эллипса можно рассматривать как меру его «вытянутости» (рис. 23а).

Эксцентриситет гиперболы можно рассматривать как числовую характеристику величины раствора угла между её

а симптотами (рис. 23б).

8.5. Директрисы эллипса, гиперболы

8.5.1. Директрисы эллипса

Пусть дан эллипс: F₁ и F₂ фокусы, - эксцентриситет. Малая ось эллипса делит плоскость на две p₁ и p_{2 ,} а – большая полуось.

Определение: Директрисой (i = 1,2) эллипса, отвечающей фокусу F_i (i =1,2), называется прямая, расположенная в полуплоскости p_i (i =1, 2), перпендикулярной большой оси эллипса, на расстоянии от его центра.

З амечание 1. Уравнение директрисы можно записать в виде

D₁ : х = (8.12)

D₂ : х =

Замечание 2. Директрисы эллипса расположены вне эллипса, поскольку эллипс находится в прямоугольнике.êх ê£ а; , а директрисы на расстоянии

> а (0< < 1).

Замечание 3. Точки эллипса и его центр расположены по одну сторону от каждой его директрис.

Замечание 4. Обозначим через р – расстояние от фокуса до соответствующей ему директрисы.

Так как расстояние от центра до директрисы равно , а от центра до фокуса с, то р = , а так как с = а , то

р = а (8.13)

- расстояние от фокуса до соответствующей ему директрисы.

Теорема. Отношение расстояния r_i от точки М эллипса до фокуса F_i к расстоянию d_i от этой точки до отвечающей этому фокусу директрисы равно эксцентриситету этого эллипса.