12.Поверхности второго порядка

Поверхности, определяемые в прямоугольной системе координат алгебраическим уравнениями второго порядка, называются поверхностями второго порядка. Исследование поверхностей второго порядка проводится по их уравнениям с использованием метода параллельных сечений.

12.1. Эллипсоид

Каноническое уравнение эллипсоида:

. (12.1)

В сечениях эллипсоида в плоскостях Оху и Oxz получаются эллипсы с парами полуосей соответственно a, b и , с (рис.35), уравнения которых имеют вид

, .

Рис. 35.

Ч

Рис. 35.

исла a, b и с называются полуосями эллипсоида. Нетрудно видеть, что самые большие эллипсы

получаются в сечениях координатными плоскостями; по мере удаления от них эллипсы в сечениях плоскостями, параллельными координатным плоскостям, уменьшаются до вырождения в точку и полного исчезновения.

В случае, если a=b=c=R, получаем уравнение сферы:

. (12.2)

В сечениях сферы в плоскостях Оху ,Oxz, Oyz получаются окружности радиуса R.

12.2. Однополостный гиперболоид

Каноническое уравнение однополостного гиперболоида:

. (12.3)

Вид этой поверхности показан на рис.36. В сечениях однополостного гиперболоида координатными плоскостями Oxz и Оуг получаются гиперболы, уравнения которых соответственно имеют вид

.

В сечениях данной поверхности плоскостя­ми z = h, параллельными плоскости Оху, получаются эллипсы, полуоси которых увеличиваются по мере удаления от плоскости Oху. Наименьший эллипс лежит в координатной плоскости Оху, его уравнение имеет вид

.

Положительные числа a, b и с называются полуосями однополостного гиперболоида. Сама поверхность имеет вид полости бесконечного протяжения по оси Oz, расширяющейся по мере удаления от координатной плоскости Оху.

Рис. 36.

3)

12.3.Двуполостный гиперболоид

Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида:

. (12.4)

Положительные числа a, b и с называются полуосями двуполостного гиперболоида.

В сечениях этой поверхности координатными плоскостями Oxz и Oyz получаются гиперболы, уравнения кото­рых соответственно имеют вид

.

Сечения этого гиперболоида плоскостями z = h, параллельными координатной плоскости Оху, приводят к линиям пересечения, которые определяются уравнениями

.

Нетрудно видеть, что эти уравнения имеют смысл при |h| > с. Следовательно, в таких сечениях получаются эллипсы с полуосями

и ,

которые увеличиваются по мере удаления от плоскости Оху.

Таким образом, двуполостный гиперболоид представляет собой поверхность, состоящую из двух отдельных полостей типа бесконечных выпуклых чаш, которые расположены симметрично относительно плоскости Оху на расстоянии с от их вершин до этой плоскости (рис. 37).

Рис. 37.