5.2. Уравнение плоскости в нормальном виде

Зададим вектор в прямоугольной системе координат, имеет начало в точке О. Через проведем плоскость перпендикулярную к . Произвольную точку плоскости обозначим Q (х, у, z); - радиус – вектор, соответствующий точке Q.

Пусть р = | | - длина вектора , - единичный вектор направленный в ту же сторону, что и вектор .

= (cosa, cosb, cosg), где a,b,g - углы, образуемые вектором с положительным направлением осей х, у, z.

П роекция любой точки Q Î p на вектор , есть величина постоянная, равная р:

( , ) = р (р ³ 0) (5.3)

– уравнение плоскости в векторной форме.

В координатах (5.3) записывается:

хcosa +уcosb +zcosg = , ( ³ 0) (5.4)

– уравнение плоскости в нормальном виде, где – длина перпендикуляра из центра координат на плоcкость.

Произвольное уравнение в общем виде (5.1) можно привести к нормальному виду, умножив его на число

t = ± 1/ , где знак берется противоположным знаку .

Тогда

Здесь вектор = единичный ê ê= 1, его проекции на оси координат равны ; .

Таким образом xcosa + уcosb + zcosg = р , (р ³ 0) , т.е. получим уравнение плоскости в нормальном виде.

Из этого уравнения мы можем узнать расположение плоскости относительно системы координат.

Точка М(х, у,z) лежит на плоскости, тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют уравнению (5.4).

Если же точка не лежит на плоскости, то

хcosa +уcosb +zcosg - р = d

- это есть отклонение точки М от плоскости.

Отклонение d - есть число (+ ), где

(5.5)

– расстояние от точки до плоскости, если точка и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, и , если и лежат по одну сторону от плоскости. Для нахождения отклонения точки (х₀, у₀, z₀) от плоскости следует подставить в уравнение (5.4) координаты этой точки.

Расстояние от точки до плоскости равно .

5.3. Уравнение плоскости в отрезках

Если ¹ 0, то уравнение (5.1) можно записать

(5.6)

- уравнение плоскости в отрезках,

где .

Эта плоскость пересекает ось в точке ( , 0, 0), – в точке (0, , 0), ось – в точке (0, 0, ). Исходя из этого, легко определить расположение плоскости относительно системы координат.

5.4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Пусть даны три точки (х₁, у₁, z₁), ₍х₂, у₂, z₂),

(х₃, у₃, z₃), не лежащие на одной прямой.

Определим уравнение плоскости (причем единственной), проходящей через эти три точки.

Так как три точки не лежат на одной прямой, то векторы

= (х₂ – х₁, у₂ – у₁, z₂– z₁), = (х₃ – х₁, у₃ – у₁, z₃ – z₁) не коллинеарны. Тогда точка лежит в одной плоскости с точками тогда и только тогда, когда векторы , и = компланарны, то есть только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю,

(5.7)

- это уравнение плоскости, проходящей через три точки.