6.5. Использование временных методов при комплексировании

Комплексные системы могут строиться как с использованием информации о движении объекта, так и без нее на основе принципа инвариантности.

Рассмотрим способ комплексирования, основанный на использовании информации о движении объекта. Составим дифференциальные уравнения, описывающие движение объекта и изменение медленных составляющих ошибок измерительных устройств:

, (6.11)

, (6.12)

где –-мерный вектор состояния объекта;–-мерный вектор состояния медленных составляющих ошибок;– матрица размером;– вектор белого гауссовского шума размерностис нулевым средним и диагональной корреляционной матрицей;– матрица размером,.

Процесс наблюдения описывается уравнением

, (6.13)

где –-мерный вектор;– матрица размером,;–-мерный белый гауссовский шум с нулевым средним и корреляционной матрицей.

Особенность выражения (6.13) заключается в том, что ошибки при измерении компонент вектора являются суммой медленных ошибоки белого шума.

Составим вектор состояния комплексной системы , вектор шума, блочно-диагональные матрицыи, матрицу, имеющую размер, и матрицу наблюдения. Тогда вместо уравнений (6.11), (6.12) и (6.13) получим уравнения модели воздействия в виде (5.18) и (5.19). Затем с помощью алгоритма фильтра Калмана найдем оптимальную оценку вектора состояния.

Комплексная система получается сложной, так как размерность фильтра определяется суммой . Кроме того, для реализации оптимального алгоритма требуется иметь много априорных данных – значения матриц,,,,,и.

Рассмотрим использование информации о движении объекта на примере определения одной из координат (дальности) самолета. Составим систему уравнений, описывающих движение самолета и измерение скорости и положения с помощью датчика воздушной скорости и дальномера (рис. 6.6, а). Для моделирования движения самолета с ускорением в виде экспоненциально-коррелированного процесса используем уравнения (3.38).

;; , (6.14)

где ,и– путь, скорость и ускорение;– интервал корреляции ускорения;– белый гауссовский шум со спектральной плотностью.

Ошибка датчика скорости, создаваемая ветром, является медленно изменяющейся величиной из-за изменения погодных условий вдоль трассы полета самолета. Эта ошибка моделируется как экспоненциально-коррелированный процесс, определяемый уравнением вида (3.31).

, (6.15)

где – ошибка, создаваемая ветром;– постоянная времени;– белый гауссовский шум со спектральной плотностью.

Система дифференциальных уравнений модели воздействия содержит выражения (6.14) и (6.15), а вектор состояния имеет вид . Векторная форма системы дифференциальных уравнений имеет вид:

, (6.16)

где ;;.

Измерение скорости выполняется датчиком воздушной скорости с ошибкой, а уравнение наблюдения имеет вид:

. (6.17)

Измерение пройденного пути производится радиодальномером с ошибкой, которая является белым шумом со спектральной плотностью.

. (6.18)

Вектор наблюдения имеет вид

, (6.19)

где ;;.

Оптимальное объединение данных в комплексной системе затем сводится к построению фильтра Калмана для оценивания вектора состояния по наблюдению.

Размер вектора состояния в рассмотренном примере равен числу дифференциальных уравнений – 4. Но в примере рассматривается движение только по одной координате. При моделировании движения на плоскости число уравнений возрастет до 8, а в трехмерном пространстве – до 12.

Используем принцип инвариантности для упрощения полученной комплексной системы. Воспользуемся методом компенсации для модели воздействия, рассмотренной в предыдущем примере. В схеме компенсации формируется сигнал , не зависящий от скорости движения самолета(рис. 6.6, б). Для этого из радиотехнического измерениявычитается интеграл воздушной скорости. Используя (6.17) и (6.18), получим

. (6.20)

Из выражения (6.20) следует, что величина зависит только от ошибки измерения скорости. Далее необходимо построить фильтр, выполняющий оптимальную оценку ошибки, создаваемой ветром.

Построим модель воздействия, не содержащего скорость самолета. Ошибка датчика воздушной скорости моделируется как экспоненциально-коррелированный процесс с помощью выражения (6.12).

Преобразуем величину так, чтобы исключить скорость объекта.

.

Тогда при использовании принципа инвариантности система уравнений модели воздействия содержит два уравнения:

и . (6.21)

Система уравнений (6.21) в векторной форме имеет вид:

, (6.22)

где ;;;;.

Вектор содержит известную величину – измерение датчика воздушной скорости. В векторе наблюденияв выражении (6.19) остается только измерение дальномера.

Несмотря на то, что ускорение и скорость самолета отсутствуют в уравнениях (6.21), величина пути зависит от истинной скорости, так какразность воздушной скорости и случайной ошибки .

Использование принципа инвариантности снизило размер вектора состояния до двух элементов (вместо четырех) и устранило зависимость от априорных данных о движении объекта.

В качестве примера выше рассматривалось движение самолета, однако уравнения (6.14) и (6.21) можно использовать для описания движения центра масс любого транспортного средства. Первые комплексные системы использовались в навигационных комплексах самолетов, но в настоящее время в связи с широким использованием глобальной навигационной системы и появлением миниатюрных ИНС комплексирование используется и в навигационных системах наземного транспорта.

При вычислительной реализации комплексной фильтрации целесообразно использовать дискретное время и описание системы с помощью разностных уравнений. Составление таких уравнений было выполнено для процесса с экспоненциально-коррелированной скоростью в разделе 3.8. Уравнения (6.21) отличаются от уравнений (3.34) знаком скорости и наличием известной величиныв правой части первого уравнения. Поэтому система разностных уравнений имеет вид:

; , (6.23)

а переходная матрица системы отличается от матрицы, даваемой выражением (3.35), знаком . В векторной записи система (6.23) имеет вид:

,(6.24)

где ;;; ; .

Наблюдение в дискретном времени имеет вид:

, (6.25)

где ;– дискретный белый шум с известной дисперсией.