5.2. Параметрическая оптимизация систем с дискретным временем

Параметрическая оптимизация систем с дискретным временем может выполняться частотными или временными методами. Для исследования систем с постоянными параметрами можно применить метод -преобразования, однако частотный метод анализа достаточно прост лишь для простых полиномиальных воздействий. Анализ систем во временной области также позволяет решить задачу определения стационарных характеристик систем.

Выполним оптимизацию системы с одним дискретным интегратором, на вход которой поступает сумма воздействия с постоянной скоростью и дискретного белого шума (рис. 5.2).

Воздействие с постоянной скоростью формируется с помощью разностного уравнения

,

где ;;.

Начальное значение скорости хранится ви является случайной величинойc нулевым средним и среднеквадратическим значением . Случайный шум в уравнении формирующего фильтра отсутствует, и матрица.

Воздействие описывается уравнением

,

где – матрица наблюдения процесса;– дискретный белый шум наблюдения с известной дисперсией.

Разностное уравнение системы с одним интегратором имеет вид

, (5.4)

где – состояние интегратора;– коэффициент усиления системы.

Уравнение (5.4) имеет первый порядок, а вектор состояния моделидвижения имеет размерность два. Чтобы использовать результаты раздела 3.9, приведем выражение (5.4) к виду (3.46). Для этого введем вектор при начальном условиии коэффициент. Тогда состояниеи в системе действует лишь один интегратор, то есть.Проектируемая система (5.4) в данном случае является субоптимальной, и оптимизация коэффициента усиления по минимуму ошибки фильтрации или экстраполяции дает различные результаты. Выполним оптимизацию по минимуму ошибки экстраполяции, используя дисперсионное уравнение (3.49). Полагаем, что при дисперсия ошибки стремится к стационарному значению, и.

(5.5)

Матричное уравнение (5.5) эквивалентно системе из трех алгебраических уравнений (матрица симметрическая).

, (5.6)

, .

Последовательно вычисляя неизвестные значения элементов матрицы , получим выражение для дисперсии ошибки экстраполяции.

. (5.7)

Дифференцируя из (5.7) пои приравнивая результат нулю, получим алгебраическое уравнение третьей степени

или , где.

Решение алгебраического уравнения дает оптимальное значение

Из решения для непрерывной системы (5.2), используя соотношение , можно получить приближенное значение для дискретной системы. Исследование зависимостиот параметра показывает, что приближенное (график 1 на рис. 5.3) и точное решение (график 2) практически совпадают при значениях .

Система с двумя дискретными интеграторами задается системой из двух разностных уравнений, подобных (4.13).

где ;;.

Для моделирования процесса с ускорением необходим формирующий фильтр с тремя интеграторами, имеющий переходную матрицу (3.30).

,

,

где ;;; начальное значение ускоренияявляется случайной величиной c нулевым средним и среднеквадратическим значением ;; дисперсия шумаравна.

Для нахождения стационарного решения составим дисперсионное уравнение, подобное (5.5). Вектор , а матрицаимеет размерность. Проектируемый фильтр в данном случае также является субоптимальным, и результат зависит от способа оптимизации. При высоком порядке модели аналитическое решение затруднено, и необходимо использовать численное решение. На рис. 5.4 показаны два варианта выбора коэффициента усиленияв зависимости от величины.

Значения от выбора варианта оптимизации практически не зависят. Штриховая линия соответствует оптимизации по минимуму дисперсии ошибок фильтрации, непрерывная – экстраполяции. Для сравнения штрих-пунктиром показаны результаты приближенного расчета по формулам, полученным из непрерывного расчета (5.3).

и .

Сравнение результатов численного расчета с приближенным показывает, что при целесообразно использовать упрощенный метод расчета.