5.4. Линейный фильтр Калмана в непрерывном времени

При построении оптимальных фильтров с переменными параметрами используется описание случайных процессов во временной области с помощью дифференциальных или разностных уравнений.

Для представления состояния системы в непрерывном времени используем дифференциальное уравнение вида (3.41).

, , (5.12)

где –-мерный вектор;– матрица размером;– матрица размером;– случайный-мерный вектор белого гауссовского шума с нулевым средним и диагональной корреляционной матрицей.

Формирование наблюдения определяется уравнением, подобным (3.42).

, (5.13)

где –-мерный вектор;– матрица размером;– случайный-мерный вектор белого гауссовского шума с нулевым средним и корреляционной матрицей.

При проектировании оптимального фильтра предполагается, что на вход фильтра (рис. 5.7) поступает вектор наблюдения , формируемый в соответствии с выражениями (5.12) и (5.13). Оптимальный фильтр должен вырабатывать несмещенную оценкус минимальной среднеквадратичной ошибкой.

Условия формирования несмещенной оценки исследованы в разделе 3.9. В соответствии с выражением (3.46) уравнение оценки имеет вид

, , (5.14)

где – матрица размером.

Вычислим вектор ошибки и используя (3.45) составим дифференциальное уравнение для корреляционной матрицы вектора ошибки.

. (5.15)

Выражение (5.15) позволяет определить корреляционную матрицу ошибки при произвольном значении коэффициента . Выполним оптимизацию его значения по минимуму следа корреляционной матрицы. Для этого вычисляем градиент следа матрицы пои приравниваем его нулю.

Градиент скалярной величины по матрицеразмеромобозначаетсяи представляет собой матрицу такого же размера, заполненную производными по элементам матрицы. При вычислении градиента симметрической матрицыиспользуем следующие правила.

, ,.

После вычисления градиента корреляционной матрицы из (5.15) получаем и оптимальное значение коэффициента.

. (5.16)

Подстановка оптимального значения в выражение (5.15) позволяет найти минимальное значение корреляционной матрицы ошибки.

. (5.17)

Выражения (5.14), (5.16) и (5.17) определяют алгоритм оптимального фильтра в непрерывном времени (рис. 5.8). Матрицы для сокращения записи представлены как постоянные величины, но при численном решении дифференциальных уравнений они могут быть функциями времени. Выражение (5.17) является матричным дифференциальным уравнением Рикатти. Это уравнение нелинейное и в общем случае решается численными методами.

Рассмотренный алгоритм был получен и исследован американским ученым Калманом и носит его имя. Если матрицаи шумыиимеют гауссовское распределение, то этот алгоритм является оптимальным в классе линейных и нелинейных алгоритмов.

5.5. Линейный фильтр Калмана в дискретном времени

При численном решении дифференциальных уравнений выполняется дискретизация во времени. Используя представление случайных процессов в дискретном времени с помощью разностных уравнений, можно упростить цифровую аппаратную и программную реализацию оптимальных фильтров.

Составим разностные уравнения наблюдения случайного процесса в дискретном времени, являющиеся дискретным эквивалентом уравнений непрерывного времени (5.12) и (5.13).

, (5.18)

, (5.19)

где –-мерный вектор;– переходная матрица размером;–-мерный вектор дискретного белого гауссовского шума с нулевым средним и корреляционной матрицей;–-мерный вектор;– матрица размером;–-мерный вектор дискретного белого гауссовского шума с нулевым средним и корреляционной матрицей.

Формирование векторов ипоказано на рис. 5.9,а.

В выражениях (5.18) и (5.19) матрицы идля упрощения записи считаются постоянными, но при вычислительной реализации эти матрицы могут быть функциями дискретного времени.

При проектировании оптимального фильтра предполагается, что на вход фильтра поступает вектор наблюдения , формируемый в соответствии с выражениями (5.18) и (5.19), а фильтр должен вырабатывать несмещенную оценкус минимальной среднеквадратичной ошибкой. Оценка формируется рекуррентным способом, и предполагается наличие известной оптимальной оценкии ее корреляционной матрицы.

В случае дискретного времени оценка выполняется в два этапа. На первом этапе формируется оценка экстраполяции на основе известной оценкидля момента времени. На втором этапе фильтрации оценка экстраполяцииоптимальным образом объединяется с наблюдением, полученным в момент времени.

Для нахождения оценки экстраполяции используем выражение (5.18). При отсутствии априорной информации оценка белого дискретного шума с гауссовским распределением равна его наиболее вероятному значению – нулю. Тогда из (5.18) получим

. (5.20)

Ошибка экстраполяции вычисляется из (5.18) и (5.20).

. (5.21)

Ошибка не коррелированна с шумом, так как она содержит лишь составляющие шума,и т. д. Тогда используя (5.21), получим значение корреляционной матрицы ошибок экстраполяции.

. (5.22)

Оценку фильтрации формируем с помощью линейной операции.

.

Из условия отсутствия смещения , тогда несмещенная оценка и ее ошибка принимают вид (3.51) и (3.52).

, (5.23)

. (5.24)

Используя (5.24) получим уравнение для корреляционной матрицы ошибок фильтрации. Ошибка не коррелированна с шумом. Поэтому при усреднении получим

.

Это уравнение справедливо при произвольном значении .

Выполним оптимизацию его значения, вычисляя градиент следа матрицы пои приравнивая его нулю.

. (5.25)

Используя выражение (5.25) можно получить значение корреляционной матрицы ошибок оптимального фильтра.

. (5.26)

Существует и другой вариант вычисления матрицы и оптимального коэффициента.

. (5.27)

. (5.28)

Последний вариант вычисления коэффициента используется на практике редко, так как выражение (5.27) содержит три обращения матриц.

Система уравнений (5.20), (5.22), (5.23), (5.25), и (5.26) определяют алгоритм оптимальной фильтрации Калмана в дискретном времени (рис. 5.9, б).

Особенность полученного алгоритма заключается в том, что в каждый момент времени используются только значения оптимальной оценкии ее корреляционной матрицыв предыдущий момент времени. Это свойство объясняется тем, что процессявляется марковским процессом.

Пример 5.2. Построим фильтр Калмана для оптимального оценивания фазы генератора , в котором скорость изменения фазы является винеровским процессом. Разностные уравнения формирующего фильтра (5.18) в рассматриваемом случае имеют вид (3.28). Уравнение наблюдения (5.19) при измерении фазы с ошибкойпринимает вид.

Из уравнения экстраполяции (5.20), используя выражения (3.26) и (3.28) получим

и .

Определив коэффициент , из уравнения фильтрации (5.23) получим систему уравнений.

, (5.29)

. (5.30)

Выражениям (5.29) и (5.30) соответствует схема на рис. 5.10. Коэффициенты идолжны вычисляться в соответствии с выражениями (5.23), (5.26) и (5.27).

Алгоритмы оптимальной фильтрации позволяют минимизировать ошибки только при точном знании априорных данных – матриц шумов и, а также начального значения корреляционной матрицы. Если значения матрициреальных процессов намного превышают значения, использованные при расчете коэффициента усиления, может возникнуть расходимость фильтра, то есть нарастание ошибок с течением времени. Для преодоления априорных трудностей используют адаптивные алгоритмы фильтрации.