5.6. Оптимальная нелинейная фильтрация

В радиотехнических системах полезные параметры (дальность, угловые координаты и т.д.) модулируются в принятом радиосигнале нелинейным образом. Кроме того, навигационные параметры, содержащиеся в наблюдаемой величине , во многих радионавигационных системах связаны нелинейной зависимостью с вектором состояния, характеризующим положение и вектор скорости объекта. В простейших расчетах предполагается, что дискриминатор работает на линейном участке характеристики, и используется теория линейной фильтрации. Однако для более точных расчетов необходимо использовать теорию нелинейной фильтрации. Советский ученый Р.Л.Стратонович в 1960 г. получил уравнение (которое носит его имя), описывающее изменение во времени апостериорной плотности марковского процессав нелинейной системе (см. 7.8). Уравнение Стратоновича содержит частные производные и его численное решение связано с большими трудностями. В линейном случае из уравнения Стратоновича можно получить алгоритм фильтра Калмана. В нелинейной системе плотность вероятностиимеет негауссовское распределение. Одним из подходов для получения приближенного решения задачи нелинейной оптимальной фильтрации является гауссовская аппроксимация апостериорной плотности. Приближенное решение может быть получено также и методом линеаризации нелинейных зависимостей и последующим использованием теории линейной фильтрации.

Найдем решение задачи нелинейной фильтрации для непрерывного времени с помощью линеаризации.

Уравнения случайного процесса и наблюденияв отличие от выражений (5.12) и (5.13) содержат нелинейные зависимости

, (5.31)

, (5.32)

где –‑мерный вектор;–‑мерная нелинейная функция;–‑мерный вектор;–‑мерная нелинейная функция.

Выполним линеаризацию уравнений (5.31) и (5.32) в точке оценки .

, (5.33)

, (5.34)

где и– известные величины;;; производная нелинейной‑мерной функциипо-мерному вектору– матрица размером;

.

Можно привести уравнение (5.34) к виду (5.13), если ввести новую переменную . Тогда для линейных уравнений (5.33) и (5.34) алгоритм формирования несмещенной оценки в соответствии (5.14) принимает вид

. (5.35)

Подставим ,ив (5.35) и получим так называемый расширенный фильтр Калмана.

, (5.36)

где ;.

Линеаризация нелинейных зависимостей, используемая при построении расширенного фильтра Калмана, основана на предположении о малой величине ошибки фильтрации. Например, при линеаризации функции в уравнении (5.34) величина ошибки определения временного положения сигнала в дальномере с импульсным сигналом должна быть малой по сравнению с длительностью импульса.

Пример 5.3. Построим расширенный фильтр Калмана для дальномера с импульсным сигналом. Случайное изменение задержки формируется фильтром, в котором скоростьмоделируется винеровским процессом. Вектор состояния системы. Дифференциальное уравнение процесса в данном примере линейное вида (5.12) с матрицамиииз выражения (3.25).

и .

Уравнение наблюдения в данном случае скалярное.

,

где – импульсный сигнал, задержанный на интервал;белый шум со спектральной плотностью.

Найдем производную нелинейной функции пов точке.

Производная содержит две строки. Вторая строка равна нулю, так как в функции не содержится скорость.

.

Используя формулы (5.36), найдем оптимальный коэффициент усиления и уравнение фильтра.

и

. (5.37)

Рассмотрим выражение .

Построим осциллограммы сигналов ,и(рис. 5.11). Результат умножения сигналана производную зависит от ошибки оценивания. При отсутствии ошибки, и произведение представляет симметричную знакопеременную функцию, которая при интегрировании даст нулевой результат. При появлении ошибки функция становится несимметричной и появляется сигнал ошибки. Произведение производной на сигналдает симметричную функцию, и не создает сигнал ошибки. При построенииструктурной схемы фильтра в соответствии с выражением (5.37) эту величину не учитываем. Схема оптимального нелинейного фильтра содержит умножитель принятого сигнала на производную (рис. 5.12). Эта операция выполняет функцию оптимального дискриминатора. Сигнал ошибки после умножителя поступает на сглаживающий фильтр с двумя интеграторами и оптимальными коэффициентами и.

Рассмотрим задачу нелинейной фильтрации в дискретном времени. Нелинейные разностные уравнения случайного процесса и наблюденияотличаются от линейных уравнений (5.19) и (5.20) из-за наличия нелинейных функцийразмерностиии размерности.

, (5.38)

. (5.39)

Характеристики шумов ине отличаются от линейного случая.

Как и ранее в линейной задаче предполагается наличие известной оптимальной оценки и ее корреляционной матрицы.

Выполним линеаризацию уравнения (5.38) в точке .

=

, (5.40)

где – известная величина;; производная– матрица размером;

Используя линейное уравнение (5.40), найдем оценку экстраполяции .

Выполняя подстановку величины , получим выражение.

. (5.41)

Для вычисления корреляционной матрицы ошибок экстраполяции используем выражение подобное (5.22), заменив на.

. (5.42)

Теперь выполним линеаризацию уравнения (5.39) в точке .

, (5.43)

где ;– матрица размером.

Используя (5.43), составим наблюдение , и воспользуемся уравнением линейной фильтрации (5.23).

.

Выполняя подстановку величины , получим выражение

. (5.44)

Для расчета коэффициента и корреляционной матрицы ошибок фильтрациииспользуем выражения (5.26) и (5.27), заменив в нихна.

. (5.45)

. (5.46)

Выражения (5.41), (5.42), (5.44), (5.45) и (5.46) образуют алгоритм нелинейной фильтрации, известный под названием расширенный фильтр Калмана.

Пример 5.4. Построим расширенный фильтр Калмана для дальномерной радионавигационной системы. Определение координат летательного аппарата производится с помощью бортового радионавигационного дальномера, измеряющего дальность до трех наземных маяков-ответчиков ,и(рис. 5.13).

Вектор состояния летательного аппарата содержит координаты и проекции вектора скоростина осии.

.

Изменение координат при движении моделируется с помощью линейного разностного уравнения

, где ;.

Измерение дальностей задается нелинейным уравнением наблюдения.

, (5.47)

где и– дальность и координатыj-того радиомаяка, соответственно; .

Оценка экстраполяции вычисляется с помощью выражения (5.20).

Вычислим производную нелинейной функции наблюдения.

Производная равна, гденаправляющий косинус отрезка, соединяющего объект и радиомаяк, а производная(рис. 5.13).

Тогда производную можно представить через направляющие косинусы углов, соответствующих всем трем маякам.

. (5.48)

Эту матрицу необходимо рассчитывать на каждом шаге фильтрации, так как она зависит от текущих значений оценок и. Производнаяиспользуется при расчете оптимального коэффициента усиления и корреляционной матрицы ошибок фильтрации с помощью выражений (5.45) и (5.46). Далее для определения оценки фильтрации используем выражение (5.44).

Оптимальный фильтр в этом примере выполняет не только оптимальную фильтрацию, но и преобразование измеренных дальностей в удобные для использования координаты.