5.3. Синтез оптимальных следящих систем с постоянными параметрами

При проектировании следящих измерителей желательна не только оптимизация параметров, но и выбор оптимальной структуры. Задача оптимальной линейной фильтрации заключается в построении фильтра, вырабатывающего путем линейного преобразования наблюдения оценкус минимальной среднеквадратичной ошибкой разностивыходного сигнала фильтра и желаемого выхода, формируемого некоторым линейным преобразованием(рис. 5.5). Впервые такая задача была сформулирована в 1939 году академиком А.Н. Колмогоровым. Затем в 1949 году американским ученым Н. Винером был найден физически реализуемый оптимальный линейный фильтр.

Если положить для простоты , то весовая функция оптимального фильтраопределяется решением интегрального уравнения Винера-Хопфа

, (5.8)

где ;;.

Отметим, что при составлении уравнения (5.8) используются только корреляционные функции процессов, но не используются их распределения. При любом виде распределений полученный фильтр является оптимальным в классе линейных фильтров. Однако для негауссовских процессов возможно улучшение оценки путем нелинейной обработки.

Решение уравнения Винера-Хопфа в частотной области можно получить для случайных процессов со спектральной плотностью, описываемой дробно-рациональной функцией . В этом случае физически реализуемая передаточная функция оптимального фильтраравна

, (5.9)

где ;– спектральная плотность процесса;– взаимная спектральная плотность процессови.

Для нахождения оптимального фильтра требуется выполнить разложение функции на два сомножителяи, то есть выполнить факторизацию спектра. Процессс дробно-рациональным спектромформируется с помощью фильтра с коэффициентом передачи, на вход которого поступает белый шум с единичной спектральной плотностью.

В радиотехнических системах сообщение и помехане коррелированны, СПМ помехи, а спектральная плотность случайного процессаимеет вид. Тогда из выражения (5.9) можно получить

. (5.10)

Действие оптимального фильтра, построенного в соответствии с выражением (5.10), можно объяснить с помощью эквивалентной схемы (рис. 5.6).

Процесс , содержащий сумму полезного воздействия и помехи, формируется с помощью фильтраиз белого шумас единичной спектральной плотностью. Нижняя часть схемы содержит выбеливающий фильтри вырабатывает оценку шума. Оценка полезного сообщения строится как.

Таким образом, решение задачи оптимальной фильтрации по критерию минимума среднего квадрата ошибки сводится к нахождению функции , которая позволяет найти структуру и оптимальные параметры стационарного фильтра. В этом фильтре минимум среднего квадрата ошибки достигается в установившемся режиме при. Если фильтр реализуется как система с обратной связью, из выражения (5.9) получим функцию передачи разомкнутого контура.

. (5.11)

Пример 5.1. Построим оптимальный линейный фильтр для случайного процесса со спектральной плотностьюпри действии помехи в виде белого шумасо спектральной плотностью. Спектральная плотность. Факторизация спектра имеет вид

, .

Таким образом ,

где .