5. Теорема Литтла

Оперативность СМО (т. е.  время ее реакции на запрос) обычно характеризуют средним значением времени пребывания запроса в системе. Это время Tсист складывается в общем случае из времени ожидания запроса в буфере и времени обработки запроса в сервере. Среднее время пребывания запроса в системе связано со средним числом запросов в системе Nсист простой формулой, известной как теорема Литтла: 

Доказательство:

  Рассмотрим график пришедших заявок.

  - количество заявок

6. Время пребывания заявки в системе типа m/m/1; среднее количество заявок в системе

Обозначение M/M/1 для системы массового обслуживания (СМО) означает:

М - система имеет входной пуассоновский поток заявок;

М - время обслуживание имеет экспоненциальное распределение;

1 - система имеет одно обслуживающее устройство.

Время пребывания заявки в системе:

Где μ – интенсивность обслуживания, λ - интенсивность входного потока.

Среднее количество заявок в системе:

ось x – интенсивность входного потока

ось у – среднее количество заявок системы

Коэффициент загрузки системы (устойчивость):

который показывает, насколько эффективно используется система, т.е. какую долю времени система действительно обрабатывает запросы, а не простаивает.

7. Три леммы о пуассоновском потоке (слияние, расщепление, выход m/m/1)

СЛИЯНИЕ

При слиянии двух Пуассоновских потоков вероятность прихода К заявок в общий поток равна:

РАСЩЕПЛЕНИЕ

Вероятность наступления К событий за некоторый интервал времени T определяется законом Пуассона:

ВЫХОД M/M/1

Если система вида М|М|1 имеет пуассоновский входящий поток требований с интенсивностью l, то поток требований, выходящий из системы также будет пуассоновским потоком с тем же самым параметром l, что и у потока, входящего в эту систему.

8. Расчет однонаправленных сетей массового обслуживания (сети Джексона)

Сетью Джексона называется сеть типа М/М/n с k узлами. 

Результирующая интенсивность равная сумме интенсивностей входящих потоков.

Для каждого узла рассчитывается интенсивность по следующей формуле:

И время нахождения заявок в данном узле:

-сумма интенсивностей заявок приходящих в узел к

Для каждой заявки, дошедшей или не дошедшей до конца сети рассчитывается суммарное время пребывания в системе по узлам. То есть если заявка побывала в двух узлах 1 и 2, то ее время пребывания будет следующим:

T_i=T₁+T₂

После того, как рассчитано время пребывания каждой заявки в системе, можно найти среднее время пребывания в системе по формуле:

А среднее количество заявок по формуле:

9. Формула Линдли и ее применение для моделирования СМО

10. Анализ элементарной СМО с бесконечным буфером, формула Поллачека- Хинчина

11. Анализ СМО с конечным буфером, формула вероятности отказа

12. Зависимость точности оценки параметра от объема моделирования

92