10. Раскраска графов, эвристический алгоритм раскраски

Точные методы раскраски графа сложны для программной реализации. Однако существует много эвристических процедур раскрашивания, позволяющих находить хорошие приближения для определения хроматического числа графа. Такие процедуры также могут с успехом использоваться при раскраске графов с большим числом вершин, где применение точных методов не оправдано ввиду высокой трудоемкости вычислений.

Из эвристических процедур раскраски следует отметить последовательные методы, основанные на упорядочивании множества вершин.

В одном из простейших методов вершины вначале располагаются в порядке убывания их степеней. Первая вершина окрашивается в цвет 1; затем список вершин просматривается по убыванию степеней и в цвет 1 окрашивается каждая вершина, которая не является смежной с вершинами, окрашенными в тот же цвет. Потом возвращаемся к первой в списке неокрашенной вершине, окрашиваем ее в цвет 2 и снова просматриваем список вершин сверху вниз, окрашивая в цвет 2 любую неокрашенную вершину, которая не соединена ребром с другой, уже окрашенной в цвет 2 вершиной. Аналогично действуем с цветами 3, 4 и т. д., пока не будут окрашены все вершины. Число использованных цветов будет тогда приближенным значением хроматического числа графа.

Эвристический алгоритм раскраски вершин графа имеет следующий вид:

Шаг 1. Сортировать вершины графа по степеням убывания: 

deg(x_i) ≥ deg(x_j), ∀x_i,x_j ∈ G; Установить текущий цвет p=1; i=1.

Шаг 2. Выбрать очередную не раскрашенную вершину из списка и назначить ей новый цвет: col(x_i)=p; X_p={x_i}.

Шаг 3. i=i+1. Выбрать очередную не раскрашенную вершину x_i и проверить условие смежности: x_i ∩Г(X_p)=∅, где X_p – множество вершин, уже раскрашенных в цвет p. Если вершина x_i не является смежной с данными вершинами, то также присвоить ей цвет p: col(x_i)=p.

Шаг 4. Повторить п.3, пока не будет достигнут конец списка (i=n).

Шаг 5. Если все вершины графа раскрашены, то – конец алгоритма;

Иначе: p=p+1; i=1. Повторить п.2.

Дисциплина «Имитационное моделирование»

1. Входные потоки заявок смо: классификация и основные характеристики

Классификация потока входных заявок

Стохастический (случайный)

Детерминированный (неслучайный) Пример – Расписание поездов на вокзале

Стационарный Потоки Пальма (рекуррентные) Длительности интервалов между моментами поступления соседних запросов являются случайными величинами u1,u2,…,un, которые попарно статистически независимы и имеют одну и ту же плотность распределения вероятностей fu(x) Потоки Пуассона ( ϭu = mu, следовательно, vu=1) Является важнейшим частным случаем рекуррентного потока)

Нестационарный (нестационарность обусловлена тем, что интенсивность потока измеряется во времени (например, метро в час пик и в обычное время))

Потоки заявок

Однородные                               Неоднородные

(Все заявки имеют                     (Заявки имеют разные

одинаковый приоритет)                    приоритеты)

Характеристики входного потока:

• Коэффициент вариации v – характеризует уровень случайности входного потока

v=ϭumu

v_u=0 для детерминированных потоков, для реальных – v_u=(0; 1].

• Интенсивность λ – характеризует сколько в среднем обслуживается заявок за единицу времени

• Закон распределения

1. Пуассоновский поток

Важнейший частный случай рекуррентного потока. Плотность распределения задается формулой экспоненциального распределения:

fux=1e-λx

Является простейшим и ни от чего не зависит.

∆t~exp⁡(λ)

t=Mt

Mt=1 t=1    }    νt=1

2. Детерминированный поток

t=0 ⇒ νt=0

3. По равномерному закону t~U(a,b)

M∆t=a+b2

t=D=(b-a)212=b-a23

t=b-ab+a13

Если b≈a t≈0

Если ba t13≈0.6

4. Эрланговский поток

По уровню случайности является промежуточным между детерминированным и Пуассоновским.

Эрланговский поток порядка k получается из пуассоновского потока, в котором оставляется лишь каждая k-ая заявка, а остальные отбрасываются. Это называется прореживанием потока.

Функция f_u(x) для эрланговского потока порядка k>1 в общем виде вычисляется довольно сложно, но коэффициент вариации найти не сложно.

t=1k

Чем больше k, тем больше t стремится к нулю.