Дисциплина «Построение и анализ графовых моделей»
Графы: определения, соотношение числа ребер и вершин
Определения:
Граф – это объект, состоящий из элементов двух типов: узел (вершина) и ребро. Пара вершин может соединяться двумя или более рёбрами. Вершины, соединённые одним ребром, называются смежными.
Ребро является инцидентным вершине, если это ребро либо заканчивается, либо начинается в этой вершине.
Граф называется ориентированным (направленным), если каждому ребру данного графа присвоено направление.
Граф называется взвешенным, если каждому ребру данного графа поставлено в соответствие некое значение – вес ребра.
Граф G - совокупность двух множеств: вершин V и ребер E, между которыми определено отношение инцидентности. Каждое ребро e из множества рёбер E инцидентно ровно двум вершинам v', v'', которые оно соединяет. При этом вершина v' и ребро e называются инцидентными друг другу, а вершины v' и v'' называются смежными.
Полносвязный граф – это простой неориентированный граф, в котором каждая пара различных вершин смежна.
Соотношение числа ребер и вершин в полносвязном графе:
Степенью вершины называется количество ребер, выходящих из этой вершины. Если это количество четно, то вершина называется четной, в противном случае вершина называется нечетной. Сумма степеней всех вершин графа равна количеству всех концов ребер (если не существует изолированных вершин), которые есть в графе. Следовательно, количество ребер E в полносвязном графе на n вершинах равно:
E = n(n - 1)2
Изоморфизм графов, примеры
Определение:
Два графа G и H называются изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие между множествами их вершин, обладающее тем свойством, что число ребер, соединяющих любые две вершины в G, равно числу ребер, соединяющих соответствующие вершины в H.
Графы G и H, приведенные в примере ниже, являются изоморфными.
Графы G и G1также являются изоморфными.
Изоморфизм графов общего вида:
Графы G и H являются изоморфными, если путём перестановки строк и столбцов матрицы смежности графа G удается получить матрицу смежности графа H. Однако перебор всех возможных перестановок характеризуется вычислительной сложностью O(N!) (при условии, что сравнение матриц смежности производится за время, не зависящее от N, что обычно несправедливо и дополнительно увеличивает приведенную оценку), что существенно ограничивает применение подобного подхода на практике. Существуют методы ограниченного перебора возможных пар предположительно-изоморфных вершин (аналог метода ветвей и границ), однако они незначительно улучшают приведенную выше асимптотику.
Пути, цепи, циклы; связность графов; алгоритм нахождения компонент связности
Определения:
Путём в графе называется последовательность вершин, в которой каждая вершина соединена со следующим ребром.
Цепь - путь, все рёбра которого различны.
Цикл
- простой путь, содержащий не менее
одного ребра, который начинается и
заканчивается в одной и той же вершине.
Связный граф - граф, в котором любые две вершины связаны хотя бы одним ребром.
Компонента связности графа - максимальное (по включению) связанное множество вершин графа.
Так, например, следующий граф имеет три компоненты связности: (A, B, C, D), (E), (F, G).
Связный граф - граф, содержащий ровно одну компоненту связности. Это означает, что между любой парой вершин этого графа существует как минимум один путь.
Алгоритм:
Для выделения компонент связности можно, например, использовать поиск в ширину. При этом затраченное время будет линейным от суммы числа вершин и числа рёбер графа.
Поиск в ширину:
Поместить вершину, с которой начинается поиск, в изначально пустую очередь.
Извлечь из начала очереди узел u и пометить его как развёрнутый.
Если узел u является целевым узлом, то завершить поиск с результатом «успех».
В противном случае, в конец очереди добавляются все преемники узла u, которые ещё не развёрнуты и не находятся в очереди.
Если очередь пуста, то все узлы связного графа были просмотрены, следовательно, целевой узел недостижим из начального; завершить поиск с результатом «неудача».
Вернуться ко второму пункту.