Дисциплина «Методы обработки аудио и видео данных»

1. Дискретизация, теорема Котельникова

В систему обработки информации сигналы поступают, как правило, в непрерывном виде. Непрерывные сигналы описываются непрерывными функциями времени. Мгновенные значения таких сигналов изменяются во времени плавно, без резких скачков (разрывов). Для компьютерной обработки непрерывных сигналов необходимо, прежде всего, преобразовать их в цифровые. Для этого выполняются операции дискретизации и квантования.

Под дискретизацией сигналов понимают преобразование функций непрерывных переменных в функции дискретных переменных, по которым исходные непрерывные функции могут быть восстановлены с заданной точностью. Интервал, через который берутся значения непрерывного сигнала называется шагом дискретизации. Обратная шагу величина называется частотой дискретизации.

Скорость изменения сигнала характеризуется верхней частотой его спектра. Таким образом, минимально допустимая ширина интервала дискретизации связана с наибольшей частотой спектра сигнала (обратно пропорциональна ей).

Для случая равномерной дискретизации справедлива теорема Котельникова - фундаментальное утверждение в области цифровой обработки сигналов, связывающее непрерывные и дискретные сигналы, опубликованная в 1933 году в работе “О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи”. Она гласит: если непрерывный сигнал   имеет спектр, ограниченный частотой  , то он может быть полностью и однозначно восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым с периодом  , т.е. с частотой  .

Восстановление сигнала осуществляется при помощи функции  . Котельниковым было доказано, что непрерывный сигнал, удовлетворяющий приведенным выше критериям, может быть представлен в виде ряда:

.

Другими словами, теорема гласит, что любую функцию F(t), состоящую из частот от 0 до f1, можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через 1/(2f1) секунд.

Такая трактовка рассматривает идеальный случай, когда сигнал начался бесконечно давно и никогда не закончится, а также не имеет во временно́й характеристике точек разрыва. Если сигнал имеет разрывы любого рода в функции зависимости его от времени, то его спектральная мощность нигде не обращается в ноль. Именно это подразумевает понятие «спектр, ограниченный сверху конечной частотой fс.

Таким образом, теорема Котельникова указывает условия, при которых непрерывный сигнал может быть точно восстановлен по соответствующему ему сигналу с дискретным временем. Реальные непрерывные сигналы, подлежащие передаче, как правило, имеют спектры хотя и довольно быстро стремящиеся к нулю с ростом частоты, но все же неограниченные.

2. Квантование; шум квантования

При цифровой обработке изображений непрерывный динамический диапазон значений яркости делится на ряд дискретных уровней. Эта процедура называется квантованием. 

Термин «квантование» при использовании в сжатии данных означает округление вещественных чисел до целых или преобразование целых чисел в меньшие целые. Существует два вида квантования, скалярное и векторное. Скалярное квантование является интуитивным методом, при котором не всегда теряется только малозначимая информация. При использовании второго метода можно добиться лучших результатов, поэтому мы его приводим ниже.

Изображение делится на равные блоки пикселов, которые называются векторами, а у кодера имеется список таких же блоков, называемый кодовой книгой. Каждый блок В изображения сравнивается со всеми блоками из кодовой книги и находится «ближайший» к В блок С. После чего в выходной файл записывается указатель на блок С. Если размер указателя меньше размера блока, то достигается сжатие. На рис. 3.16 показан пример такой деятельности.

Отметим, что в методе векторного квантования коэффициент сжатия известен заранее. 

Метод квантования IGS называется методом модифицированного квантования яркости IGS (Improved Gray-Scale quantization). Он учитывает свойственную глазу чувствительность к контурам и борется с ложными контурами с помощью добавления ко всем пикселям малых псевдослучайных чисел, которые строятся по младшим битам значений окрестных пикселов до из квантования. Поскольку младшие биты, как правило, достаточны случайны, то это действие эквивалентно добавлению некоторого уровня случайности, зависящего от локальных свойств изображения, что приводит к разрушению четкости ровных перепадов, которые выглядят как ложные контуры.

В системах цифровой обработки изображений стремятся уменьшить число уровней и порогов квантования, так как от их количества зависит объем информации, необходимый для кодирования изображения. Однако при относительно небольшом числе уровней на квантованном изображении возможно появление ложных контуров. Они возникают вследствие скачкообразного изменения яркости проквантованного изображения и особенно заметны на пологих участках ее изменения. Ложные контуры значительно ухудшают визуальное качество изображения, так как зрение человека особенно чувствительно именно к контурам.

При дискретизации мы теряем высокие (  ) частоты сигнала, при квантовании мы теряем маленькие (меньше  ) изменения сигнала. Кроме того, получившийся после квантования сигнал   отличается от реального (но уже дискретизованного) сигнала   на величину порядка шага квантования (или кванта)  . Это различие носит название шума квантования, и оно принципиально неустранимо. То есть разница между входным значением и его квантованное значение (например, ошибки округления), упоминается как ошибки квантования.

Иногда, чтобы внести в сигнал минимальные искажения, квантование делают так, что интервалы   делают неравными (нелинейное квантование). Например, часто делают   маленьким при малом значении сигнала, чтобы относительная погрешность (шум квантования/сигнал) не становилась очень большой при малых  . Например, принимают  , где   - маленькое число (так называемое логарифмическое квантование). 

Нелинейное квантование позволяет получить при приемлемой точности хранения сигнала большой динамический диапазон (отношение максимального значения сигнала к минимальному или к величине кванта).