Динамика точки и системы / Тарг, Краткий курс теоретической механики

8 27*. ТРЕНИЕ КАЧЕНИЯ

Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.

Рассмотрим круглый цилиндрический каток радиуса R и веса Р, лежащий на горизонтальной шероховатой плоскости. Приложим

к оси катка силу Q (рис. 83, а), меньшую Fnp. Тогда в точке А воз­ никает сила трения F, численно равная Q, которая будет препятст­ вовать скольжению цилиндра по плоскости. Если считать Нормаль­

ную реакцию N тоже приложен- а) ной веточке А, то она уравновесит

силу Р, а силы Q и F образуют па­ ру, вызывающую качение цилинд­ ра. При такой схеме качение долж­ но начаться, как видим, под дей­ ствием любой, сколь угодно малой силы Q.

Истинная же картина, как по­ казывает опыт, выглядит иначе.

Объясняется это тем, что фактически вследствие деформаций тел касание их происходит вдоль некоторой площадки АВ (рис. 83, б).

При действии силы Q интенсивность давления у_ края А убывает, а у края В возрастает. В результате реакция N оказывается сме­

щенной в сторону действия силы Q. С увеличением Q это смещение растет до некоторой предельной величины k. Таким образом^ в

предельном положении на каток будут действовать пара Qnp, F о моментом Qnp/? и уравновешивающая ее пара N, Р с моментом Nk. Из равенства моментов находим Q„tR = N k или

качение.

Входящая в формулу (43) линейная величина k называется

коэффициентом трения качения. Измеряют величину k обычно в сантиметрах. Значение коэффициента k зависит от материала тел и определяется опытным путем. Приведем приближенные значения этого коэффициента (в см) для некоторых материалов:

Дерево по д ер ев у .......................................... 0,05.-5-0,08

Отношение klR для большинства материалов значительно мень­ ше статического коэффициента трения / 0. Этим объясняется то, что в технике, когда это возможно, стремятся заменить скольжение качением (колеса, катки, шариковые подшипники и т. п.).

71

Задача 34. Определить, при каких значениях угла а (рис. 84) цилиндр ра­ диуса R , лежащий на наклонной плоскости, остается в покое, если коэффициент

Глава VII

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ

$ 28. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЛАВНОГО ВЕКТОРА И ГЛАВНОГО МОМЕНТА СИСТЕМЫ СИЛ

В § 8 было введено_понятие о моменте силы относительно центра О. Эго вектор m0(F), направленный перпендикулярно плос­ кости ОАВ (рис. 85), модуль которого согласно формуле (13) имеет значение

где m z(F) — момент силы F относительно оси г; у — угол между век­ тором m0 (F) и осью z. Из определения следует, что m z(F), как про-

72

екция вектора на ось, является величиной алгебраической (знак mz(F) определяется так же, как знак проекции любого вектора; например,

Найдем другое выражение для m z(F), позволяющее непосредст­ венно вычислять эту величину. Для этого проведем через произ­ вольную точку 0, оси г (рис. 85) плоскость ху, перпендикулярную этой_оси, и спроектируем АОАВ на эту плоскость. Так как вектор

m0 (F) перпендикулярен плоскости ОАВ, а ось г перпендикулярна плоскости OiAtBi, то угол у, как угол между нормалями к назван­ ным плоскостям, является углом между этими плоскостями. Следо­ вательно, если одновременно учесть равенство (44), то

2 пл. Д 0 1А1В1 = 2 пл. Д 0/lficosY = |m o (/:') Icos y = wi,(F).

Но, как видно из рис. 85, в треугольнике О И хВх сторона A xBi представляет собой одновременно проекцию Fху силы F на плоскость

ху (см. §5). Тогда 2 пл. A 0 1A 1B1= Fxuh=\m 0>(Fxu)\, где m0t(Fxy)—

Таким образом, момент силы F относительно оси г равен алгеб­ раическому моменту проекции этой силы на плоскость, перпенди­ кулярную оси г, взятому относительно точки О* пересечения оси с этой плоскостью. Этот результат может служить другим определе­ нием понятия момента силы относительно оси.

Замечая как направлен поворот, который стремится совершить сила Fxy, когда mz(F)>0 (см. рис. 85; случай, когда m ,(F )< 0 получится, если изменить направление силы F на прямо противо­ положное), приходим к следующему выводу: момент силы относи­ тельно оси будет иметь знак плюс, когда с полоэкительного конца

оси поворот, который стремится совершить сила Fxy, виден проис­ ходящим против хода часовой стрелки, и знак минус — когда по ходу часовой стрелки.

Из рис. 85 видно еще, что если менять положение точки О на оси г, то и модуль и направление вектора т0 (F) будут при этом из­ меняться, но Д 0 И А , а с ним и значение mJJP) изменяться не будут. _

Механический смысл величины m*(F)_состоит в том, что она ха­ рактеризует вращательный эффект силы F, когда эта сила стремится повернуть тело вокруг оси г. В самом деле, если разложить силу F на составляющие Fxy и Fz, где Fz\\Oz (рис. 86^ то поворот вокруг оси г будет совершать только составляющая Fxv и вращательный эффект всей силы F будет, согласно формуле (45), определяться ве­ личиной mz(F). Составляющая же Fz повернуть тело вокруг оси г не может (она лишь может сдвинуть тело вдоль оси г).

73

В заключение рассмотрим подробнее, как вычисляется момент силы относительно оси г по формуле (45). Для этого надо (рис. 87): 1) провести плоскость ху, перпендикулярную оси г (в любом месте);

2) спроектировать силу F на эту плоскость и найти величину FXjl\

3) опустить из точки пересечения оси с плоскостью (на рис. 87 это

точка О) перпендикуляр на линию действия ~FXVи найти его длину Л; 4) вычислить произведение Fxyh\ 5) определить знак момента.

При вычислении моментов надо иметь в виду следующие частные случаи:

1) если сила параллельна оси, то ее момент относительно оси ра­ вен нулю (так как F xv= 6);

2) если линия действия силы пересекает ось, то ее момент отно- , сительно оси также равен нулю (так как Л = 0).

Объединяя оба случая вместе, заключаем, что момент силы отно­ сительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости-,

3) если сила перпендикулярна оси (лежит в плоскости, перпен­ дикулярной этой оси), то ее момент относительно оси равен взятому с соответствующим знаком произ­ ведению модуля силы на расстоя­ ние между линией действия силы и осью, т. е. вычисляется по форму­ ле (45), в которую вместо Fxy вой­

дет модуль силы F.

Задача 35. Найти моменты относи­

тельно осей х, у и г сил Р и Q, которые действуют на горизонтальную плиту, изо­ браженную на рис. 88.

Р е ш е н и е . 1. Сила Р параллельна оси г\ она перпендикулярна осям х и у и проходит от них на расстояниях Ы2 я а/2. Следовательно, с учетом знаков:

тх (Q) = bQ sin а .

74

Теперь вычисляем m„ (Q). Сила Q лежит в плоскости A BD , перпендикулярной оси у и пересекающейся с нею в точке В. Следовательно, Qx z — Q- Опуская из точки

В перпендикуляр на линию действия силы Q (см. вспомогательный чертеж спра­ ва), находим, что его длина h = a sin а, Окончательно, учитывая направление по­ ворота! получаем

т у (Q) = — Qa sin а .

Наконец, для вычисления тг (Q) проектируем силу Q на плоскость ху и нахо­ дим, что Qxy— Q cos а , а плечо этой проекции относительно точки О равно Ь. Поэтому с учетам знака

тг (Q) = *Q cos а.

Т е о р е м а В а р й н ь о н а д л я м о м е н т о в с и л ы о т н о с и т е л ь н о о с и . Если обе части векторного равенства (24) из§ 13 спроектировать на какую-нибудь ось г, проходящую через центр 0, то согласно формулам (44) получим

(46)

Следовательно, теорема Вариньона о моменте равнодействующей справедлива и для моментов относительно любой оси. Теоремой осо­ бенно удобно пользоваться для нахождения моментов силы относи­ тельно координатных осей, разлагая силу на составляющие, парал­ лельные осям или их пересекающие.

Задача 36. Найти моменты относительно осей х, у, г силы Q, приложенной ■ плите в точке D (рис. 89),. если О А= а, ОВ=Ь и толщина плиты А; угол а задан.

Р е ш е н и е . Разлагая силу Q на составляющие Q, и Q3, параллельные соот­ ветственно осям х и г, где по модулю Qi—Q cos a , Qt = Q sin а , и применяя теоре­ му Вариньона, получим:

вольно просто (с ее помощью легко найти моменты силы Q и в задаче 35). Поэтому рекомендуется во всех подобных случаях пользоваться данной теоремой. При неко­ тором навыке все подсчеты легко проделать, опуская промежуточные выкладки;

например, сразу видно, что mx (Q)=(Q sin рс ) Ь и т. д.

А н а л и т и ч е с к и е ф о р ­ м у л ы д л я м о м е н т о в с и ­ л ы о т н о с и т е л ь н о к о о р ­ д и н а т н ы х о с е й . Разложим

силу F, приложенную в точке А с координатами х, у, г, на составля­

ющие Fx, Fy, Ft, параллельные

75

Но так как составляющая Т х параллельна оси х, а составляющие Ftt

!)

тх (F) = yFt — zFy,

mv (F) = zFx— xF2, (47) тг (F) = xFv— yFx. ,

Формулы (47) дают аналити­ ческие выражения для моментов силы относительно координат­ ных осей. С их помощью моменты можно вычислять, зная проек­ ции силы и координаты точки ее приложения. Заметим, что каждая следующая формула в

равенствах (47) получается из предыдущей так называемой круго­ вой перестановки букв и индексов, т. е. последовательной заме­ ной х на у, у на z и гн а х (рис. 90, б).

Отметим еще один результат: поскольку левые части равенств

(47) являются одновременно проекциями вектора m0 (F) на коорди­ натные оси (где О — начало координат), то с помощью этих равенств

можно найти модуль момента m0 (F) по формуле

Задача 37. Вычислить по аналитическим формулам моменты силы 7?, изобра­ женной на рис. 89, относительно осей х, у, г и центра О.

Р е ш е н и е . Сила (^приложена в точке D с координатами x = a ,y = b ,z = —Л. Ее проекции на координатные оси:

Qx = — Q coso, Q„ = 0, Q, = Q sIna.

Подставляя эти значения в формулы (47), получим тот же результат, что и в зада­ че 36. Для |m 0 (Q)| по формуле (48) найдем

полученным в § 12, значения главного вектора R и главного момента М 0 системы сил определяютсяравенствами: R= EFk, M 0= l m 0 (Fh).

Покажем, как значения R и М 0 вычисляются аналитически, т. е. по их проекциям на координатные оси, что нам в дальнейшем понадобится.

76

Выражения для R x, R„, R z уже известны (§ 5). Проекции век­ тора М 0 на координатные оси будем обозначать М х, M VJ_ M Z. По теореме о проекциях суммы векторов на ось Afx= 2 [m 0 (Fft)]* или, согласно равенству (44), M x= 2 m x(Fk). Аналогично находятся М и

В § 12 было отмечено, что две системы сил, у которых величины

7? и М 0 совпадают, эквивалентны. Отсюда следует, что для задания (или определения) любой системы сил, действующих на твердое тело, достаточно задать (определить) ее главный вектор и главный момент относительно некоторого центра, т. е. шесть величин, входящих в левые части равенств (49) и (50) [в случае рассмотренной в § 15 плос­ кой системы сил — три величины, входящие в равенства (27)1. Этим нередко пользуются на практике, например, при задании (опреде­ лении) аэродинамических сил, действующих на самолет, ракету, автомобиль, или при определении внутренних усилий в частях конструкции (см. задачу 26 в § 20).

S 29*. ПРИВЕДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ

Как показано в § 12, любая система сил приводится в общем слу­ чае к силе, равной главному вектору R и приложенной в произволь­

ном центре О, и к паре с моментом, равным главному моменту М 0 (см. рис. 40, б). Найдем, к какому простейшему виду может приво­ диться пространственная система сил, не находящаяся в равнове­ сии. Результат зависит от значений, которые у этой системы имеют

величины R и М 0■ _ _

1. Если для данной системы сил R = 0, а М оф 0, то она приво­

дится к паре сил, момент которой равен М 0 и может быть вычислен по формулам (50). В этом случае, как было показано в§ 12, значение

Мо от выбора центра О не зависит.

2. Если для данной системы сил R=£0, а М 0= 0, то она приводит­ ся к равнодействующей, равной R, линия действия которой прохо­

и сила R лежат в одной плоскости (рис. 91). Тогда, выбрав силы пары

77

R ' и R " равными по модулю R и располагая их так, как показано на рис. 91, получим, что силы R и R " взаимно уравновесятся, и система заменится одной равнодействующей R '= R , линия действия которой проходит через точку О' (см. § 15, п. 2, б). Расстояние 00' (00'_!_/?) определяется при этом по формуле (28), где й= 00'.

Легко убедиться, что рассмотренный случай будет, в частности, всегда иметь место для любой системы параллельных сил или сил, лежащих в одной плоскости, если главный вектор этой системы РФО. _ 4. Если для данной системы сил R=£Q, М 0фО и при этом вектор М 0 параллелен R (рис. 92, а), то это означает, что система сил при­

водится к совокупности силы R и пары Р, Р', лежащей в плоскости, перпендикулярной силе (рис. 92, б). Такая совокупность силы и па­ ры называется динамическим винтом, а пря­

мая, вдоль которой направлен вектор R, осью винта. Дальнейшее упрощение этой системы сил невозможно. В самом деле, если за центр приведения принять любую другую точку С (рис. 92, a), t q вектор М 0 можно перенести в

точку С как свободный, а при переносе силы R в точку С (см. § 11) добавится еще_одна пара с моментом Mc=mc (R), перпендикуляр­ ным вектору R^_а следовательно, и М 0. В итоге момент результи­

рующей пары М с = М 0'¥М'с численно будет больше М 0\ таким об­ разом, момент результирующей пары имеет в данном случае при при­ ведении к центру О наименьшее значение. К одной силе (равнодейст­ вующей) или к одной паре данную систему сил привести нельзя.

Если одну из сил пары, например Р', сложить с силой R, то рассматриваемую систему сил можно еще заменить двумя скрещи­ вающимися, т. е. не лежащими в одной плоскости с и л а м и и Р (рис. 93). Так как полученная система сил эквивалентна динамиче­ скому винту, то она также не имеет равнодействующей.

__5. Если для данной системы сил Р Ф 0, М 0фО и при этом векторы М 0 и R не перпендикулярны друг другу и не параллельны, то та-

78

кая система сил тоже приводится к динамическому винту, но ось винта не будет проходить через центр О.

Чтобы доказать это, разложим вектор М 0 на составляющие: M i, направлен­ ную вдоль R , и М 8, перпендикулярную R (рис._94). При этом M i= M o cos о , M t — = M Q sin о , где а — угол между векторами М о и R. Пару, изображаемую век­ тором A M A ijT ?), и силу"# можно, как в случае, показанном на рис, 91, заменить

одной силой R \ приложенной в точке O', Тогда данная система сил заменится си­

лой ~R'=R и парой с моментом ~Щ, параллельным Я*, причем вектор Afj, как сво­ бодный, можно тоже приложить в точке О'. В результате действительно получится динамический винт, но с осью, проходящей через точку O',

Задача 38. Найти, к чему приводится система сил Fi и Fx, изображенных на рис. 6 (см. §2), считая F ^ F ^ F , А В = 2а.

Р е ш е н и е . Приведем силы Ft и Fа к центру О, лежащему на середине от­ резка АВ (рис. 95). Главный вектор системы R~=F^+Ft и направлен по биссектри­ се угла у'О /; численно он равен R — F y 2. Главный момент системы М

+ m 0 (FJ. Вектор m o (fi) направлен вдоль оси у', а вектор fflo(^i)—вдоль оси i ; численно оба вектора равны Fa. Следовательно, по модулю M o = F a V 2, а направ­ лен вектор М о тоже по биссектрисе угла у'О г'. Таким образом, система сил Fu Ft приводится к динамическому винту и, как было указано в § 2, равнодействую­ щей не имеет.

§30. РАВНОВЕСИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ. СЛУЧАЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ

Необходимые и достаточные условия равновесия любой системы

Таким образом, для равновесия произвольной пространственной систелш сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех

79

сил на каждую из трех координатных осей и суммы их моментов от­ носительно этих осей были равны нулю *.

Равенства (51) выражают одновременно условия равновесия твер­ дого тела, находящегося под действием любой пространственной системы сил.

Если на тело кроме сил действует еще пара, заданная ее момен­

том т, то при этом вид первых трех из условий (51) не изменится (сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю), а последние

действующие на тело силы параллельны друг другу, можно выбрать координатные оси так, что ось г будет параллельна силам (рис. 96). Тогда проекции каждой из сил на оси х и у и их моменты относитель­ но оси г будут равны нулю и система (51)

даст три условия равновесия:

2 F*z “ 0, 2 тх (Fk) = 0, 2тв(Fk) = 0. (53)

Остальные равенства обратятся при у этом в тождества вида 0 = 0 .

Следовательно, для равновесия простран­ ственной системы параллельных сил необ­ ходимо и достаточно, чтобы сумма проек­ ций всех сил на ось, параллельную силам, и суммы их моментов относительно двух дру­ гих координатных осей были равны нулю.

Р е ш е н и е з а д а ч . Порядок решения задач здесь остается тем же, что и в случае плоской системы сил. Установив, равновесие какого тела (объекта) рассматривается, надо изобразить все дейст­ вующие на него внешние силы (и. заданные, и реакции связей) и со­ ставить условия равновесия этих/сил. Из полученных уравнений и определяются искомые величины.

Д ля получения более простых систем уравнений рекомендуется оси проводить так, чтобы они пересекали больше неизвестных сил или были им перпендикулярны (если это только излишне не услож­ няет вычисления проекций и моментов других сил).

Новым элементом в составлении уравнений является вычисле­ ние моментов сил относительно координатных осей.

В случаях, когда из общего чертежа трудно усмотреть, чему ра­ вен момент данной силы относительно какой-нибудь оси, рекомен­ дуется изобразить на вспомогательном Чертеже проекцию рассмат­ риваемого тела (вместе с силой) на плоскость, перпендикулярную этой оси.

• При составлении условий (5!) можно, если это целесообразно, брать дл

вычисления проекций одну систему координатных осей, а дЛя вычисления момен­ тов — другую.

80