Sistema_logiki_sillogicheskoy_i_induktivnoy_Mill

ключения. Но хотя вывести общее заклю­ чение на самом деле и полезно, однако это не необходимое условие для правиль­ ности умозаключения в каждом частном случае. Человек расходует грош по тому же самому праву, по какому он располагает

ивсем своим достоянием. Но для закон­ ности меньшего действия нет необходи­ мости, чтобы он формально заявил свое право на большее.

Прибавляю несколько замечаний в от­ вет на менее значительные возражения9.

§9- Изложенные соображения показыва­ ют нам настоящую природу того, что но­ вейшие писатели назвали «формальной ло­ гикой» и ее отношение к логике —в широ­ ком смысле этого термина. Логика, как я ее понимаю, есть теория всех вообще про­ цессов, посредством которых мы удосто­ веряемся в истинности положений, являю­ щихся в результате рассуждения или умо­ заключения. Поэтому формальная логика (в которой сэр Уильям Гамильтон, со сво­ ей точки зрения, и архиепископ Уэтли — со своей, видели все, что можно называть «логикой») представляет собой, на самом деле, лишь очень второстепенную часть этой науки, не имеющую прямого отноше­ ния к рассуждению или умозаключению --

втом смысле, в каком этот процесс состав­ ляет часть исследования истины. В таком случае, что же такое «формальная логи­ ка»? По-видимому, это название прилага­ ется собственно ко всей той части науки, которая изучает равнозначные или рав­ носильные способы выражения предложе­ ний: это —совокупность правил для опре­ деления того, в каких случаях одни утвер­ ждения заключают в себе или предполага­ ют истинность или ложность других. Сю­ да входит учение о содержании предло­ жений, об их обращении, равнозначности

ипротивоположении, о тех, неправильно так называемых, индукциях (о них мы бу­ дем говорить ниже, гл. II кн. III), в которых кажущееся обобщение представляет собой

только сокращенное указание тех же са­ мых индивидуально известных случаев и, наконец, о силлогизме. Теория называния и (неразрывно с ним связанного) опре­ деления — хотя она еще в большей сте­ пени относится к другой, более широкой отрасли логики —составляет и здесь необ­ ходимое введение. Та цель, которую име­ ет в виду формальная логика и которая достигается строгостью ее предписаний, есть не истина, а согласие утверждений друг с другом. Мы уже видели, что в этом состоит единственное прямое назначение правил силлогизма. Его цель и значение — просто в том, чтобы привести наши умо­ заключения или выводы в полное согла­ сие с нашими общими положениями, т. е. с теми указаниями, которые имеются у нас для этих выводов. «Логика последователь­ ности» есть необходимое пособие для «ло­ гики истины» не только потому, что то, что несогласно само с собой или с другими ис­ тинами, не может быть истинным, но так­ же и потому, что истина может быть успеш­ но выведена только посредством умоза­ ключений из опыта, а (если эти последние вообще можно подтверждать доказатель­ ством) их можно обобщать — и надо обоб­ щать, если их хотят подтвердить доказа­ тельством; после же этого правильность их приложения к отдельным случаям состав­ ляет вопрос специально «логики после­ довательности». Эта часть логики не тре­ бует предварительного знакомства с про­ цессами рассуждения или умозаключения в отдельных науках; ее можно с пользой изучать на гораздо более ранней ступени образования, чем логику истины. И уста­ новившийся на практике обычай изучать ее отдельно, как она излагается в элемен­ тарных учебниках логики (в которых нет ничего, кроме изложения логики последо­ вательности) допускает философское об­ основание, хотя мотивы, приводимые для оправдания этого обыкновения по боль­ шей части очень далеки от того, чтобы быть философскими.

дающее указанными свойствами, и нашли, что все они обладают свойствами, соозна­ чаемыми словом «мышьяк»: а именно, свой­ ствами металлов, летучестью, при испаре­ нии издают запах чеснока и т.д. Затем мы или кто-либо другой исследовали различ­ ные вещества, обладавшие этими металли­ ческими и летучими свойствами, чесноч­ ным запахом и т.д., и неизменно находили их ядовитыми. Первое наблюдение наше мы считаем себя вправе распространить на все вещества, дающие специфические темные пятна; второе — на все металли­ ческие и летучие вещества, сходные с те­ ми, которые мы изучали; а, следовательно, не только на те, которые, как мы в этом убедились по собственному наблюдению, обладают этими свойствами, но и на те, от­ носительно которых мы заключили это из прежнего наведения. Вещество, находяще­ еся перед нами, подходит, как мы нашли, только под одно из этих наведений; но че­ рез посредство первого мы подводим его и под другое. Как и раньше, мы умозаклю­ чаем от частного к частному; но здесь мы на основании наблюдавшихся частностей умозаключаем не к таким другим частно­ стям, которые, как мы сами наблюдали, сходны с первыми в существенных чертах, а к таким, относительно которых мы умо­ заключили по сходству их с теми в чем-ли­ бо другом (если, конечно, эти последние свойства мы можем считать, на основании совершенно другого ряда случаев, показа­ телями сходства в свойствах первого рода).

Этот первый пример цепи умозаклю­ чений очень прост; цепь здесь состоит только из двух силлогизмов. Несколько сложнее будет следующий пример: «нель­ зя ниспровергнуть ни одно правительство, которое настойчиво ищет блага своих под­ данных; такое-то правительство настойчи­ во ищет блага своих подданных; следо­ вательно, его нельзя ниспровергнуть». По­ ложим, что в этом доказательстве ббльшая посылка не вытекает из соображений a pri­ ori, а представляет собой обобщение из ис­ тории, которое (будет ли оно правильно или ошибочно) должно быть основано на наблюдении правительств, относительно которых не может быть сомнения в том,

что они искали блага своих подданных. Нашли (или полагают, что нашли), что та­ кие правительства нельзя ниспровергнуть, и эти примеры сочли достаточным осно­ ванием для распространения того же са­ мого сказуемого на всякое правительство, сходное с этими в признаке настойчиво­ го стремления к благу своих подданных. Но походит ли на них в этом отношении данное правительство? Об этом можно ар­ гументировать и pro, и contra разного ро­ да доводами; но доказывать это придется, во всяком случае, посредством другой ин­ дукции, так как нельзя прямо наблюдать чувствований и желаний людей, стоящих во главе правления. Итак, для доказатель­ ства меньшей посылки нам нужен аргу­ мент такого рода: «всякое правительство, действующее таким-то образом, ищет бла­ га своих подданных; данное правительство действует именно таким образом; следова­ тельно, оно ищет блага своих подданных». Но справедливо ли, что правительство дей­ ствует именно так, как мы полагаем? Таким образом, меньшая посылка также требует доказательства, т. е. опять-таки индукции, вроде, например, следующей: «можно счи­ тать истинным то, что утверждается ум­ ными и беспристрастными свидетелями; что правительство действует так-то и такто, это утверждают именно такие свиде­ тели; поэтому их утверждению можно ве­ рить». Таким образом, доказательство со­ стоит из трех ступеней. Как свидетельству­ ют наши чувства, данный образ правле­ ния походит на некоторые из прежде нам встречавшихся в том, что относительно не­ го утверждают умные и нелицеприятные свидетели. Отсюда мы заключаем, во-пер­ вых, что данное утверждение справедливо в этом случае — так же, как и в прежних; а во-вторых, — так как утверждается, что данное правительство действует некото­ рым определенным образом и что другие правительства и отдельные лица действо­ вали таким же образом, —что данный об­ раз правления оказывается сходным с эти­ ми другими образами правления или лица­ ми. А так как известно, что эти последние желали блага народу, то отсюда, посред­ ством второй индукции, мы умозаключаем,

Таким образом, последним индуктив­ ным заключением в предыдущем примере было следующее: «некоторое данное пра­ вительство нельзя ниспровергнуть». Это за­ ключение мы вывели согласно формуле, по которой желание блага народу служит признаком того, что правительство нельзя ниспровергнуть. Признаком этого призна­ ка является особый образ действий; а при­ знаком этого образа действий служит соот­ ветствующее утверждение умных и беспри­ страстных свидетелей; в том же, что пра­ вительству, о котором идет речь, присущ этот последний признак, нас удостоверя­ ют наши чувства. Итак, данное правитель­ ство подпадает под последнюю индукцию, а посредством ее и под все остальные. За­ меченное сходство данного случая с одним рядом наблюдавшихся частностей сделало его сходным со вторым рядом, а этот вто­ рой - с третьим.

В более сложных отраслях знания де­ дукции редко состоят, как это было в при­ веденных у нас до сих пор примерах, из одной цепи умозаключений: а есть при­ знак b, b —признак с, с —признак d , сле­ довательно, а есть признак d. Они состоят (продолжая ту же метафору) из нескольких цепей, соединенных своими концами, вро­ де следующего: а есть признак d yb —при­ знак е, с —признак / ; с?, е, / —признаки п; следовательно, abc — суть признаки п. Предположим, например, следующее соче­ тание обстоятельств: 1) лучи света падают на отражающую поверхность; 2) эта по­ верхность параболическая; 3) лучи парал­ лельны друг другу и оси поверхности. Надо доказать, что сочетание этих трех обстоя­ тельств служит признаком того, что отра­ женные лучи пройдут через фокус пара­ болической поверхности. Каждое из этих трех обстоятельств в отдельности является признаком чего-либо существенного для данного случая. Факт падения лучей света на отражающую поверхность служит при­ знаком того, что эти лучи отразятся под углом, равным углу падения. Параболиче­ ская форма поверхности служит призна­ ком того, что линии, проведенные от лю­ бой точки поверхности к фокусу, и ли­ нии, параллельные оси, при пересечении

их с поверхностью1, будут образовывать равные между собой углы. И, наконец, па­ раллельность лучей с осью является при­ знаком того, что углы падения этих лучей совпадут с одним из этих равных углов. Та­ ким образом, совокупность этих трех при­ знаков составляет признак всех этих трех вещей, вместе взятых; а эта совокупность их, очевидно, является признаком того, что угол отражения должен совпасть с другим из двух равных углов, т. е. с углом, обра­ зованным линией, проведенной через фо­ кус. А этот, последний вывод, по основной аксиоме о прямых линиях, является при­ знаком того, что отраженные лучи про­ ходят через фокус. Большая часть цепей дедукций в физических науках относится к этому сложному типу. Их много даже и в математике, как, например, во всех тех теоремах, где предположение состоит из нескольких условий: *если мы начер­ тим круг, а внутри его возьмем какую-либо точку (но не центр), и если от этой точки мы проведем прямые линии к окружности,

то... и т.д.».

§4. Эти соображения освобождают наш взгляд на умозаключение от одной серьез­ ной трудности: без них наша теория мог­ ла бы показаться несовместимой с фак­ том существования дедуктивных, или вы­ водных наук. Раз всякое умозаключение есть индукция, то отсюда, казалось бы, вы­ текало, что трудности философского ис­ следования должны состоять только в ин­ дукциях, и что раз эти последние легки и не допускают никакого сомнения или колебания, то помимо них не может быть никакой науки или, по крайней мере, ника­ ких трудностей в науке. Но с точки зрения этой теории было бы трудно объяснить су­ ществование, например, обширной обла­ сти наук математических, которые требо­ вали от их творцов высочайшего научного гения и даже для усвоения своего предпо­ лагают очень продолжительное и сильное напряжение ума. Но только что приведен­ ные соображения раскрывают эту тайну. Они показывают, что даже в том случае, когда индукции сами по себе очевидны, может быть еще очень трудным открыть,

подходит ли под них изучаемый частный

• мумай. И для научной талантливости пред- »г,шляется большое поле в области комби­ нирования индукций таким образом, что- |»ы посредством одной из них, под кото­ рую данный случай, очевидно, подходит, можно было подвести его под другие, от­ носительно которых это непосредственно не очевидно.

Когда уже сделаны наиболее очевид­ ные из индукций, какие можно в той или другой науке вывести непосредственно из наблюдений, когда построены общие фор­ мулы, определяющие пределы приложения них индукций, тогда ко всякому новому i лучаю, который, очевидно, подходит под одну из этих формул, прилагают индук­ цию, — и дело кончено. Однако постоян­ но возникают новые случаи, возбуждаю­ щие вопросы, которые с первого взгляда нельзя решить ни одной из имеющихся у пас формул. Возьмем пример из геомет­ рии, — и так как мы берем его лишь для иллюстрации, то пусть читатель позволит нам принять за данное то, что мы будем доказывать в следующей главе: а именно, что первые начала геометрии получаются при помощи индукции. Мы возьмем пятое предложение первой книги Евклида: рав­ ны или неравны углы при основании рав­ нобедренного треугольника? Прежде всего надо обратить внимание на то, на осноиаиии каких наведений можем мы умоза­ ключать о равенстве или неравенстве этих углов. Для вывода равенства у нас есть сле­ дующие формулы:

1)вещи, совпадающие при наложении их одной на другую, равны;

2)вещи, равные одной и той же, равны между собой;

А) целое равно сумме своих частей;

4)суммы равных вещей равны;

5)разности равных вещей равны.

Других основных формул для доказательства panei1 ства нет. Для умозаключения о нераиепстве у нас есть следующие формулы:

1)целое не равно одной из своих частей;

2)суммы равных вещей с неравными не равны;

3)разности между равными и неравны­ ми вещами не равны.

Таким образом, у нас есть всего восемь формул. Углы при основании равнобедрен­ ного треугольника не подходят с перво­ го взгляда ни под одну из этих формул; последние указывают различные признаки равенства и неравенства, но в углах нельзя заметить непосредственно ни одного из этих признаков. При исследовании оказы­ вается, однако, что такие признаки есть; нам удается в конце-концов подвести уг­ лы под формулу: «разности равных вещей равны» (или «вычитая из равных величин равные, мы получаем равные разности»). Почему же так трудно заметить, что эти уг­ лы суть разности равных величин? Потому, что каждый из этих углов можно считать разностью не одной только пары, а бес­ численного множества пар других углов. Из этих-то пар мы и должны представить себе и выбрать две таких, которые нам или интуитивно покажутся равными, или бу­ дут обладать теми или другими из призна­ ков равенства, указанными в приведенных формулах. Догадка —очень остроумная для первого, кому она пришла в голову, —ука­ зала две пары углов, удовлетворявших этим требованиям. Прежде всего, что разности этих углов представляли собой углы при основании треугольника, это можно бы­ ло заметить непосредственно; а затем, эти углы обладали одним из признаков равен­ ства: а именно, совпадали при наложении. Однако и это совпадение стало известно не непосредственно, а лишь с помощью умо­ заключения — согласно другой формуле.

Для большей ясности прилагаю ана­ лиз доказательства. Евкдид, как известно, доказывает свое пятое положение посред­ ством четвертого. Нам этого сделать нель­ зя, так как мы должны проследить вывод­ ные истины не до других, предшествовав­ ших им дедукций, а до их первоначальных, индуктивных оснований. Поэтому нам на­ до взять не заключение четвертого поло­ жения, а его посылки, и доказывать пятое прямо из первых начал. Это потребует ше­ сти формул (как и у Евклида, нам надо сначала продолжить равные стороны АВ

А

и АС на равные расстояния и провести ли­ нии BE и DC).

П ервая ф орм ула: Суммы равных

величин равны.

AD и АЕ суть суммы равных величин, по предположению; а потому, согласно только что приведенной формуле, эти ли­ нии равны.

В торая ф орм ула: Равные прямые

линии или углы, будучи наложены друг на друга, совпадают.

АВ и АС подходят под эту формулу, по предположению; AD и АЕ подведены под нее предыдущим звеном доказатель­ ства. Угол при А, если его взять в треуголь­ нике АВЕ, и тот же угол, взятый в треуголь­ нике ACD, конечно, также подойдет под эту формулу. Таким образом, все эти три пары обладают тем свойством, которое, соглас­ но поставленной в заголовке формуле, слу­ жит показателем попарного совпадения их при наложении. Теперь наложим треуголь­ ники друг на друга, перевернув АВЕ и на­ ложив его на ACD так, чтобы АВ совпало с АС; тогда, вследствие равенства угла А, АЕ совпадет с AD. Но АВ равно АС, а АЕ рав­ но AD. Следовательно, наши треугольники совпадут всецело, а стало быть, совпадут и точки: D с Е, В с С.

Т ретья ф орм ула: Прямые линии,

концы которых совпадают, и сами совпа­ дают

Под эту формулу предыдущей индук­ цией подведены BE и CD; следовательно, эти линии совпадут.

Ч е тв ер тая ф орм ула: Углы, сто­

роны которых совпадают, и сами совпа­ дают

Так как третья индукция показала сов­ падение BE с CD, а вторая — АВ с АС, то уг­ лы АВЕ и ACD подходят под эту четвертую формулу; следовательно, эти углы совпа­ дают.

П ятая ф орм ула: Величины, кото­

рые совпадают друг с другом, равны.

Углы АВЕ и ACD подведены под эту формулу четвертой индукцией. Так как эта цепь рассуждений применима mutatis mu­ tandis также и к углам ЕВС и DCB, то и эти углы тоже подходят под пятую формулу. Наконец,

Ш естая ф орм ула: Разности рав­

ных величин равны.

Так как угол ABC составляет разность между углами АВЕ и СВЕ, а угол АСВ —раз­ ность между углами ACD и DCB (равенство этих углов попарно было доказано), то уг­ лы ABC и АСВ подходят под эту последнюю формулу, что и составляет результат всего рассуждения.

Главное затруднение состоит здесь в том, чтобы представить себе два угла при основании треугольника ABC в виде остат­ ков, образующихся вследствие отрезывания одной пары углов от другой, причем каждая пара должна представлять собой соответствующие углы треугольников, у ко­ торых равны две стороны и лежащий меж­ ду ними угол. Эта счастливая догадка поз­ волила использовать для данного частного случая целый ряд разнообразных индук­ ций. А так как догадка эта вовсе не оче­ видна, то из этого примера, столь близ­ ко стоящего к самому началу математики, можно видеть, как много (в высших от­ раслях этой и других наук) простора для научных комбинаций немногих простых индукций, имеющих целью подвести под каждую из них бесчисленное количество случаев, с первого взгляда под них не под­ ходящих. Отсюда видно также, как длин­ ны, многочисленны и сложны могут быть эти процессы соединения индукций даже в том случае, если каждая индукция сама по себе очень легка и проста. Все индук­ ции целой геометрии можно подвести под те простые индукции, которые сформули-

с с или с d, — то у нас получается нау­ ка, состоящая из разрозненных и взаимно независимых обобщений. Так, например, мы узнаем, что кислоты окрашивают си­ ние вещества растительного происхожде­ ния в красный цвет, а щелочи окрашивают их в зеленый; однако ни из одного из этих предложений мы не можем — ни прямо, ни косвенно, — вывести другого. Наука имеет чисто опытный характер, поскольку она состоит из таких предложений. Химия, например, при настоящем состоянии зна­ ний еще не освободилась от этого харак­ тера. Но другие науки состоят уже из пред­ ложений такого рода: «а есть признак Ь, b есть признак с, с — d, d — е» и т.д. В та­ ких науках можно, посредством умозаклю­ чений из общих предложений, проходить всю лестницу от а до е; в них мы можем заключать, что а есть признак е, что вся­ кий предмет, обладающий признаком а, обладает и свойством е, хотя, быть может, мы никогда не в состоянии наблюдать а и е вместе, —хотя бы даже и d , служащее для нас непосредственным показателем е, вовсе не наблюдалось в этих предметах, т. е. было только результатом умозаклю­ чения. Видоизменяя первую метафору, мы можем сказать, что мы спускаемся как бы под землю от а и е. Признаки 6, с, d, указывающие путь, принадлежат исследуе­ мым нами предметам; но они скрыты под землей, и единственным видимым призна­ ком служит а. Однако посредством его мы получаем возможность открыть последова­ тельно и все остальные из этих признаков.

§ 6. Теперь мы в состоянии понять, каким образом опытная наука может, просто бла­ годаря успехам опыта, превратиться в де­ дуктивную. В опытной, или эксперимен­ тальной науке индукции, как мы сказали, разрозненны: а есть признак b, с есть признак d , d есть признак / и т. д. Од­ нако новый ряд случаев и производимая на основании его индукция могут во вся­ кое время перекинуть мост через пробел между какими-нибудь двумя из этих не свя­ занных друг с другом арок; например, мо­ жет оказаться, что b есть признак с, а это даст нам возможность дедуктивно вывести

отсюда, что и а есть признак с. Иногда же бывает, что какая-нибудь более широ­ кая индукция перекинется аркой высоко в воздухе и сразу свяжет целый ряд сочета­ ний: b, d, / и проч.; она сделает из них признаки одной и той же вещи или же нескольких вещей, между которыми у нас уже ранее установлена связь. Так, Ньютон открыл, что движения всех тел Солнечной системы (каждое из этих движений было выведено посредством особой логической операции на основании особых призна­ ков) — все равно, правильные ли, или на первый взгляд неправильные —обнаружи­ ваюсь признаки, указывающие на враще­ ние всех их вокруг некоторого общего цен­ тра, причем центробежная сила изменяет­ ся прямо пропорционально квадрату рас­ стояния от этого центра. Это обобщение является величайшим из до сих пор быв­ ших примеров мгновенного превращения

вдедуктивную такой науки, которая уже на опытной ступени достигла большого раз­ вития.

Такого рода преобразования, только меньшего объема, происходят постоянно

вменее разработанных отделах физики; однако это еще не уничтожает опытного характера этих дисциплин. Так, по поводу двух вышеупомянутых, не связанных друг

сдругом, предложений: «кислоты окраши­ вают синие растительный вещества в крас­ ный цвет» и «щелочи окрашивают их в зе­ леный цвет»—Либих заметил, что все си­ ние красящие вещества, окрашиваемые кислотами в красный цвет (как и обрат­ но —все красные красящие вещества, ста­ новящаяся синими под влиянием щело­ чей) содержат азот. И вполне возможно; что это обстоятельство свяжет когда-нибудь два предложения, о которых идет речь, и докажет, что противоположное действие кислот и щелочей в произведении и уни­ чтожении синего цвета представляет ре­ зультат какого-нибудь одного, более об­ щего закона. Хотя такое связывание от­ дельных обобщений очень полезно, одна­ ко оно лишь в очень небольшой степе­ ни придает дедуктивный характер той или другой науке в ее целом, так как новые наблюдения и опыты, позволяющие нам

•имимиать таким образом несколько общих

шI мп, обычно открывают нам еще боль­ шее число новых, друг с другом не связан­ ных. Поэтому, хотя такого рода расшире­ ние и упрощение обобщений постоянно имело место в химии, одиако эта наука и д о емх пор в существе своем является нау­ кой опытной. Такой она, вероятно, и оста­

нется, пока не будет найдена какая-ни- иуд|» обширная индукция, которая, подоб­ но ньютоновской, свяжет большое число менее обширных, уже известных индук­ ции и сразу изменит весь метод этой на­ уки. Химия обладает уже одним великим обобщением, которое, хотя оно и отно- »ится к одной из второстепенных сторон химических явлений, имеет, однако, все­ объемлющий характер в своей ограничен­ ной сфере; это — принцип Дальтона, так называемая «атомическая теория», или уче­ ние о химических эквивалентах. Позволяя ранее опыта до некоторой степени предиидсть, в каких пропорциях будут соче­ таться два вещества, теория эта, несомнен­ но, является как источником новых истин дедуктивного характера, так и связующим принципом для всех истин того же рода, добытых опытным путем2.

§ 7. Те открытия, которые обращают ме­ тод науки из опытного в дедуктивный, со­ стоят, по большей части, в следующем. Поередством дедукции или посредством пря­ мого опыта устанавливают, что видоизме­ нения одного явления однообразно сопроиождают изменения какого-либо другого, лучше известного. Так, акустика, или нау­ ка о звуке, ранее стоявшая на самой низ­ кой ступени чисто опытного знания, стала дедуктивной, как только на опыте было доказано, что всякое изменение звука сле­ дует за особым, определимым изменени­ ем колебательного движения частиц пере­ дающей среды и является его признаком. Когда это было удостоверено, то из этого нытскало, что всякое отношение последонательности или сосуществования между пилениями более известного из этих двух классов имеет место также и между соотпетствующими явлениями другого класса: так как всякий звук являлся теперь призна­

ком особого колебательного движения, то он стал признаком и всего того, о чем мож­ но было умозаключать из этого движения по законам динамики. Поэтому признаком соответствующего звука стало все, что бы­ ло, согласно этим же законам, признаком данного колебательного движения частиц упругой среды. Таким образом, из извест­ ных законов распространения движения

вупругой среде стало возможным вывести много истин относительно звука, которых прежде и не подозревали. С другой сто­ роны, уже известные эмпирически факты относительно звука сделались показателя­ ми соответствующих свойств тел, находя­ щихся в состоянии колебания, — свойств, ранее тоже вовсе неизвестных.

Впревращении опытных наук в де­ дуктивные громадную роль играет наука о числах. Свойства чисел одни только из всех известных явлений принадлежат —

всамом строгом смысле —всем без исклю­ чения предметам. Не все предметы окра­ шены, не все имеют вес, не все даже про­

тяженны, но все доступны исчислению. И если мы возьмем эту науку во всем ее объеме, начиная с элементарной арифме­ тики и до вариационного исчисления, то окажется, что количество истин, открытых до сих пор, отнюдь не исчерпано и способ­ но еще к неопределенному увеличению.

Хотя истины науки о числах прило­ жимы ко всем без исключения вещам, од­ нако они касаются их, конечно, только в отношении их количества. Но если ока­ жется, что качественные изменения в ка- ком-либо классе явлений правильно со­ ответствуют количественным изменениям в тех же самых или других явлениях, то каждая формула математики, приложимая к количествам, изменяющимся этим осо­ бым способом, становится признаком со­ ответствующей общей истины относитель­ но качественных изменений, сопровожда­ ющих эти количественные. А так как наука о количестве (поскольку это возможно для науки вообще) совершенно дедуктивна, то и учение о качествах данного рода должно становиться в такой же мере дедуктивным.

Самый разительный исторический при­ мер этого рода превращения (правда, это