Sistema_logiki_sillogicheskoy_i_induktivnoy_Mill

§ I. Если, как было доказано в двух пред­ шествующих главах, основанием всех наук, даже дедуктивных, служит индукция; раз псикая ступень умозаключения, даже в гео­ метрии, есть акт индукции; раз, наконец, цепь рассуждения только подводит один п гот же предмет иод много индукций — иод одну через посредство другой, — то п чем же состоит та особая достоверность, какую всегда приписывали наукам, всецело (или почти всецело) дедуктивным? Поче­ му их называют «точными науками»? По­ чему «математическая точность», «матема­ тическое доказательство» и тому подобные шлражения обозначают обыкновенно выс­ шую степень достижимой для разума до­ стоверности? Почему почти все философы считали независимой от опыта и наблю­ дения математику, а некоторые из них да­ же и те отрасли естествознания, которые, благодаря математике, стали дедуктивны­ ми науками? Почему их характеризуют как с истемы «необходимых истин»?

По моему мнению, эта «необходимость» истин математики и та особая достовер­ ность, какую (с некоторыми ограничения­ ми, о которых мы скажем ниже) им при­ писывают, есть просто-напросто иллюзия. Для оправдания ее необходимо предполо­ жить, что эти истины относятся к чисто иоображаемым предметам, что они указыиают свойства некоторых продуктов вооб­ ражения. Признано, что заключения гео­ метрии выводятся — по крайней мере, от­ части —из так называемых «определений»; н полагают, что эти определения, посколь­ ку они касаются предметов, правильно изображают те вещи, с которыми име­ ет дело геометрия. Мы уже сказали, что из определения как такового можно выве­ сти только содержащееся в самом значе­ нии слова, и то, что, по-видимому, следует из определения, на самом деле вытекает

из подразумеваемого в нем утверждения о существовании соответствующих опре­ делению реальных вещей. Такое предполо­ жение не вполне справедливо относитель­ но геометрических определений: вещей, в точности соответствующих этим опре­ делениям, в действительности нет. Нет то­ чек, не имеющих величины; нет линий без ширины; нет линий в точности прямых; нет кругов, у которых были бы в точности равны все радиусы; нет квадратов с со­ вершенно правильными прямыми углами. Скажут, пожалуй, что в геометрии утвер­ ждается не действительное, а только воз­ можное существование таких вещей. Я же говорю, что такие вещи —что бы ни взять за критерий возможности —даже и невоз­ можны. Существование таких вещей, по­ скольку мы можем о нем что бы то ни было сказать, должно оказаться несоответствую­ щим устройству, по крайней мере, нашей планеты, если не всей Вселенной. Чтобы избавиться от этой трудности и в то же время спасти престиж предполагаемой си­ стемы необходимых истин, обыкновенно говорят, что точки, линии, круги, квадраты

ипрочие вещи, о которых утверждает гео­ метрия, существуют только в нашем пред­ ставлении: это только элементы нашего ума. Ум наш, работая над своим собствен­ ным материалом, строит a priori науку, очевидность которой чисто умозрительная

ивовсе не зависит от внешнего опыта. Ка­ кими бы высокими авторитетами ни было санкционировано это учение, оно кажется мне психологически неправильным. Точки, линии, круги, квадраты, как их кто бы то ни было мыслит, суть, по моему мнению, только копии точек, линий, кругов, квадра­ тов и т. д., известных человеку из его опы­ та. Идея точки есть, думается мне, просто наша идея о наименьшей доли поверхно­ сти, какая только видима (minimum visible).

Линию, как ее определяет геометрия, со­ вершенно нельзя себе представить. Мы мо­ жем рассуждать о линии, как будто бы она не имела ширины, только потому, что обладаем способностью, служащей осно­ ванием всякого нашего контроля над на­ шими духовными действиями. Эта способ­ ность состоит в том, что, когда нашим чув­ ствам предстоит то или другое восприятие или нашему уму —то или другое представ­ ление, мы обращаем внимание не на все это восприятие или представление, а толь­ ко на часть его. Однако представить се­ бе линию без ширины мы не можем; мы не в состоянии составить себе умственного образа такой линии. Все линии, представ­ лявшиеся нашему уму, обладали шириной, и если кто-нибудь сомневается в этом, то остается только сослаться на его собствен­ ный опыт. Мне не верится, чтобы тот, кто считает себя способным представить себе так называемую «математическую линию», думал так на основании свидетельства сво­ его собственного сознания. Я подозреваю здесь другой мотив: этот человек полага­ ет, что, если такое представление невоз­ можно, то математика как наука не может существовать. Но нет никакого труда до­ казать полную неосновательность такого опасения.

А именно, хотя ни в природе, ни в че­ ловеческом духе нет вещей, вполне точно соответствующих определениям геометрии, тем не менее нельзя предположить, что эта наука имеет дело с чем-то несуще­ ствующим. И не остается ничего другого, как признать, что геометрия имеет дело с линиями, углами и фигурами, как эти вещи существуют в действительности; а так называемые определения считать од­ ними из первых, наиболее очевидных на­ ших обобщений относительно этих есте­ ственных предметов. Правильность этих обобщений, как обобщений, безупречна: равенство всех радиусов круга есть общее свойство всех кругов — в такой же сте­ пени, в какой оно есть свойство и всяко­ го отдельного круга. Однако относительно любого данного круга оно справедливо не вполне, а лишь приблизительно; впрочем, настолько близко, что, если принять его

за в точности истинное, на практике не будет никакой ошибки. Когда нам прихо­ дится распространять эти индукции или их следствия на такие случаи, в которых ошибка может быть заметна: на лииии с ощутимой шириной или толщиной, на па­ раллельные линии, заметно уклоняющиеся от равного расстояния друг от друга, и т. п.

— мы исправляем наши заключения, свя­ зывая с ними новый ряд положений, каса­ ющихся такого уклонения — совершенно так же, как мы вводим предложения от­ носительно физических или химических свойств вещества —в том случае, когда эти свойства так или иначе влияют на резуль­ таты (это бывает даже с фигурой и величи­ ной, как, например, при расширении тел от теплоты). Но поскольку нет практиче­ ской необходимости обращать внимание на какие бы то ни было свойства пред­ мета, кроме геометрических, или на какие бы то ни было естественные уклонения в этих последних, постольку можно прене­ бречь этими другими свойствами и этими неправильностями и рассуждать так, как будто бы их вовсе не было. В определе­ ниях мы и заявляем формально, что мы намерены поступать именно таким обра­ зом. Но было бы ошибкой предполагать (на том основании, что мы решаем при­ нять во внимание лишь известное число свойств предметов), будто мы представля­ ем себе или имеем идею о предмете, ли­ шенном этих других качеств. Мы все время думаем как раз о таких предметах, какие мы видели, каких мы касались, со всеми теми свойствами, которые естественно та­ ким предметам принадлежат. Но в научных целях мы воображаем их лишенными всех свойств, кроме тех, которые существенны для нашей цели и в отношении которых мы эти предметы намерены рассматривать.

Таким образом, та особенная точность, какую приписывают первым началам гео­ метрии, оказывается призрачной. Положе­ ния, на которых основываются в этой на­ уке умозаключения, соответствуют фактам ничуть не точнее, чем в других науках. Бо­ лее точное соответствие мы только пред­ полагаем, с целью указать следствия, вы­ текающие из предположения. Мнение Дё-

глльда Стюарта по вопросу об основаниях т>мстрии, в существе своем, кажется мне ирлиильным. Эта наука основана на гипо­ тезах; этим только и обусловливается та псобая достоверность, какой она отлича­ ется; во всяком случае, мы можем, рассуж­ дая па основании ряда гипотез, получить i и(тему заключений, столь же достовер­ ных, как заключения геометрии, т.е. столь же строго соответствующих гипотезам и i голь же непреодолимо требующих при­ знания —в том случае, если эти гипотезы справедливы1.

Поэтому, когда говорят, что заключе­ ния геометрии суть истины необходимые, »та необходимость их состоит на самом деле только в том, что они с точностью нытскают из тех предположений, из кото­ рых они выводятся. А эти предположения не только не необходимы, но даже и не ис­ тины ; они преднамеренно более или ме­ нее уклоняются от истины. Необходимость заключениям какого бы то ни было науч­ ного исследования можно приписать толь­ ко в том смысле, что эти заключения необ­ ходимо следуют из того или другого пред­ положения, которое, по условиям исследоиаиия, не подлежит вопросу. Такая связь должна, конечно, существовать между про­ изводными истинами всякой индуктивной науки и теми индукциями, или предполо­ жениями, на которых эта наука основыва­ йся и которые (все равно, истинны они сами по себе, или не истинны, достовер­ ны или сомнительны) всегда предполага­ ются достоверными в целях данной науки. Древние называли заключения всех дедук­ тивных наук предложениями необходимы­ ми. А мы уже заметили, что необходимая принадлежность сказуемого подлежащему характеризует тот род сказуемого, кото­ рый называется «собственным признаком», и что собственный признак есть то свой­ ство вещи, которое может быть выведено из ее сущности, т. е. из ее свойств, входя­ щих в ее определение.

§ 2. То важное учение Дёгальда Стюарта, которое я старался подтвердить, оспаривал д-р Юэль как в диссертации, приложенной к его прекрасному сочинению Mechanical

Euclid, так и в своей основательной Philos- ophy of the Inductive Sciences. В последнем сочинении он возражает также на статью в «Эдинбургском Обозрении» (приписы­ ваемую очень выдающемуся ученому), за­ щищавшую мнение Стюарта против преж­ них нападок Юэля. Мнение Стюарта ав­ тор хочет опровергнуть, доказывая вопре­ ки ему (как это сделано и в настоящем со­ чинении), что посылками геометрии слу­ жат не определения, а предположения о ре­ альном существовании вещей, соответству­ ющих этим определениям. Однако это ма­ ло помогает д-ру Юэлю, так как именно эти-то предположения мы и считаем гипо­ тезами; и если Юэль несогласен с тем, что геометрия основывается на гипотезах, то ему надобно доказать безусловную истин­ ность именно этих предположений. Одна­ ко, он замечает только, что эти предполо­ жения во всяком случае —не произвольные гипотезы, что мы не можем по произволу заменить их другими, что не только «опре­ деление — для того чтобы быть допусти­ мым, должно необходимо относиться и со­ гласоваться с тем или другим образом, ко­ торый мы в состоянии раздельно предста­ вить себе в уме», но что, например, опреде­ ляемые нами прямые линии суть именно «те, между которыми содержатся углы и ко­ торыми ограничены треугольники; имен­ но эти линии могут быть параллельными

ит. д.»2 Это верно; но против этого никогда

иникто не возражал. Те, кто считает посыл­ ки геометрии гипотезами, вовсе не обяза­ ны думать, что эти гипотезы не имеют ни­ какого отношения к фактам. Так как всякая гипотеза, построенная в целях научного исследования, должна относиться к чемулибо реально существующему (ибо наука о несуществующем невозможна), то отсю­ да следует, что ни одна из гипотез, какие мы создаем с целью облегчить изучение предмета, не должна содержать в себе ни­ чего очевидно ложного, противоречащего действительной сущности этого предме­ та. Мы не должны приписывать предмету ни одного свойства, которым он не облада­ ет; мы можем только слегка преувеличить некоторые из присущих ему свойств (пред­ положив, что он представляет собой в точ­

ности то, к чему он только очень близок)

иустранить другие, под непременным обя­ зательством восстановлять их всякий раз

ипостольку, когда и поскольку их присут­ ствие или отсутствие должно существен­ но влиять на истинность наших заключе­ ний. Таковы и первые начала, содержащи­ еся в определениях геометрии. Но что эти гипотезы должны иметь то, а не другое со­ держание, это необходимо лишь постоль­ ку, поскольку ни из каких других нельзя вывести заключений, какие (с необходи­ мыми поправками) оказались бы справед­ ливыми относительно реальных предме­ тов. И действительно, мы ничем не стес­ нены, когда задаемся целью только пояс­ нять истины, а не открывать их. Мы мо­ жем предположить какое-нибудь вообра­ жаемое животное и дедуктивно, на осно­ вании известных нам законов физиоло­ гии, начертить его естественную историю; или же представить себе какое-либо во­ ображаемое общественное тело и из вхо­ дящих в его состав элементов показать, какова должна быть его судьба. Заключе­ ния, которые можно таким образом вы­ вести из совершенно произвольной гипо­ тезы, могут составлять в высокой степени полезное умственное упражнение. Но так как они могут научить нас только тому, ка­ ковы могли бы быть свойства предметов, реально не существующих, то это ничего не прибавило бы к нашему знанию о при­ роде. Напротив, в том случае, если гипо­ теза только лишает реальный предмет не­ которой части его свойств, не приписывая ему свойств несуществующих, то заклю­ чения всегда будут (под условием извест­ ных поправок) выражать действительную истину.

§3. Хотя д-р Юэль и не поколебал уче­ ния Стюарта о гипотетическом характере той части первых начал геометрии, кото­ рая содержится в так называемых «опреде­ лениях», однако он имеет большое преиму­ щество перед Стюартом в другом важном пункте теории геометрического рассужде­ ния: он признает необходимость поставить в число этих первых начал не только опре­ деления, но и аксиомы. Некоторые из ак­

сиом Евклида можно, без сомнения, вы­ разить в форме определений или вывести дедуктивным путем из предложений, по­ добных тем, которые называются опреде­ лениями. Так, если вместо аксиомы: «вели­ чины, которые могут совпасть, равны одна другой» мы возьмем определение: «равные величины суть те, которые можно прило­ жить одну к другой так, что они совпа­ дут», то три вытекающие отсюда аксиомы («величины, равные одной и той же, рав­ ны между собой»; «если к равным вели­ чинам прибавить равные, то суммы будут равны»; «если от равных величин отнять равные, то остатки будут равны») можно доказать воображаемым наложением, по­ добным тому, каким доказывается четвер­ тое предложение первой книги Евклида. Но хотя эти и некоторые другие аксиомы можно вычеркнуть из списка первых начал (по той причине, что, хотя они и не требу­ ют доказательства, но допускают его), од­ нако в списке аксиом найдутся две или три основные истины, не подлежащие доказа­ тельству. К числу их надо отнести пред­ ложение: «две прямые линии не могут за­ ключать пространства» (или равнозначное ему: «прямые линии, совпадающие в двух точках, совпадают на всем протяжении») и некоторое свойство параллельных ли­ ний, не входящее в их определение. Од­ но из наиболее подходящих выражений для этого свойства подобрал проф. Плэфер: «две пересекающихся прямых линии не могут быть обе параллельны какой-ли- бо третьей прямой линии»

Аксиомы — как недоказуемые, так и допускающие доказательство — отличают­ ся от основных начал, которые содержатся в определениях, тем, что они истинны без примеси какой бы то ни было гипотезы. То, что вещи, равные одной и той же, рав­ ны друг другу, истинно как относительно встречающихся в природе линий и фигур, так и относительно воображаемых, — ка­ кими они принимаются в определениях. Однако в этом отношении математика на­ ходится только в одинаковых условиях с большинством других наук. Почти во всех науках есть общие предложения в точно­ сти истинные, тогда как большая часть суть

ниш» большие или меньшие приближения к ппиие. Так, в механике первый закон унижения (непрерывность однажды при­ обретенного движения до тех пор, пока его не остановит или не замедлит какаялибо противодействующая сила) истинен безошибочно. Вращение Земли вокруг сво­ ей оси в 24 часа такой же продолжитель­ ности, какую они имеют и в настоящее ирсмя, продолжается со времени первых гочпых наблюдений; время вращения не унсличилось и не уменьшилось за весь этот период ни на одну секунду. Эти наведения пс требуют никаких фикций для того, что­ бы быть принятыми за точные истины. Но рядом с такими истинами есть и другие (как, например, предложения относитель­ но фигуры Земли), которые представляют собой только приближения к истине. И для того чтобы воспользоваться ими в целях дальнейшего прогресса знания, мы долж­ ны принять их за точные истины, хотя на самом деле они не вполне таковы.

§ 4. Нам остается рассмотреть, на чем ос­ нована наша уверенность в аксиомах, на ка­ кие доказательства они опираются. Я утвер­ ждаю, что это — истины опытные, обобще­ ния из наблюдения. Предложение «две пря­ мые линии не могут заключать простран­ ства», или, другими словами, «две прямых линии, которые один раз встретились, вто­ рично не могут встретиться и продолжают расходиться» — есть индукция на основа­ нии показаний наших чувств.

Это мнение противоречит старинному

иочень сильному научному предрассудку,

ини одно положение в настоящем сочине­ нии не встретит, вероятно, более неблаго­ склонного приема. И между тем, это вовсе не новое мнение. Но даже если бы оно оказалось и новым, оно имело бы право на оценку не по своей новизне, а по осноилтсльности тех доводов, какими оно под­ крепляется. Я считаю очень счастливым обстоятельством то, что такой выдающий­ ся защитник противоположного мнения, как д-р Юэль, нашел случай чрезвычайно обстоятельно изложить все учение об ак­ сиомах в своей попытке построить фило­ софию математических и физических наук

на основании того учения, которое я те­ перь оспариваю. И кто заботится о том, чтобы рассуждение проникло до самого корня вопроса, тот должен радоваться, ви­ дя, что противоположная точка зрения на­ ходит себе столь достойного представите­ ля. Если можно доказать неубедительность аргументов д-ра Юэля в защиту того мне­ ния, которое он принял за основание свое­ го систематического труда, то этим можно удовольствоваться и не искать уже ни дру­ гих, более сильных аргументов, ни более могущественных противников.

Мне незачем доказывать, что истины, называемые аксиомами, первоначально внушены наблюдением, и что мы никогда не знали бы, что две прямые линии не мо­ гут заключать пространства, если бы мы никогда не видали ни одной прямой ли­ нии. Это допускают и д-р Юэль, и все, юч) в новейшее время разделял его воззрения. Но они оспаривают то, что опыт доказы­ вает аксиому. Они утверждают, что истин­ ность ее воспринимается a priori по само­ му устройству нашего духа, с первого же момента, как мы уясним себе значение предложения; для подтверждения аксиомы вовсе не нужно многократных проверок ее, какие требуются для истин, действительно удостоверяемых наблюдением.

Однако эти ученые не могут не допу­ стить, что истинность аксиомы «две пря­ мые линии не могут заключать простран­ ства» (даже если она обнаруживается и не­ зависимо от опыта) очевидна также и из опыта. Нуждается ли аксиома в подтвер­ ждении или нет, — все равно, она под­ тверждается почти каждое мгновение в те­ чение нашей жизни. Мы не можем взгля­ нуть на какие бы то ни было две пересе­ кающиеся прямые линии, не увидав того, что с этого пунета они все больше и боль­ ше расходятся. Эти опытные доказатель­ ства представляются нам в бесчисленном количестве; нет ни одного случая, в кото­ ром можно было бы заподозрить исклю­ чение из этого правила. И у нас вскоре должны оказаться более серьезные основа­ ния верить аксиоме, даже в качестве опыт­ ной истины, чем какие мы имеем почти для каждой из тех общих истин, которые

мы воспринимаем на основании свиде­ тельства наших чувств. И уже помимо вся­ кого доказательства a priori, мы на осно­ вании опыта могли бы быть уверены в ак­ сиоме гораздо сильнее, чем насколько мы уверены в какой бы то ни было из обыкно­ венных физических истин. Кроме того, это могло произойти в период нашей жизни гораздо более ранний, нежели тот, от кото­ рого идут почти все наши приобретенные познания, —в период слишком ранний для того, чтобы мы могли сохранить из него какие бы то ни было воспоминания о хо­ де наших умственных отправлений. Итак, есть ли необходимость предполагать для этих истин другое происхождение, чем для остальных наших познаний, раз их суще­ ствование отлично объясняется при пред­ положении того же самого происхожде­ ния их и раз в этом случае существуют те же причины, какие производят уверен­ ность во всех других случаях, —и притом в степени, настолько же превосходящей ту, какой они обладают в других случаях, на­ сколько сильнее сама уверенность? Тяжесть доказательства лежит на защитниках про­ тивоположной теории: они должны ука­ зать на какие-либо факты, несовместимые с предположением, что и эта часть нашего познания о природе происходит из того же самого источника, из какого вытекает все остальное наше знание4.

Они могли бы исполнить это требо­ вание, если бы они были в состоянии, на­ пример, доказать, что такое убеждение (по крайней мере, на практике) было у нас в самом раннем детстве, раньше всех тех чувственных впечатлений, на которых это убеждение, согласно противоположной тео­ рии, основывается. Однако этого нельзя доказать: этот момент слишком далек для того, чтобы быть доступным воспоминани­ ям, и слишком темен для внешнего наблю­ дения. Поэтому защитники априорной тео­ рии вынуждены прибегнуть к другим дово­ дам. Эти последние можно свести к двум, которые я и попытаюсь изложить возмож­ но отчетливо и убедительно.

§ 5. Во-первых, говорят, что — если бы наше согласие с предложением, что «две

прямые линии не могут заключать про­ странства», основывалось на показании внешних чувств —мы могли бы быть убеж­ дены в его истинности только посредством действительного опыта, т. е. видя или ощу­ щая две прямых линии; тогда как на самом деле мы воспринимаем его истинность и просто думая об этих линиях. Что брошен­ ный в воду камень пойдет ко дну, это мож­ но воспринять чувствами; но одна мысль о брошенном в воду камне никогда не при­ вела бы нас к такому заключению. Не то с аксиомами, касающимися прямых линий: если бы я мог понять, что такое прямая линия, никогда не видавши таковой, я всетаки сразу признал бы, что две таких ли­ нии не могут заключать пространства. Ин­ туиция есть усмотрение в воображении5; опыт же есть действительное усмотрение. А потому, раз мы находим данное свойство прямых линий истинным, просто только во­ ображая, что мы смотрим на них, то основа­ нием нашей уверенности не могут быть по­ казания чувств, или опыт; таким основа­ нием должно быть нечто умственное.

Кэтомудоводу можно прибавить (в при­ менении, в частности, к данной аксиоме, так как этого нельзя сказать обо всех ак­ сиомах), что доказательство ее на осно­ вании действительного зрительного опыта не только излишне, но и невозможно. Дей­ ствительно, что говорит аксиома? Что две прямых линии не могут заключать про­ странства; что раз они пересеклись, они уже не встретятся при продолжении в бес­ конечность, а будут постоянно расходить­ ся. Как можно доказать это действитель­ ным наблюдением в каком-либо отдель­ ном случае? Мы можем проследить линии на любое расстояние, но не до бесконечно­ сти: на какое бы пространство ни прости­ ралось свидетельство наших чувств, непо­ средственно за последним пунктом, до ко­ торого мы можем их проследить, они мо­ гут начать сближаться и наконец встре­ титься. Поэтому, если у нас не будет какоголибо другого доказательства помимо на­ блюдения, мы вовсе не будем иметь осно­ вания быть уверенными в этой аксиоме.

Достаточным ответом на эти доводы (надеюсь, меня нельзя упрекнуть в ослаб-

лснии их) является, по моему мнению, сле­ дующее. Обратим внимание на одно из ха­ рактерных свойств геометрических форм - на их способность рисоваться вообра­ жению с отчетливостью, равной действи­ тельному восприятию, другими словами, на точное сходство наших идей о форме

свнушающими их ощущениями. Это, пре­ жде всего, позволяет нам (по крайней ме­ ре, при небольшом навыке) представлять

себе в уме образы всех возможных соче­ таний линий и углов, столь же сходные с

действительными, как и любой чертеж на бумаге; а затем эти образы становятся для пас объектами геометрического опыта не хуже, чем сами действительные предметы, гак как образы эти, если они достаточ­ но отчетливы, представляют нам, конечно, все те свойства, какие были бы присущи п любой данный момент действительным предметам при простом взгляде на них. Геометрия занимается именно только та­ кими свойствами; ее не касаются те свой­ ства, которых не могут воспроизвести эти образы, — свойства, связанные с взаим­ ным действием тел друг на друга. Поэтому основания геометрии могли бы быть даны it непосредственном опыте даже и в том случае, если бы опыты (состоящие здесь просто во внимательном созерцании) про­ изводились только над тем, что мы назы­ ваем «идеями»), т. е. над чертежами, как они представляются нам в нашем уме, а не над пнешними предметами. Ведь во всех систе­ мах опытов мы некоторые предметы бе­ рем представителями всех других, с ними сходных; и в настоящем случае всем услоииям, которые делают предмет представи­ телем его класса, в совершенстве удовле­ творяют предметы, существующие только

инашей фантазии. Поэтому я не хочу от­ рицать возможности убедиться в том, что две прямые линии не могут заключать про­ странства посредством одного умственно­ го представления прямых линий, без дей­ ствительного восприятия их зрением. Но

иугверщаю, что мы уверены в этой исти­ не не просто на основании восприятия в воображении, а потому, что мы знаем, что :п'и воображаемые линии в точности по­ ходят на действительные и что от них мы

можем умозаключать к действительным с совершенно такой же достоверностью, с какой мы умозаключаем от одной реаль­ ной линии к другой. Следовательно, и здесь умозаключение есть все-таки наведение из наблюдений. И мы не имели бы права под­ ставлять на место наблюдения над дей­ ствительностью наблюдение над нашими умственными образами, если бы мы из продолжительного опыта не узнали, что свойства действительности верно воспро­ изводятся в этих образах. Совершенно та­ ким же образом мы имеем право описы­ вать никогда не виденное нами животное по его фотографическому изображению; но это возможно лишь в том случае, если достаточно обширный опыт ранее убедил нас в том, что созерцание такого изобра­ жения совершенно равняется созерцанию его оригинала.

Этими соображениями устраняется и то возражение, которое возникает вслед­ ствие невозможности проследить продол­ жение линий в бесконечность. Действи­ тельно, хотя для фактического усмотре­ ния того, что любые две линии никогда не встретятся после пересечения, следова­ ло бы проследить их в бесконечность, од­ нако и без этого мы можем узнать, что — если они когда-либо встретятся, или, разой­ дясь, опять начнут сближаться, — то это должно произойти не в бесконечности, а на конечном расстоянии. Раз это так, мы можем перенестись воображением в эту точку и построить умственный образ того, что там представят нам одна или обе ли­ нии; этот образ (мы можем быть в этом уверены) в точности сходен с действи­ тельностью. Но сосредоточим ли мы свое внимание на умственном образе, или при­ помним те обобщения, которые мы имели случай сделать на основании прежних на­ ших зрительных наблюдений, мы все рав­ но узнаем из опыта, что та линия, которая, разойдясь с другой прямой линией, начнет к ней приближаться, произведет на наши чувства то впечатление, которое мы описы­ ваем посредством выражения «кривая ли­ ния», а не словом «прямая»6.

Это рассуждение — по моему мнению, неопровержимое — стушевывается, одна­

ко, за еще более внушительным аргумен­ том, чрезвычайно ясно и доказательно из­ ложенным у проф. Бэна. Психологическое основание, по которому аксиомы (а на са­ мом деле и многие предложения, обыкно­ венно не относимые к аксиомам) могут познаваться из одних идей, без отноше­ ния к фактам, состоит в том, что факты уже содержатся (и познаются нами) в про­ цессе образования идей. Мы соглашаемся с предложением, как только мы поняли его термины, потому что, учась понимать термины, мы усваиваем тот опыт, кото­ рым доказывается истинность предложе­ ния. «Конкретный опыт, — говорит м-р Бэн7, — нужен нам, как только мы нач­ нем составлять понятие о целом и части; но раз понятие составлено, в нем уже со­ держится, что целое больше части. На са­ мом деле, у нас не могло бы быть понятия, если бы у нас не было опыта, оправдыва­ ющего и этот вывод... Раз у нас сложилось понятие прямизны, у нас образовалось так­ же и то свойство прямых линий, которое выражается в том, что две из них не могут заключать пространства. И в таком случае нам не надо никаких интуитивных или врожденных способностей или восприя­ тий... Мы не можем составить себе полно­ го понятия о прямизне, не сравнив пря­ мых предметов друг с другом и с противо­ положными им кривыми или изогнутыми предметами. Результатом этого сравнения является, между прочим, и то, что прямиз­ на двух линий оказывается в восприятии несовместимой с возможностью для них заключать между собой пространство: для того чтобы заключать пространство, не­ обходима кривизна, по крайней мере, од­ ной из линий». То же самое справедливо и относительно всякого первого принци­ па8; «то самое знание, благодаря которо­ му мы понимаем принцип, оно же доста­ точно и для его оправдания». Чем больше будут обращать внимание на это наблюде­ ние, тем больше (я в этом уверен) будут убеждаться в правильности этого выхода из разногласия по настоящему вопросу.

§ 6. Этого достаточно для ответа на пер­ вый из двух доводов, приводимых в защиту

теории, что аксиомы суть истины a priori. Перехожу теперь к другому доводу, на ко­ торый обыкновенно больше всего полага­ ются. Аксиомы (говорит этот довод) вос­ принимаются не как простые, а как все­ общие и необходимые истины; опыт же не может дать ни одного предложения та­ кого рода. Я могу, например, сто раз видеть снег и сто раз увижу, что он бел; но это не может дать мне полной уверенности

втом, что всякий снег бел, а еще менее —

втом, что снег должен быть бел. «Сколь­ ко бы раз я ни находил это предложение истинным, ничто не может дать мне уве­ ренности в том, что ближайший же случай не составит исключения из этого прави­ ла. Если бы было строго истинным, что все до сих пор известные жвачные жи­ вотные относятся к парнокопытным, то

мы все-таки не могли бы быть уверены в том, что впоследствии не будет найдено какое-нибудь животное, обладающее пер­ вым из этих признаков без второго... Опыт всегда должен состоять из ограниченно­ го количества наблюдений, и как бы эти последние ни были многочисленны, они не будут в состоянии ничего доказать от­ носительно бесконечного числа неиссле­ дованных случаев». Но аксиомы —не толь­ ко общие, а и необходимые истины. «Опыт не может дать ни малейшего основания для того, чтобы предложение было необходи­ мым. Он может наблюдать и отмечать то, что произошло: но он ни в коем случае, ни при каком накоплении фактов, не мо­ жет открыть оснований, по которым это должно было случиться. Опыт может ви­ деть предметы рядом друг с другом, но он не может сказать нам, почему они долж­ ны быть рядом друг с другом. Он находит последовательность в известных событи­ ях: и наступление этой последовательно­ сти не дает нам никаких оснований для ее повторения. Опыт созерцает внешние предметы; но он не может открыть ника­ кой внутренней связи, которая неразрывно связывала бы будущее с прошедшим, воз­ можное с действительным. Узнать то или другое предложение из опыта и понять, что оно необходимо истинно, —это два совер­ шенно различных мысленных процесса»9.