method_eltech_v3.2.53_2013-11-17

Операции дифференцирования и интегрирования оригиналов становятся алгебраическими операциями умножения и деления изображений на величину j :

Обычно вместо комплексных амплитуд рассматривают комплексные действующие величины:

5.2.3 Комплексные сопротивление и проводимость

Комплексное сопротивление равно отношению комплексного напряжения U к комплексному току I ; как комплексное число оно имеет действительную и мнимую части:

где z — полное сопротивление,

R Re Z — активное сопротивление, X Im Z — реактивное сопротивление.

Величина, обратная комплексному сопротивлению, называется комплексной проводимостью, она также имеет действительную и мнимую части:

5.2.4Расчёт мощности в комплексной форме

Вобщем случае ток и напряжение на входе любой пассивной цепи, рассматриваемой как двухполюсник, сдвинуты по фазе на угол u i :

uUm sin t u и i Im sin t i .

Вкомплексной форме:

U Ue j u и I Ie j i .

81

Мгновенное значение мощности равно произведению мгновенных значений тока и напряжения: p ui .

Комплексное значение мощности равно произведению комплексного напряжения на сопряжённое комплексному току:

Умножение на сопряжённое необходимо, чтобы фаза произведения была равна разности фаз напряжения и тока, а не их сумме. Здесь P Re S

мощности передаётся от генератора к потребителю при работе генератора

5.2.5 Расчёт мощности синусоидального сигнала (дополнительный пункт)

В общем случае ток и напряжение на входе любой пассивной цепи, рассматриваемой как двухполюсник, сдвинуты по фазе на угол u i :

u Um sin t u и i Im sin t i

Мгновенное значение мощности равно произведению мгновенных значений тока и напряжения:

82

Мощность равна 0 тогда, когда либо напряжение, либо ток равны 0.

Рис. 5.4. Пример соотношения сигналов тока, напряжения и мощности

Активная мощность — среднее значение мощности за полный период, т. е. постоянная составляющая мощности:

Если 0 , то в течение каждого периода имеются промежутки времени, когда напряжение и ток имеют различное направление, и тогда мощность, поступающая в цепь, отрицательна, т. е. энергия возвращается из цепи источнику.

Введём понятие полной мощности. Дело в том, что электрические сети, машины, аппараты обычно рассчитываются на определённое номинальное напряжение (определяемое уровнем изоляции) и на определённый номинальный ток (определяемый максимально допустимым нагревом проводников). Оба эти ограничения не зависят от угла сдвига фаз между током и напряжением. Соответственно, имеет смысл использовать параметр, не зависящий от и имеющий смысл максимально возможной активной мощности. Полная мощность равна произведению действующих значений напряжения и тока, т. е. максимально возможной активной мощности.

Отношение активной мощности к полной называется коэффициен-

том мощности:

83

Коэффициент мощности cos показывает, какая часть средней мощности передаётся от генератора к потребителю при работе генератора с предельно допустимыми U и I . При заданном P уменьшение cos приводит к увеличению токов в проводах и увеличению потерь мощности.

Как правило, основную энергию на предприятиях потребляют электрические двигатели, т. е. нагрузка является активно-индуктивной ( 0 ). Поэтому основным методом увеличения коэффициента мощности является включение конденсаторов параллельно нагрузке.

В дополнение к понятию активной мощности, часто используют по-

нятие реактивной мощности:

Полная, активная и реактивная мощности связаны между собой следующими соотношениями:

Примечание: активная и реактивная мощности сами по себе не определяют совершаемой работы, они лишь характеризуют скорость обмена энергией между источником и цепью. Соверщаемая работа или энергия определяются интегралом активной мощности за период работы:

Примечание: величина активной мощности измеряется ваттметром; величина потребляемой энергии измеряется счётчиком.

5.3Анализ цепи по синусоидальному сигналу

5.3.1Компонентные уравнения в комплексной форме

Втабл. 5.1 представлены компонентные уравнения двухполюсников

вкомплексной схеме замещения.

Комплексные выражения для пассивных элементов: сопротивления, ёмкости и индуктивности — по форме представляют собой закон Ома — они связывают напряжение и ток двухполюсного элемента; тогда коэффициент связи между комплексным напряжением и комплексным током является комплексным сопротивлением соответствующего элемента (см. последний столбец табл. 5.1). Величина XC 1( C) называется емкостным сопротивлением, величина X L L называется индуктивным сопротивлением.

84

Рис. 5.5. Векторная диаграмма токов и напряжений для ёмкости и индуктивности на комплексной плоскости

[Показать на примере RLC-контура соотношение между сигналами и сложение напряжений]

В результате перевода компонентных уравнений пассивных элементов в комплексную форму, они принимают вид закона Ома. Таким обра-

зом, для анализа и расчёта схемы можно заменить каждый пассивный элемент его комплексным сопротивлением. Получаемая при этом рези-

стивная схема замещения называется комплексной схемой замещения. Для её анализа и расчёта применяются те же самые принципы, законы и мето-

85

ды, что используются для расчёта по постоянному сигналу, с единственным отличием: все сигналы записываются в комплексной форме.

При использовании комплексного метода записи уравнений вместо интегро-дифференциальных уравнений для функций времени рассматриваются алгебраические уравнения для комплексных изображений.

После того, как получены комплексные изображения результатов, они переводятся в обычную синусоидальную форму с помощью (5.12).

5.3.2Примеры анализа цепи комплексным методом

□Пример 13. Необходимо рассчитать ток i2 в схеме рис. 5.6 по синусоидальному сигналу, получить численный ответ.

Рис. 5.6. Поиск комплексной амплитуды результата

стивной схемы замещения рис. 5.7,б. Схема рис. 5.7,а изменяется в соответствии с компонентными уравнениями.

ZL3 ZL6 jX L3 j L3 j10 Ом

86

тельные схемы для поиска эквивалентного э. д. с. Eэ по методу наложения (г,д); поиск эквивалентного комплексного сопротивления Zэ (е)

В преобразованной комплексной схеме необходимо найти комплексное действующее значение I 4 .

Решение будем искать методом эквивалентного источника. Для этого ветвь с искомым токов извлекаем из схемы; оставшийся фрагмент — активный двухполюсник по отношению к точкам B и C — заменяем эквивалентным источником э. д. с. (рис. 5.7,в). Для нахождения параметров экви-

jX L3 :

U хх,2 U CB,2 U CD,2 J 2 jX L3 j j10 10 j2 10 .

88

найдём, обнулив все источники питания в режиме холостого хода (вспомогательная схема изображена на рис. 5.7,е).

Как видно на вспомогательной схеме, сопротивление между точками

После того, как найдены э. д. с. Eэ и комплексное сопротивление Zэ, можно заменить активный двухполюсник с выводами B и C из схемы рис. 5.7,б на эквивалентный источник питания с этими параметрами, как показано на рис. 5.7 в. К получившемуся контуру можно применить закон Ома для замкнутого контура, т. е. найти ток контура по известной э. д. с. и сопротивлению контура:

Далее необходимо найти выражение для тока четвёртой ветви в экспоненциальной форме (см. для иллюстрации рис. 5.8), чтобы в итоге получить его запись в виде функции времени — в синусоидальной форме:

89

2

–1,41

Рис. 5.8. Поиск комплексной амплитуды результата

5.4 Резонанс в электрических цепях

При возникновении синусоидального сигнала определённой («резонансной») частоты в электрической цепи, содержащей реактивные элементы, в такой цепи резко увеличиваются токи ветвей и напряжения элементов. Всё это является следствием явления, называемого резонансом.

Явление резонанса может применяться в технике. Например, с его помощью колебательный контур радиоприёмника настраивается на определённую частоту радиосигнала; в эфире существуют сигналы множества частот на малой амплитуде. Резонанс позволяет резко увеличить амплитуду сигнала на выбранной частоте и выделить её из числа многих, т. е. резонансный контур радиоприёмника работает как узкополосный фильтр. Таким же способом передаются телефонные разговоры многих абонентов по одной паре проводов в магистральной линии: они передаются в разных диапазонах частот, или что то же самое, на разных несущих частотах; при этом на сигнал высокой несущей частоты накладывается содержательный звуковой сигнал; такой процесс называется модуляцией; в оконечном устройстве – приёмнике абонента происходит демодуляция: нужный диапазон частот вокруг настраиваемой несущей частоты усиливается резонансным устройством – фильтром.

Резонансные явления могут играть и отрицательную роль. Возникновение в энергетических высоковольтных цепях нежелательных паразитных колебательных контуров с увеличенными напряжениями способно вызвать большие потери энергии и даже разрушения.

5.4.1 Физические процессы, обуславливающие резонанс (на примере RLC-контура)

Рассмотрим простейшую R-L-C-цепь (см. рис. 5.9), состоящую из последовательно соединённых сопротивления, индуктивности и ёмкости.

R L C

A B

Рис. 5.9. Последовательная R-L-C-цепь

90