МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Московский государственный институт электроники и математики (Технический университет)

Кафедра "Вычислительные системы и сети"

Изучение типовых звеньев систем управления

Методические указания к лабораторной работе по дисциплине Основы теории управления

Москва 1998

Предисловие

В данном руководстве изложены основные теоретические знания, необходимые для лабораторной работы, и пример ее выполнения с использованием пакета MATLAB.

Цель лабораторной работы - изучение с помощью ПВМ переходных и частотных характеристик типовых звеньев систем управления.

Теоретическое введение

Чтобы составить уравнения динамики системы автоматического управления или регулирования, система разбивается на звенья. Затем рассматривается каждое звено системы в отдельности: Входная x1 и выходная х3 величины соответствуют физическим величинам, выражающим воздействие предыдущего звена на данное звено (x1) и воздействие данного звена на последующее (x2).

Звено системы может являться техническим устройством любой физической природы, конструкции и назначения. Поэтому составление уравнения динамики каждого конкретного звена системы является предметом соответствующей конкретной области технических наук (электротехники, теплотехники, динамики полета и т.п.), к которым и следует каждый раз обращаться.

Допустим, что в результате составления уравнения динамики какого-нибудь конкретного звена получилось следующее линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

В теории автоматического регулирования принято приводить

уравнение звена к стандартному виду в символической записи

, (*)

где р обозначает операцию дифференцирования p= . Здесь введены постоянные времени, которые в данном случае будут

и коэффициент усиления (передаточное число) звена

Очевидны следующие размерности этих постоянных:

Т1 [сек], [сек], [сек],

В установившемся состоянии, когда X1=const и X2=const получаем из (*) уравнение статики данного звена

X2=k1X1

коэффициент усиления k, определяет крутизну наклона соответствующей линейной статической характеристики звена (k1=tg а, где а - угол наклона характеристики к оси Ох1).

Передаточная функция звена.

Ее определение дается на базе преобразования Лапласа:

Пусть даны начальные условия:

Тогда:

Применив это преобразование к дифференциальному уравнению звена

получим:

(**)

где через B(s) обозначим многочлен, включающий в. себя все члены с величинами начальных условий.

Передаточной функцией звена W(s) называется отношение изображения Лапласа выходной величины к входной:

при нулевых начальных условиях (B(s)=0 ). В данном случае согласно (**) имеем

(***)

Сравнивая полученное выражение с дифференциальным уравнением звена(***), видим, что формально передаточную функцию звена можно составлять как отношение операторных многочленов правой и левой частей уравнения звена. И наоборот, зная передаточную функцию (***), легко написать его уравнение, имея в виду что числитель передаточной

функции соответствует правой части уравнения(*), а знаменатель передаточной функции (***) - левой части уравнения (*).

В общем случае передаточная функция звена имеет вид

где N(s) и L(s) - многочлены с коэффициентами 1 в младших членах, причем степень N(s), как правило, ниже степени L(s).

Весовая функция звена.

Весовой функцией звена называется оригинал (т.е. обратное преобразование Лапласа) передаточной функции

где s, - все полюса передаточной функции W(s). В этой формуле Res обозначает вычеты (см. теорию функций комплексного переменного).

Поскольку при нулевых начальных условиях

X2(s)=W(s)X2(s), то будет иметь место равенство

в том случае, если Х1= 1, т.е. если .

Следовательно, физический смысл весовой функции звена k(t) есть реакция звена на единичный импульс, длительность которого стремится к нулю, а амплитуда к бесконечности, причем их произведение равно 1.

Иначе говоря, весовая функция представляет переходный процесс на выходе звена при подаче на его вход единичного импульса.

Зная весовую функцию звена k(t), можно определить его передаточную функцию:

W(s)=L{k(t)}.

Переходная функция звена.

Переходной функцией h(t) называется реакция звена на единичное ступенчатое воздействие, т.е. переходный процесс на выходе Х2 при единичном скачке 1(t) на входе звена x1.

Следовательно,

откуда

Поскольку известно, что (имея в виду обобщенные функции)

то имеем следующее соотношение между весовой и переходной функциями

1. Типы звеньев систем автоматического управления и их характеристики

Типы звеньев систем автоматического управления и регулирования различаются по виду их передаточной функции (или дифференциального уравнения), определяющей все их динамические свойства и характеристики.

Основные типы звеньев делятся на три группы: позиционные, дифференцирующие и интегрирующие.

Позиционными звеньями называются такие, в передаточной функции которых

многочлены N(s) и L(s) имеют свободные члены (равные 1), т.е. эти звенья обладают статической характеристикой x2=k1x1 (при s=0), определяющей их состояние равновесия (свойство позиционности).

У дифференцирующих звеньев в выражении (1.1) отсутствует свободный член числителя, т.е. для однократно дифференцирующего звена будет

свободный член, равный 1. Для двукратно дифференцирующего звена

Передаточные функции интегрирующих звеньев имеют соответственно вид

где L1(s) имеет свободный член, равный 1.