- 6 -

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Московский государственный институт электроники и математики

(технический университет)

Решение уравнений

Методические указания

для выполнения лабораторных работ и домашних заданий

по дисциплине "Вычислительная математика"

Направление подготовки: 654700 – Информационные системы

Номер специальности: 071900 – Информационные системы и технологии

Факультет Прикладной математики

Кафедра

"Математическое обеспечение систем обработки информации и управления"

Москва – 2005 г.

Лабораторная работа решение уравнений

Предварительно отделив корни уравнения, найти один из корней с точностью следующими методами:

- дихотомии,

- пропорциональных частей (хорд),

- касательных (Ньютона),

- модифицированным методом Ньютона,

- комбинированным методом,

- итерационным.

Сравнить скорость сходимости методов.

Сравнить полученные результаты с результатами, вычисленными с помощью встроенных функций пакета Математика.

Для получения зачета студент должен продемонстрировать на экране компьютера действующую программу, реализующую перечисленные выше методы решения. Студент должен обосновать выбор отрезка для поиска решения уравнения, а также должен уметь объяснить все детали представленной программы и ответить на связанные с темой теоретические вопросы.

Теоретические сведения

Решение уравнения складывается из двух этапов.

1. Отделение корней - нахождение интервалов , каждый из которых содержит один и только один корень уравнения.

2. Уточнение приближенных значений корней .

Отделение корней может быть проведено путем анализа знаков функции в выбранных точках области определения функции.

Пример 1. Отделим корни уравнения, левая часть которого равна . Для этого построим таблицу:

				0	1
Знак

Заключаем из таблицы, что корни уравнения находятся в интервалах: (-3,-1), (0,1) и (1,3).

Для разделения корней алгебраических уравнений можно использовать правило Декарта:

Количество положительных корней многочлена

равно числу перемен знака в последовательности коэффициентов или меньше этого числа на четное число

С оответственно, анализ коэффициентов многочлена позволяет узнать число корней многочлена , превышающих значение , а число перемен знака в последовательности коэффициентов многочлена определяет число отрицательных корней исходного многочлена.

Пример 2. Для рассмотренной выше функции знак в последовательности коэффициентов меняется дважды, следовательно, уравнение может иметь не более двух положительных корней. Для многочлена знак в последовательности коэффициентов меняется один раз, следовательно, исходное уравнение имеет один корень больше 1. Знак коэффициентов многочлена также меняется лишь один раз, следовательно, имеется только один отрицательный корень.

Наиболее наглядный способ отделения корней - анализ графика функции .

Второй этап решения - уточнение найденного приближенного значения корня - осуществляется с помощью итерационных методов: исходное значение уточняется в ходе повторяющихся итераций. Для реализации этих методов необходимо иметь оценку погрешности найденного значения корня. Наиболее универсальный способ оценки дает следующая теорема.

Пусть - корень уравнения , а - приближенное значение этого корня; пусть и находятся внутри отрезка и при ; тогда

. (1)

Отметим, что чем уже отрезок , тем точнее эта оценка. Для конкретных итерационных методов существуют также свои специфические методы оценки погрешности.

Метод дихотомии (метод половинного деления) состоит в последовательном делении начального отрезка пополам и выборе на каждом шаге деления подотрезка, содержащего корень. Так, если на некотором шаге найден отрезок , то вычисляем далее ; если , то процесс итераций заканчивается - найдено точное значение корня уравнения ; если , то выбираем для следующего шага отрезок , иначе выбираем отрезок .

В качестве приближенного значения корня можно взять любое значение внутри найденного отрезка. Очевидно, что погрешность при этом не превышает длины отрезка. Поскольку длина отрезка после n шагов равна , то количество итераций, требуемое для достижения заданной точности, может быть вычислено заранее.

Метод хорд (метод секущих, метод пропорциональных частей) - процесс итераций осуществляется в соответствии с формулой

(2)

В этой формуле X - та из граничных точек отрезка , в которой выполнено условие

(3)

(предполагается, что вторая производная на отрезке не меняет знак). В качестве начального приближения выбирается противоположная граничная точка отрезка.

С геометрической точки зрения процесс, описываемый формулой (2), можно пояснить следующим образом:

- на первом шаге проводится прямая линия через точки и ; точка пересечения этой прямой с осью x определяет точку ;

- на втором шаге проводится прямая через точки , и точка пересечения с осью x определяет точку и т.д.

Точка X является неподвижной, а точки образуют монотонную последовательность, пределом которой является точка - корень уравнения .

Для остановки процесса итераций по достижении необходимой точности может быть использована оценка (1).

Метод Ньютона (метод касательных) - процесс итераций проводится по формуле:

. (4)

В качестве начального приближения должна быть выбрана граничная точка отрезка , в которой выполняется условие (3). Геометрически процесс, осуществляемый по формуле (4), означает последовательное проведение касательных к кривой :

- сначала проводится касательная в точке и пересечение касательной с осью x дает точку ,

- затем проводится касательная в точке и т.д.

В результате получаем монотонную последовательность , пределом которой является точное значение корня уравнения. Отметим, что приближение к пределу происходит с противоположной стороны по сравнению с приближением к пределу в методе хорд.

Для остановки процесса итераций в методе Ньютона может быть использована оценка погрешности (1). Для метода Ньютона справедлива также следующая оценка погрешности найденного значения корня:

, (5)

где - наибольшее значение на отрезке . Поскольку при увеличении n , то, начиная с некоторого номера шага, ; в этом случае справедлива более простая оценка погрешности:

.

Модифицированный метод Ньютона - процесс итераций производится в соответствии с формулой

.

Поскольку в этой формуле используется значение производной лишь в одной точке, данный метод требует меньшего объема вычислений на каждом шаге, чем обычный метод Ньютона (4). Однако, данный процесс итераций сходится медленнее. Начальная точка выбирается также, как и в обычном методе Ньютона. В качестве критерия остановки процесса итераций может использоваться оценка погрешности, вычисляемая по формуле (1).

Комбинированный метод - на каждом шаге итераций используются два метода: метод Ньютона и метод хорд. В качестве начального значения для метода Ньютона используется граничная точка исходного отрезка , в которой выполняется условие (3); в качестве начальной точки для метода хорд используется противоположная граничная точка, назовем ее . На каждом шаге итераций вначале вычисляется очередное приближенное значение с помощью метода Ньютона по формуле (4). Затем вычисляется приближенное значение в соответствии с методом хорд по формуле

.

В этой формуле роль “неподвижной” точки выполняет точка , найденная с помощью метода Ньютона. В ходе выполнения итераций получаем две последовательности: и , сходящиеся с разных сторон к истинному значению корня. В качестве приближенного значения корня на шаге с номером n может быть взято любое значение между и , например, среднее арифметическое . Очевидно, что погрешность при этом не превышает величины .

Метод итераций - исходное уравнение переписывается в эквивалентном виде , где функция выбрана таким образом, чтобы для всех x, принадлежащих исходному отрезку , выполнялось условие . При выполнении этого условия итерационный процесс

сходится независимо от начального значения , принадлежащего исходному отрезку, и пределом последовательности является точка - корень уравнения . При этом, если , то процесс приближения - монотонный: все точки расположены с одной стороны от точки . Если , то последовательные значения расположены по разные стороны от точки .

Для метода итераций справедлива следующая оценка погрешности найденного значения корня:

. (6)

Из этого неравенства следует, что метод итераций сходится тем быстрее, чем меньше значение q. Если , то справедлива также более простая оценка:

. (7)

Существует следующий способ выбора итерирующей функции . Пусть на исходном отрезке производная функции принимает положительные значения: ; тогда можно положить . Отметим, что для улучшения сходимости целесообразно сужать отрезок .

Пример 3. Найдем подходящую итерирующую функцию для нахождения положительного корня уравнения , где . Поскольку , а , то искомый корень лежит на отрезке . На этом отрезке , следовательно, в качестве искомой функции можно выбрать функцию .

Другой способ нахождения подходящей итерирующей функции основан на свойстве производной обратной функции:

Пусть функция дифференцируема и монотонна на отрезке и производная при ; тогда производная обратной функции в точке равна .

Пусть для исходного уравнения найдено эквивалентное уравнение и . Тогда данное уравнение можно заменить уравнением , где - функция, обратная к функции ; итерационный процесс, построенный на основе этого уравнения, сходится.

Пример 4. Найдем иной вариант итерирующей функции для нахождения положительного корня уравнения . Если записать это уравнение в виде , где , то на отрезке , заключающем искомый корень, , следовательно, функция не удовлетворяет условию сходимости. Выберем функцию, обратную к функции : . На отрезке , следовательно, функция может быть использована для построения сходящегося итерационного процесса. Отметим, что , так что процесс сходимости - немонотонный и для оценки погрешности можно использовать простую формулу (7).

ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ

1. Найти наименьший положительный корень уравнения tg(x) = x.

2. Найти наименьший корень уравнения x_­­⁵ – x – 0.2 = 0.

3. Найти положительный корень уравнения x_­­⁵ + x – 0.2 = 0.

4. Найти наименьший положительный корень уравнения e_­­ ^x = 5 x_­­².

5. Найти корень уравнения x_­­⁵ – x – 0.2 = 0, ближайший к точке x = 0.

6. Найти наименьший корень уравнения x_­­³ – 10 x + 2 = 0.

7. Найти положительный корень уравнения x_­­⁴ – x_­­² + 5 x – 10 = 0.

8. Найти наибольший корень уравнения x_­­³ – 10 x + 2 = 0.

9. Найти наименьший корень уравнения e_­­ ^x = 3 x_­­².

10. Найти корень уравнения x_­­³ – 10 x + 2 = 0, ближайший к точке x = 0.

11. Найти отрицательный корень уравнения x_­­⁴ – x_­­² + 5 x – 10 = 0.

12. Найти отрицательный корень уравнения (x – 1)_­­² = 10 Cos(x + 1).

13. Найти наибольший корень уравнения 4e ^x = 5 x_­­² exp(-x_­­² ).

14. Найти отрицательный корень уравнения e_­­ ^x = 5 x_­­².

15. Найти наибольший корень уравнения exp[ -(0.5 x)_­­²] + 0.2 x = 0.85.

16. Найти положительный корень уравнения (x – 1)_­­² = 10 Cos(x + 1).

17. Найти наименьший положительный корень уравнения x_­­²exp(-0.5 x) = 1.

18. Найти наибольший корень уравнения x_­­⁵ – x + 1.2 = e ^x.

19. Найти наибольший корень уравнения e_­­ ^x = 2 x_­­².

20. Найти наименьший положительный корень уравнения tg(x) = e_­­ ^–x .

21. Найти наименьший корень уравнения 2 x e_­­ ^–x = 0.4.

22. Найти отрицательный корень уравнения x_­­³ + 0.2 = x + ln(x_­­² + 1).

23. Найти корень уравнения x_­­⁵ – x + 1.2 = e ^x, ближайший к точке x = 0.

24. Найти наименьший положительный корень уравнения e_­­ ^x = 3 x_­­².

25. Найти наибольший корень уравнения x_­­³ + 0.3 – x – x_­­^1/3 = 0.

26. Найти наибольший корень уравнения x_­­³ + 0.2 = x + ln(x_­­² + 1).

27. Найти наибольший корень уравнения x_­­⁵ + 2 – 6x = (x ² + 2)_­­^1/2.

28. Найти отрицательный корень уравнения x_­­⁵ – x + 1.2 = e ^x.

29. Найти отрицательный корень уравнения e_­­ ^x = 3 x_­­².

30. Найти отрицательный корень уравнения x_­­³ + 0.3 – x – x_­­^1/3 = 0.

31. Найти корень уравнения x_­­³ + 0.2 = x + ln(x_­­² + 1), ближайший к точке x = 0.

32. Найти наименьший корень уравнения x_­­⁵ + 2 – 6x = (x ² + 2)_­­^1/2.

33. Найти корень уравнения x_­­³ + 0.2 – x = Six(x) exp(-x_­­²), ближайший к точке x = 0.

34. Найти отрицательный корень уравнения e_­­ ^x = 2 x_­­².

35. Найти корень уравнения x_­­⁵ + 2Cos(x) – 4x = (x ² + 2)_­­^1/2, ближайший к точке x = 0.

36. Найти наибольший корень уравнения x_­­³ + 0.2 – x = 2Six(x) exp(-x_­­²).

37. Найти отрицательный корень уравнения e_­­ ^x = exp(-x_­­²) + x_­­ + 0.5.

38. Найти отрицательный корень уравнения x_­­³ + 0.2 – x = 2Six(x) exp(-x_­­²).

39. Найти наибольший корень уравнения e_­­ ^x = 3 x_­­².

40. Найти положительный корень уравнения e_­­ ^x = exp(-x_­­²) + x_­­ + 0.5.

41. Найти наименьший корень уравнения 4e_­­ ^x = 5 x_­­² exp(-x_­­²).

42. Найти отрицательный корень уравнения x_­­⁴ + x_­­³ – 8 x_­­² + x – 10 = 0.

43. Найти наибольший корень уравнения 2 x e_­­ ^–x = 0.4.

44. Найти наименьший положительный корень уравнения x_­­³ + 0.2 – x = 2Six(x) exp(-x_­­²).

45. Найти наибольший корень уравнения x_­­² exp(-x/2_­­) = 1.

46. Найти отрицательный корень уравнения exp[ –(0.5 x)_­­²] + 0.2 x = 0.85.

47. Найти положительный корень уравнения x_­­⁴ + x_­­³ – 8 x_­­² + x – 10 = 0.

48. Найти отрицательный корень уравнения x_­­² exp(-x/2_­­) = 1.

49. Найти наименьший положительный корень уравнения exp[ –(0.5 x)_­­²] + 0.2 x = 0.85.

50. Найти наибольший корень уравнения 4e_­­ ^x = 5 x_­­² exp(-x_­­²).

Автор: к.т.н., доцент Калинин Б.Н.