method_eltech_v3.2.53_2013-11-17

а сопротивления R5 и R6 оказываются параллельными и могут быть заменены одним эквивалентным: R65 R6 || R5 R6R5 R6 R5 .

Найдём ток источника E7 (рис. 4.16, к):

RЭ R8 R7 R2 R65 || R3

I7,7 E7 RЭ

Воспользуемся правилом делителя тока, чтобы получить I2,7 :

6) Суммировав все частичные токи, получим общий ток:

I2 I2,1 I2,3 I2,4 I2,7 . ■

4.5 Метод эквивалентного источника

Метод эквивалентного источника также используется для нахождения тока в одной ветви или напряжения на одном элементе.

Активным двухполюсником называется произвольный фрагмент электрической схемы, имеющий два вывода и содержащий взаимно нескомпенсированные источники питания.

Теорема об активном двухполюснике: любой активный двухполюс-

ник можно заменить эквивалентным источником питания (э. д. с. или то-

ка) с параметрами ( EЭ и RЭ) или ( JЭ и RЭ).

Таким образом, если требуется найти ток в отдельно взятой ветви схемы, то эту схему можно разделить на две части: нагрузку — ветвь с искомым током и активный двухполюсник — все остальные элементы схемы.

После замены активного двухполюсника эквивалентным источником э. д. с. вся схема будет представлять собой простейший контур, составленный из эквивалентного источника и нагрузки, решаемый с помощью закона Ома (см. рис. 4.17).

где Eэ, Rэ — параметры эквивалентной э. д. с., Eн, Rн — э. д. с. и сопротивление нагрузки.

В случае замены активного двухполюсника эквивалентным источником тока схема решается с помощью закона Ома и правила делителя тока:

61

Методика нахождения параметров эквивалентного источника

включает в себя расчёт схемы в двух режимах, часто это режим холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ).

Для схемы рис. 4.17, а режимы ХХ и КЗ показаны на Ошибка! Ис-

точник ссылки не найден..

найден., а). Т. е. в исходной схеме, из которой исключена ветвь с нагрузкой, одним из известных методов рассчитывается напряжение между точек, к которым подключается нагрузка. Важно правильно найти направление эквивалентного источника: падение напряжения на источнике э. д. с. должно быть сонаправлено с напряжением холостого хода (см. рис. 4.19,а).

2)Jэ. Значение эквивалентного источника тока равно току короткого замыкания Jэ Iкз фрагмента-источника (Ошибка! Источник ссылки не найден., б). Т. е. в исходной схеме, из которой исключена ветвь с нагрузкой, одним из известных методов рассчитывается ток в идеальном проводнике, соединяющем точки, где была подключена нагрузка. Направление источника тока должно совпадать с направлением тока холостого хода (см. рис. 4.19,б).

3)Rэ. Эквивалентное сопротивление можно найти из режима холостого хода методом непосредственного преобразования. Нужно обнулить

62

все источники питания и найти эквивалентное сопротивление схемы в режиме ХХ между точек, к которым подключена нагрузка.

Рис. 4.18. Схема рис. 4.17, а в режиме ХХ (а), в режиме КЗ (б)

Рис. 4.19. Нахождение направления эквивалентного источника: э. д. с. (а), тока (б)

Эквивалентное сопротивление можно также найти как отношение

Rэ Uхх Iкз .

В примере на Ошибка! Источник ссылки не найден., а Uхх можно

найти непосредственно: Uхх U AC A C J1R3 E3 E4 . 63

□ Пример 9. Найти ток I4 в схеме Ошибка! Источник ссылки не найден., а методом эквивалентного источника.

Рис. 4.20. Исходная схема (а); выделение нагрузки и активного двухполюсника (б); схема для J1 (в) и E5 (г); итоговый контур (д)

1)Для решения поставленной задачи необходимо выделить из схемы ветвь с искомым током (см. Ошибка! Источник ссылки не найден., б), а

затем найти параметры эквивалентного источника, которым можно заменить оставшийся активный двухполюсник.

2)Параметры эквивалентного источника можно найти в режиме хо-

лостого хода (см. Ошибка! Источник ссылки не найден., б): э. д. с.

Uэ UCB по методу наложения: Uхх UCB UCB,1 UCB,5 , а сопротивление по методу непосредственного преобразования: Rэ R5 || R3 R2 .

3) Для нахождения UCB,1 (см. Ошибка! Источник ссылки не найден., в) необходимо найти напряжение, падающее на сопротивлении R5 . Так как в этой схеме известен ток источника J1 , то здесь удобнее найти ток I5,1 , протекающий через R5 , а затем по закону Ома найти и напряжение UR5,1:

64

5) Зная сопротивление Rэ и э. д. с. Uхх UCB UCB,1 UCB,5 эквивалентного источника, можно заменить активный двухполюсник (слева на

Ошибка! Источник ссылки не найден., б) эквивалентным источником. В получившемся контуре (см. Ошибка! Источник ссылки не найден., д)

для нахождения тока контура необходимо использовать закон Ома для замкнутого контура:

I4 Eэ E4 . ■

Rэ R4

4.5.1 Условие отбора приёмником максимальной мощности

Для исследования такого вопроса, как получение в нагрузке Rн максимальной мощности, можно воспользоваться теоремой об активном двухполюснике. Заменим схему, подключённую к нагрузке Rн , эквивалентным источником. Мощность сопротивления нагрузки определяется выражением:

где ток I выражен с помощью (4.50). Максимум этого выражения ищется с помощью приравнивания нулю производной P Rн :

Таким образом, мощность, выделяемая в нагрузке оказывается максимальной в том случае, когда сопротивление нагрузки равно сопротивлению источника.

4.6 Метод узловых потенциалов

При решении схемы по методу, основанному на законах Кирхгофа, необходимо составить систему из n независимых уравнений с n неизвестными, где n – количество неизвестных токов. Известно однако, что сложность и временные затраты решения подобной системы нелинейно увеличиваются с увеличением количества неизвестных. Так что способы, позволяющие уменьшить количество неизвестных в системе уравнений, существенно снижают сложность и время решения схемы в целом.

В 1873 г. Максвелл в своём «Трактате об электричестве и магнетизме» предложил 2 метода расчёта разветвлённых электрических цепей: метод узловых потенциалов (МУП) и метод контурных токов (МКТ). Эти методы используют уравнения, похожие по форме на законы Кирхгофа, но содержат новые переменные, что позволяет сильно сократить число уравнений (примерно в два раза). За счёт особого выбора переменных, какойлибо из законов Кирхгофа выполняется автоматически; соответственно, уравнения нужно составлять только по второму из них.

МУП используется для поиска токов в схемах с большим количеством ветвей. В качестве независимых переменных выступают потенциалы узлов. Реальные токи ветвей затем выражаются через потенциалы узлов по закону Ома. Из-за использования закона Ома, второй закон Кирхгофа выполняется автоматически; составляются уравнения только в форме первого закона Кирхгофа. Число уравнений, составляемых по МУП, равно числу уравнений по ЗТК (равно числу главных сечений):

где NУ – количество узлов схемы, NE – количество особых ветвей, содержащих только идеальный источник э. д. с.

[Начать с примера, перейти к общим формулам]

1)На первом шаге расчёта по методу МУП из узлов схемы выбирается опорный узел («земля», узел с нулевым потенциалом). Если в схеме есть особые ветви, состоящие только из идеальных источников э. д. с., то можно считать опорным один из узлов таких ветвей, тогда потенциал второго узла такой особой ветви можно найти через номинал источника э. д. с. Таким образом, два вышеуказанных потенциала становятся известными,

идля них не составляются уравнения.

2)Остальные такие особые ветви нужно удалить, используя специальный метод «перенос источника через узел», — не меняя направление идеального источника э. д. с., вынести его во все ветви, примыкающие

66

к одному из узлов данной ветви. В примере на рис. 4.21 источник E3 вынесен в соседние ветви с сопротивлениями R8 и R9 . Легко видеть, что при этом контурные и узловые уравнения не меняются, следовательно, не меняются искомые токи ветвей. В данном примере потенциалы точек A и A преобразованной схемы равны потенциалу точки A исходной схемы, потенциал узла B не изменяется.

Рис. 4.21. Эквивалентное преобразование ветвей с источниками э. д. с.

3) Далее составляется система уравнений, включающая в качестве неизвестных потенциалы узлов (см. (4.56)), где

i ,i 1,n — неизвестный потенциал i -го узла;

Gii , i 1,n (одинаковые индексы) — узловая проводимость узла i ;

Gij , i 1,n, j 1,n, i j (разные индексы) — межузловая проводимость узлов i и j ;

IУi , i 1,n — узловой ток узла i .

Проводимость Gii равна сумме проводимостей ветвей, присоединённых к узлу i . Все Gii берутся со знаком «+».

Проводимость Gij равна сумме проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узлы i и j (т. е. путь между ними состоит из одной ветви). Все Gij берутся со знаком «–». По определению, Gij Gji .

Примечание. Проводимость элемента, по определению, — величина, обратная его сопротивлению. Если в ветви несколько последовательно соединённых сопротивлений, то общее сопротивление такой ветви равно сумме сопротивлений, а общая проводимость обратна сумме сопротивлений. Внутреннее сопротивление идеального источника тока равно бесконечности, следовательно, если в ветви присутствует источник тока, то суммарное сопротивление такой ветви также равно бесконечности, а проводимость, соответственно, нулю.

Узловой ток IУi представляет собой полный ток, притекающий к узлу i от действительных и эквивалентных источников тока. Эквивалентные

67

источники тока получаются из источников э. д. с. путём временной (для целей расчёта) эквивалентной замены (см. Эквивалентное взаимное преобразование источника э. д. с. и источника тока). Со знаком «+» берутся источники, направленные к узлу i .

Матричная форма записи этой системы приведена ниже (см. (4.57)).

(4.57)

Gij j IУi

Слева в системе (4.57) стоит квадратная матрица коэффициентов – узловых и межузловых проводимостей (размерности n n ), которая умножается на столбец неизвестных потенциалов узлов (размерности n ). Справа стоит столбец свободных членов — узловых токов (размерности n ).

Узловые проводимости Gii занимают главную диагональ, межузловые проводимости Gij находятся вне главной диагонали.

4) Решение системы уравнений (4.57) проводится либо вручную (приведением к диагональному виду или использованием определителей и др.), либо с помощью математической компьютерной программы, например, MathCAD, Maple и др. Решение линейного матричного уравнения производится в виде произведения G 1I , дающего столбец неизвестных.

5) После нахождения потенциалов одним из матричных методов, определяются токи ветвей с помощью закон Ома (см. рис. 4.22).

□ Пример 10. Рассмотрим пример расчёта схемы Ошибка! Источник ссылки не найден., а по методу узловых потенциалов.

1) Примем узел D за базовый: D 0 . 68

Рис. 4.23. Исходная (а) и преобразованная (б) схема для расчёта по методу узловых потенциалов (МУП)

Соответствующие уравнения выглядят следующим образом:

Ниже приведена запись этих уравнений в матричной форме. Отметим лишь три особенности: 1) проводимость ветви 1 равна 0,

т. к. внутреннее сопротивление идеального источника тока равно ∞; 2) все узловые проводимости (на главной диагонали) взяты со знаком «+», а все межузловые проводимости взяты со знаком «–»; 3) межузловые проводи- мостиственноG. AE и GEA равны 0, так как узлы A и E не соединены непосред-

70