method_eltech_v3.2.53_2013-11-17

В отсутствие внешних воздействий в такой цепи происходит обмен электро-магнитной энергией между реактивными элементами: ёмкостью (элементом, накапливающим энергию электрического поля) и индуктивностью (элементом, накапливающим энергию магнитного поля). Когда заряженная ёмкость начинает разряжаться, это создаёт ток в ветви в соответствии с дифференциальным уравнением i C dudt , вызывая увеличение энергии индуктивности. Когда ёмкость полностью разряжается, процесс начинает протекать в обратном направлении: энергия индуктивности через посредство тока передаётся ёмкости до полного разряда индуктивности. Эти пульсации энергии, а также тока в цепи и напряжения на элементах, происходят с постоянной частотой 0 , зависящей только от номиналов реактивных элементов, и называемой частотой собственных колебаний:

Примечание. В более сложных схемах в выражение (5.27) нужно подставить эквивалентные ёмкость Cэ и индуктивность Lэ, либо можно вывести выражение для частоты из условия резонанса Xвх 0 (см. ниже).

Если в цепи нет сопротивлений (элементов, преобразующих энергию из электрической формы в тепловую), то обмен энергией между реактивными элементами может происходить бесконечно долго. В реальности в цепи всегда есть сопротивление (паразитные сопротивления элементов и проводов); в таких условиях колебания постепенно затухают со скоростью, зависящей от величины сопротивления. Частота этих колебаний от сопротивления не зависит и сохраняется постоянной.

Вслучае если к схеме подключить источник переменного сигнала

счастотой , равной частоте собственных колебаний 0 , то такой источник будет восполнять потери энергии, вызванные сопротивлением. Т. е. энергия, потребляемая схемой, целиком расходуется на потери в сопротивлении.

5.4.2Виды резонанса

Резонанс в электрической цепи может быть двух видов: резонанс токов или резонанс напряжений.

Резонанс напряжений — явление, происходящее в сколь угодно сложном пассивном двухполюснике, содержащем реактивные элементы разного характера, при котором на некоторой частоте 0 0 входное реактивное сопротивление этого двухполюсника Xвх 0 .

Xвх — это мнимая часть комплексного сопротивления Zвх . Если Xвх 0 , то Zвх — чисто действительная величина, т. е. угол наклона вектора Zвх к горизонтальной оси (начальная фаза Zвх ) равен нулю. По определению комплексного сопротивления двухполюсника (см. уравнение

91

(5.16)), начальная фаза его сопротивления равна разности начальных фаз его напряжения и тока.

Из этого вытекает один из признаков резонанса: равенство начальных фаз входного тока и напряжения.

Резонанс токов — явление, происходящее в сколь угодно сложном пассивном двухполюснике, содержащем реактивные элементы разного характера, при котором на некоторой частоте 0 0 входная реактивная проводимость этого двухполюсника Bвх 0 .

5.4.3 Резонанс напряжений

Рассмотрим частотные зависимости различных параметров схемы и их значения при резонансе на примере RLC-контура.

Комплексное входное сопротивление при равенстве нулю реактивной части Xвх 0 становится равным активной части:

Емкостное и индуктивное сопротивление при резонансе равны (см.

рис. 5.11,а):

Величина, обратная добротности, называется затуханием контура:

Фазовая характеристика (разность фаз входного напряжения и тока) при резонансе пересекает ноль (см. рис. 5.11,е). При меньшей частоте характер цепи емкостной, при большей частоте характер цепи индуктивный. При этом 2 при 0 и 2 при .

5.4.4 Частотные характеристики простейшего R-L-C-контура

На рис. 5.11 приведён пример моделирования рассмотренных выше фазо-частотных характеристик для последовательного RLC-контура с параметрами элементов и сигналов: C 1 мкФ, L 15 мГн, R 65 Ом, Uвхm 2 В; частота меняется от 100 до 3500 Гц; резонансная частота контура равна f0 1,3 кГц. В качестве тренировки рекомендуется рассчитать характерные точки, отмеченные на графиках.

Список изображённых графиков (сверху вниз): а) индуктивное X L , емкостное XC и реактивное X сопротивление; б) полное сопротивление z (амплитуда комплексного сопротивления); в) ток I контура; г) напряжение UR на сопротивлении; д) напряжение UL на индуктивности, UC на ёмкости; е) разность фаз между входным напряжением и током.

94

6 Расчёт переходных процессов в линейных схемах

Equation Section (Next)

6.1. Основные понятия. — 6.2. Этап 1. t = –0. Состояние схемы перед коммутацией. – 6.3. Этап 2. t = +0. Состояние схемы после коммутации. — 6.4. Этап 3. t > 0. Классический метод расчёта переходных процессов. — 6.5. Этап 3. t > 0. Операторный метод расчёта переходных процессов. — 6.6. Примеры расчёта переходных процессов.

6.1 Основные понятия

Переходным называется процесс, возникающий в электрической цепи при переходе от одного установившегося режима к другому. Установившимся режимом называется режим работы схемы по постоянному сигналу или периодическому сигналу с постоянными параметрами. Причиной перехода является коммутация — резкое изменение внутренних параметров цепи или её топологии. Переходной процесс протекает только в том случае, если в схеме есть реактивные элементы.

События, связанные с переходным процессом, происходят в следующем порядке (см. левую часть табл. 6.1). [Показать на графике].

Табл. 6.1. Этапы течения и расчёта переходного процесса

Во многих практических случаях длительность самой коммутации можно считать пренебрежимо малой, т. е. принять Tк 0 . Для этого случая в окрестности нуля можно выделить три ключевых момента времени:

96

t 0 0 – момент, непосредственно предшествующий комму-

тации, t 0 – момент начала коммутации,

t 0 0 – момент окончания коммутации и начала переходного процесса.

где – бесконечно малая.

Расчёт переходного процесса при Tк 0 проводится в хронологи-

ческом порядке (см. правую часть табл. 6.1). Метод, разработанный на кафедре ЭиЭ МИЭМ, вместо решения системы дифференциальных уравнений включает в себя решение набора вспомогательных резистивных схем.

1)расчёт состояния схемы непосредственно перед коммутацией;

2)расчёт состояния схемы непосредственно после коммутации;

3) расчёт самого переходного процесса, содержащего свободную и принуждённую составляющую

Завершение переходного процесса практически происходит за вре-

мя Tуст 4 5 , где – постоянная времени переходного процесса. Практическим условием окончания является снижение разности между текущим и предельным значением сигнала до уровня 1 2%. После этого поведение схемы определяется только принуждённой составляющей (схема находится во втором устойчивом состоянии).

Сам переходной процесс может быть рассчитан классическим или операторным методом.

6.2 Этап 1. t 0 .

Определение состояния схемы перед коммутацией

Исходная схема («схема первого принуждённого состояния» — СПС1) рассчитывается в режиме постоянного или переменного тока (в зависимости от состава схемы и входных сигналов). По схеме для момента времени t 0 определяются искомые величины, а также напряжения конденсаторов и токи индуктивностей. Методы, используемые для этого, подробно описаны в главах, посвящённых расчёту схем по постоянному и переменному сигналу.

6.3 Этап 2. t 0 .

Определение начальных условий переходного процесса

На втором этапе рассматривается состояние схемы непосредственно после коммутации, т. е. в момент времени t 0 . Сигналы, полученные в результате такого расчёта, называются начальными условиями переходного процесса. По схеме определяются зависимые и независимые начальные условия. Независимыми начальными условиями называются напряже-

97

ния конденсаторов и токи индуктивностей, зависимыми — значения всех остальных сигналов (токов, напряжений) и их производных.

6.3.1 Этап 2а. Определение независимых начальных условий

Для емкостей и индуктивностей выполняются, за исключением особых случаев, законы коммутации.

2-й закон коммутации (для ёмкостей). Связь тока и напряжения ёмкости выражается дифференциальным уравнением

Если длительность коммутации устремить к нулю: Tк 0, то интеграл в правой части (6.3) обращается в нуль (т. к. подынтегральное выражение ограничено):

Отсюда окончательно получаем закон коммутации для емкостей:

Этот закон говорит о том, что напряжение на ёмкости при возникновении коммутации не меняется мгновенно: его значение в последний момент перед коммутацией равно его значению в первый момент после коммутации. Исключение из этого закона коммутации существует для емкостей, которые входят в контуры, состоящие только из ёмкостей и источников э. д. с. [пример]

1-й закон коммутации (для индуктивностей). Связь тока и напряжения индуктивности выражается дифференциальным уравнением

Аналогично предыдущему пункту выводится закон коммутации для индуктивностей:

98

Этот закон говорит о том, что ток индуктивности при возникновении коммутации не меняется мгновенно. Исключение из этого закона коммутации существует для индуктивностей, которые входят в сечения, состоящие только из индуктивностей и источников тока (простейшим примером сечения являются ветви, подключённые к одному узлу — см. главу 2). [пример].

6.3.2 Этап 2б. Определение зависимых начальных условий

Зависимые начальные условия рассчитываются в момент t 0 с использованием вспомогательной резистивной схемы СНУ1 (Схема для определения Начальных Условий). Схема СНУ1 составляется таким образом, чтобы зафиксировать состояние исходной схемы в момент t 0 . Для составления этой схемы необходимо в исходной схеме выполнить коммутацию в соответствии с условиями задачи, заменить реактивные элементы постоянными источниками питания, учитывающими накопленную в них электро-магнитную энергию, зафиксировать значения переменных источников в момент времени t 0 . Каждая ёмкость заменяется источником э. д. с. с номиналом, равным напряжению конденсатора в момент t 0 : E uC 0 , а каждая индуктивность заменяется источником тока с номиналом, равным току индуктивности в момент t 0 : J iL 0 .

(а) (б)

Рис. 6.1. Замена реактивных элементов постоянными источниками питания: ёмкости (а), индуктивности (б)

В схеме СНУ1 напряжения на всех элементах и токи всех ветвей имеют постоянные значения, равные величине соответствующих переменных напряжений и токов в момент t 0 . Резистивная схема СНУ1 рассчитывается по постоянному сигналу.

Рис. 6.2. Исходная схема (а), СНУ (б)

В примере на рис. 6.2 искомый ток iн( 0) определяется из схемы СНУ, например, по методу наложения:

99

Для определения начальных значений производных необходимо составить резистивную схему СНУ2. Схема СНУ2 составляется таким образом, чтобы зафиксировать производные сигналов исходной схемы в момент t 0 . В схеме СНУ2 напряжения на всех элементах и токи всех ветвей имеют постоянные значения, равные величине производных соответствующих переменных напряжений и токов в момент t 0 . Резистивная схема СНУ2 рассчитывается по постоянному сигналу.

6.4 Этап 3. t 0 .

Классический метод расчёта переходного процесса

Классический метод расчёта переходного процесса заключается в следующем. Для цепи после коммутации составляется система дифференциальных уравнений, например, по законам Кирхгофа (если уравнения получаются интегро-дифференцальными, то при помощи дифференцирования они превращаются в дифференциальные), а затем ищется её решение путём непосредственного интегрирования уравнений. Дифференциальные уравнения для линейной цепи с постоянными номиналами элементов являются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами:

где an , a0 — постоянные коэффициенты.

Коэффициенты и правая часть уравнения зависят от номиналов элементов схемы. В результате решения системы дифференциальных уравнений находятся функции зависимости токов и напряжений от времени. Решение диференциального уравнения можно представить в виде суммы общего решения однородного дифференциального уравнения (т. е. с нулевой правой частью) и частного решения неоднородного дифференциального уравнения (исходного).

Частное решение неоднородного уравнения выражает принуждённый режим, задаваемый источником, и определяется видом правой части.

Общее решение однородного уравнения определяет токи и напряжения, существующие в цепи в отсутствие внешних источников и при задан-