method_eltech_v3.2.53_2013-11-17

Для решения дифференциального уравнения требуется составить характеристическое уравнение. Оно получается при помощи замены операции дифференцирования умножением на переменную p . Для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами характеристическое уравнение представляет собой обычный многочлен:

В зависимости от порядка n (количества корней) характеристического уравнения и соотношения между корнями, различной будет и форма решения. В случае 1-го или 2-го порядка решение представляется в аналитическом виде (в виде формулы), в случае 3-го или большего порядка решение обычно находится численными методами.

6.4.1 Этап 3а. Определение принуждённой составляющей решения

Принуждённая составляющая решения представляет собой предел, к которому стремится переходной процесс. Для её нахождения составляется вспомогательная схема СПС2 («схема второго принуждённого состояния»); она образуется из исходной схемы с учётом коммутации. Принуждённое состояние по схеме СПС2 рассчитывается в режиме постоянного или переменного тока (в зависимости от состава схемы и входных сигналов) соответствующими методами. По схеме определяются искомые величины, а если предполагаются последующие коммутации, то также напряжения конденсаторов и токи индуктивностей.

6.4.2 Этап 3б. Определение свободной составляющей решения

В случае, если порядок схемы 1-й или 2-й, то форма свободной составляющей решения известна и зависит от соотношения корней.

Порядок уравнения и характер переходного процесса определяются по вспомогательной схеме ССС («схеме для определения свободных составляющих»). Для составления этой схемы необходимо в исходной схеме выполнить коммутацию в соответствии с условиями задачи, обнулить независимые источники питания, затем пределельно упростить схему с помощью методов преобразования элементов. Количество реактивных элементов в преобразованной схеме определяет порядок n схемы.

1) n 1. Свободная составляющая решения находится по формуле:

2) n 2. Корни характеристического уравнения можно найти методом входного сопротивления. В соответствии с этим методом, все элемен-

101

Рис. 6.3. Преобразование реактивных элементов для ОСЗ

Табл. 6.2. Компонентные уравнения в операторной форме

на Ома, то коэффициенты связи между операторным напряжением и операторным током можно назвать операторными сопротивлениями соответствующих элементов: операторное сопротивление резистора получается равным R , операторное сопротивление ёмкости получается 1 pC , а операторное сопротивление индуктивности получается pL .

В результате перевода компонентных уравнений в операторную форму, все они принимают вид закона Ома. Таким образом, для анализа и расчёта схемы можно заменить каждый пассивный элемент его опера-

энергии, накопленной в элементе к началу коммутации. Получаемая при

105

этом резистивная схема замещения называется операторной схемой замещения (ОСЗ). Для её анализа и расчёта применяется вся уже известная методика анализа и расчёта схем по постоянному сигналу с единственным отличием: все сигналы записываются в операторной форме.

6.5.3 Получение изображения переходного процесса и переход от изображения к оригиналу

В результате перевода интегрально-дифференциальных топологических уравнений в операторную форму они принимают вид линейных алгебраических уравнений. По схеме ОСЗ рассчитываются изображения искомых функций любыми известными методами. От этих изображений затем можно перейти к функциям времени с помощью таблиц соответствия или по теореме разложения.

Изображения электрических сигналов, как правило, представляются в виде рациональных дробей:

где для всех реальных сигналов m n .

Рациональную дробь можно разложить на простейшие дроби:

106

iпр(t) J4 , uC (t) uab,пр(t) E1 R1J4 c

Так как эти функции фактически не зависят от времени, то их значения при t 0 будут равны указанным.

2. t 0 . а) Определяем независимые начальные условия по законам коммутации:

uC ( 0) uC ( 0) c

б) Определяем зависимые начальные условия по схеме СНУ (рис. 6.4, в), методом наложения:

3. t 0 . а) Определяем принуждённую составляющую тока по схеме СПС (рис. 6.4, г):

б) Определяем свободную составляющую тока по схеме ССС (рис. 6.4, д). После упрощения схемы ССС (рис. 6.4, е) получаем схему, состоящую из одного контура с ёмкостью. Таким образом, это схема первого порядка, форма решения для неё определяется формулой (6.18), а постоянная времени формулой (6.12).

в) Определяем окончательное решение по формуле (6.18): i(t) iпр(t) iсв(t) iпр(t) Ae t

iпр(t) iпр( 0) i( 0) e t b b a e t

г) График тока i(t) до и после коммутации в диапазоне времени

;5 :

. ■

108

□ Пример 16. В момент времени t 0 в схеме рис. 6.5, а ключ переключается из положения 1 в положение 2. Требуется найти выражение для тока i3(t) , построить график до и после коммутации в диапазоне времени ;5 . Источник e1(t) E1.

□ Пример 17. В момент времени t 0 в схеме рис. 6.5, а ключ переключается из положения 1 в положение 2. Требуется найти выражение для тока i3(t) , построить график до и после коммутации в диапазоне

времени ;5 . Источник e1(t) E1,m sin( t ) .

1. t 0 . Определяем принуждённые составляющие до коммутации по схеме рис. 6.5, б (по постоянному сигналу, т. к. в схеме нет переменных источников):

i3пр(t) iL3пр(t) R2E3R3 a

Так как эти функции фактически не зависят от времени, то их значения при t 0 будут равны указанным.

2. t 0 . а) Определяем независимые начальные условия по законам коммутации:

iL3( 0) iL3( 0) b

б) Определяем зависимые начальные условия по схеме СНУ (рис. 6.5, в):

i3( 0) iL3( 0) b

3. t 0 . а) Определяем принуждённую составляющую тока по схеме СПС (рис. 6.5, г) (комплексным методом, т. к. в схеме есть переменные источники):

i3пр(t) A 2 sin t

110