method_eltech_v3.2.53_2013-11-17

Важно! Две точки, соединённые идеальным проводом, считаются одной точкой; две точки, имеющие одинаковые имена, также считаются одной точкой.

Если двухполюсники соединены друг за другом без ответвлений, то такое их соединение называется последовательным (см. рис. 2-2, а); свойство последовательных элементов – через них протекает одинаковый ток. Один или несколько соединённых последовательно двухполюсников, находящихся между двух узлов, называются ветвью схемы. Если несколько ветвей (в том числе состоящих только из одного элемента) подсоединены к одной паре узлов, то такое их соединение называется параллельным (см. рис. 2-2, б); свойство параллельных ветвей – на них падает одинаковое напряжение.

Графом схемы называется условное изображение схемы, в котором ветви заменены отрезками линий, называемыми ветвями графа. Граф, на ветвях которого стрелками отмечены направления тока, называется ориентированным (см. рис. 2-3). При построении ориентированного графа электрической схемы особо отмечают ветви с известным током, например содержащие источники тока, и ветви содержащие только источники э. д. с. (см. рис. 2-3, б). Подграфом называется любая часть графа (в том числе имеющая разрывы, в том числе изолированный узел или ветвь).

Модель схемы рис. 2-3 для статического режима и её ориентированный граф представлены на рис. 2-4.

Рис. 2-3. Электрическая схема (а) и её ориентированный граф (б) (стрелками помечены направления ветвей)

21

Рис. 2-4. Модель схемы рис. 2-3 для статического режима (а) и её ориентированный граф (б) (стрелками помечены направления ветвей)

Путь – это упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые две соседние ветви имеют общий узел, причём любая ветвь и любой узел встречаются в нём только один раз (см. рис. 2-5, а). Если в графе между любой парой узлов есть путь (т. е. граф не имеет разрывов), то такой граф называется связным (см. рис. 2-5, в).

Сечением графа называется такое подмножество ветвей графа, удаление которых делит граф на два несвязных подграфа (см. рис. 2-7, а, б) (слово «несвязных» в данном определении означает «не имеющих общих элементов: узлов и ветвей»). Можно представить себе такую замкнутую поверхность, которая рассекает граф на два несвязных подграфа.

Контур – это замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным (см. рис. 2-5, б).

Деревом графа называется связный подграф, содержащий все узлы схемы, и не имеющий контуров (см. рис. 2-6). Ветви графа, дополняющие дерево графа до полного графа, называются ветвями связи (см. рис. 2-6). Для схемы можно составить несколько разных деревьев, но в дерево не должны включаться особые ветви с известным током). Заметим, что если к дереву пристыковать любую ветвь связи, то получится замкнутый контур, причём только один.

Если связный граф содержит NУ узлов и NВ ветвей, то число ветвей его дерева NД = NУ – 1, а число ветвей связи NС = NВ – NУ + 1.

Главное сечение – сечение, среди ветвей которого только одна ветвь дерева (остальные ветви главного сечения – это ветви связи) (см. рис. 2-7, в, г, д). За направление главного сечения принимают направление тока

22

Рис. 2-8. Примеры главных контуров графа: К2 , К5 , К1

(ветви дерева помечены толстыми линиями; ветвь связи, определяющая главный контур, очень толстой линией)

2.2Топологические матрицы

ВЭВМ информация о топологии схемы задаётся в виде матриц, называемых топологическими. Обычно используются три типа матриц: матрица узлов, контуров и сечений.

Предположим, что в схеме имеется NУ узлов и NВ ветвей, составлен ориентированный граф и в нём выбрано дерево. Ветви необходимо пронумеровать: сначала ветви дерева (используя номера 1...У-1), затем ветви связи (используя номера У...В).

Матрица узлов (соединений, инциденций) [A] составляется для всех узлов графа, кроме любого одного, который зазмеляется. Для каждого узла схемы вводится сечение, охватывающее все ветви, подсоединённые к данному узлу. В узловой матрице номер i-й строки соответствует номеру узла (номера от 1 до У–1), а номер j-го столбца соответствует номеру ветви.

Вячейки матрицы [A] ставят числа 1, –1, 0. В ячейку a(i,j) записывается 1, если j-я ветвь направлена вовне i-го сечения, записывается (–1), если j-я ветвь направлена внутрь i-го сечения, и 0, если j-я ветвь не принадлежит сечению. [пример]

Рис. 2-9. Пиктограммы значений a(i,j)

[на примере] Матрица [A] может быть представлена двумя подматрицами [A] [A1 : A2 ] (номера столбцов 1...У-1:У...В).

Матрица сечений [Q] составляется для любых сечений графа, а матрица главных сечений [Qг] для главных сечений выбранного дерева. Номер главного сечения соответствует номеру рассекаемой этим сечением ветви

25

дерева. В матрице [Qг] строки соответствуют номерам главных сечений (номера от 1 до У–1), а столбцы — номерам ветвей. В ячейки матрицы главных сечений ставят числа 1, –1, 0. В ячейку qг(i,j) записывается 1, если j-я ветвь пересекает сечение в том же направлении, что и i-я ветвь дерева, записывается (–1), если в противоположном, и 0, если j-я ветвь не принадлежит i-му главному сечению. [пример]

[на примере] Матрица [Qг] может быть представлена двумя подматрицами [Q1:Q2] (номера столбцов 1...У-1:У...В). При выбранном способе нумерации ветвей в каждой строке подматрицы Q1 есть только один элемент со значением 1, и он находится на главной диагонали, поэтому Q1 представляет собой единичную подматрицу и т. о. [Qг] [1:Q2 ].

Матрица главных контуров [Kг] составляется для главных контуров выбранного дерева. Номер главного контура соответствует номеру единственной содержащейся в нём ветви связи, а направление обхода главного контура — направлению этой ветви. В матрице главных контуров строки соответствуют номерам главных контуров (номера от У до В), а столбцы

— номерам ветвей. В ячейку kг(i,j) записывается 1, если направление j-й ветви совпадает с направлением обхода i-го контура, (–1), если оно противоположно, и 0, если j-я ветвь не принадлежит i-му главному контуру.[пример]

[на примере] Матрица [Kг] может быть представлена двумя подматрицами [K1:K2] (номера столбцов 1...У-1:У...В). При выбранном способе нумерации ветвей в каждой строке подматрицы K2 есть только один элемент со значением 1, и он находится на главной диагонали, поэтому K2 представляет собой единичную подматрицу и т. о. [Kг] [K1 :1].

26

3 Основные законы и принципы теории цепей

3.1. Закон Ома. — 3.2. Законы Кирхгофа. — 3.3. Принцип линейности. — 3.4. Принцип взаимности. — 3.5. Контрольный баланс мощности.

Equation Section (Next)

Основные уравнения теории цепей делятся на компонентные и топологические. Компонентные уравнения, например, закон Ома, связывают сигналы одного элемента. Топологические уравнения, например, законы Кирхгофа, связывают сигналы разных элементов.

3.1 Закон Ома

Закон Ома в простейшей форме связывает напряжение и ток отдельного сопротивления (см. рис. 3.1):

В сопротивлении ток и напряжение совпадают по направлению, т. к. ток течёт от точки с бо́льшим потенциалом к точке с меньшим потенциалом; поэтому отношение берётся со знаком «+».

Важно! Все величины, связанные выражением по закону Ома, относятся к одному и тому же элементу.

R

A I B

Рис. 3.1. Иллюстрация к закону Ома в простейшей форме

В случае если в ветви есть сопротивление и источник э. д. с., закон Ома обобщается следующим образом (см. рис. 3.2):

В числителе алгебраически (с учётом знака) складывается внешнее напряжение и все источники э. д. с. ветви – со знаком «+» берутся те, направление которых совпадает с направлением тока, со знаком «–» берутся противоположные – а в знаменателе складываются сопротивления ветви.

Рис. 3.2. Иллюстрация к обобщённому закону Ома

27

Закон Ома для одноконтурной цепи выглядит следующим образом:

Со знаком «+» берутся источники э. д. с., совпадающие по направлению с током, со знаком «–» берутся противоположные (см. рис. 3.3).

Рис. 3.3. Иллюстрация к закону Ома для одноконтурной цепи

3.2Законы Кирхгофа

3.2.1Закон токов Кирхгофа (ЗТК)

Первый закон Кирхгофа вытекает из принципа непрерывности электрического тока. Если охватить узел цепи замкнутой поверхностью s (сечением) и пренебречь токами электрического смещения, то по принципу непрерывности тока:

Для любого узла схемы алгебраическая сумма токов, расходящихся от этого узла, равна 0 в любой момент времени:

k 1

где n – количество ветвей, присоединённых к узлу цепи.

ЗТК может быть сформулирован не только применительно к отдельным узлам цепи, но и к нескольких узлам в совокупности. В этом случае поверхность, для которой записывается выражение (3.4), будет охватывать совокупность узлов и рассечёт граф на две части:

Для любого сечения схемы алгебраическая сумма токов ветвей, содержащихся в этом сечении, равна 0 в любой момент времени.

в S

28

Со знаком «+» берутся токи, вытекающие из сечения (узла), а со знаком «–» берутся токи, втекающие в сечение (узел).

Например, уравнение по ЗТК для сечения рис. 2-7, б выглядит так:

3.2.2 Закон напряжений Кирхгофа (ЗНК)

Для любого контура алгебраическая сумма падений напряжения ветвей, принадлежащих этому контуру, равна 0 в любой момент времени:

Напряжение, падающее на источнике тока, невозможно рассчитать через номинал этого элемента, так что uJ в уравнении по ЗНК является дополнительной переменной.

При решении электрических схем напряжения ветвей выражают через токи ветвей при помощи компонентных уравнений, а источники э. д. с. переносятся в правую часть:

Со знаком «+» здесь берутся все э. д. с. и токи, направления которых совпадают с выбранным направлением обхода контура.

Например, уравнение по ЗНК для контура на рис. 2-5, б выглядит

так:

3.3 Принцип линейности

Принцип линейности может быть использован при расчёте электрической цепи в случае, когда полная структура цепи неизвестна или когда достаточно связать между собой два любых электрических сигнала цепи (например, входной и выходной) по известным из измерений значениям.

Рассмотрим линейную электрическую цепь, в которой все элементы имеют постоянные номиналы. В случае, если параметр одного из элементов цепи меняется, токи и напряжения цепи также изменятся, причём строго пропорционально. Таким образом, все токи и напряжения цепи оказываются связаны между собой простыми линейными соотношениями:

U3 e f U4

ит. д. 29

Коэффициенты в каждом из уравнений (3.11) могут быть определены как из расчёта, так и из опыта. Для этого достаточно знать значения связываемых переменных (токов или напряжений) для каких-либо двух режимов цепи (часто используют режимы короткого замыкания и холостого хода).

3.4 Принцип взаимности

Прнинцип взаимности также может быть использован при расчёте электрической цепи в случае, когда описанное здесь преобразование позволяет упростить либо саму цепь, либо её расчёт. В данном пункте описаны два частных случая более общего принципа взаимности.

Рассмотрим линейную электрическую цепь, содержащую только один источник питания; вся остальная часть цепи –пассивная (см. рис. 3.4,а и в).

Предположим, что источник является источником э. д. с. и его переносят из той ветви, где он находится (№1), в другую ветвь (№2), см. рис. 3.4,б. В этом случае после переноса источника ток первой ветви оказывается равным току, который ранее протекал по второй ветви:

Предположим, что источник является источником тока и его отсоединяют от той пары точек, к которой он подключён (№1), к другой паре точек (№2), см. рис. 3.4,г. В этом случае после переноса источника напряжение между первой парой точек оказывается равным напряжению, которое ранее падало между второй парой точек:

3.5 Контрольный баланс мощности

Контрольный баланс мощности является дополнительным способом проверки правильности решения. При составлении баланса мощности приравнивают суммарную генерируемую мощность источников питания и суммарную потребляемую мощность пассивных элементов:

Основанием для такого равенства является закон сохранения энер-

гии:

30