method_eltech_v3.2.53_2013-11-17

Рис. 1.3. Элемент с равномерно распределённым электро-магнитным полем

В цепях с распределёнными параметрами (см. примеры №№ 2, 4 и особенно 6) электрические свойства реальных элементов цепи и/или электро-магнитное поле неравномерно распределены по их объёму (см. рис. 1.4). Для того, чтобы учесть свойства такого элемента, необходимо условно разбивать его на части, в пределах которых свойства элемента можно считать достаточно однородными. Каждая составная частичка элемента цепи однозначно представляется в рамках модели цепи своими базовыми свойствами, и модель всего элемента становится составной. Так как в зависимости от величины шага разбиения величина свойства, приходящаяся на каждый элемент разбиения, оказывается различной, то и состав модели всего элемента оказывается неодинаковым.

Таким образом, цепь с распределёнными параметрами невозможно однозначно представить в схеме в виде топологии базовых свойств составляющих цепь элементов.

Рис. 1.4. Элемент с неравномерно распределённым электро-магнитным полем разбивается на однородные части

Важным видом схем с распределёнными параметрами являются «длинные линии». Это название отражает тот факт, что распределённость электрических свойств по объёму прибора зависит от соотношения его размеров и длины волны присутствующего в нём сигнала.

Математическое условие, выражающее такое соотношение:

где L – геометрический размер объекта, λ – длина волны сигнала.

Очень часто длинными линиями являются элементы с малыми размерами (порядка долей микрометра), элементы, работающие на сверхвысокой частоте (единицы–десятки гигагерц). Для расчёта длинные линии разбиваются на сегменты в продольном направлении.

11

Например, при современной частоте работы компьютерной техники в единицы гигагерц длины проводников на печатной плате уже достаточно, чтобы проявились распределённые эффекты. Другой известный пример длинных линий – высоковольтные линии электропередачи, имеющие большую длину волны сигнала, но и чрезвычайно большую длину электрического проводника. При расчёте длинных линий требуется находить баланс, компромис между точностью, сложностью и временными затратами на расчёт схемы.

Классификация электрических элементов.

Элементы электрических цепей различаются по назначению (источники энергии / сигнала; приёмники энергии / сигнала; вспомогательные), по числу выводов (2-х полюсные; 3-х полюсные; 4-х полюсные; многополюсные), по отношению к электромагнитной энергии (активные; пассивные), по типу модели элемента (нелинейные — описываются уравнениями с нелинейными коэффициентами; линейные — с линейными коэффициентами), по способу описания параметров элемента (с сосредоточенными параметрами; с распределёнными параметрами).

Принципы моделирования.

Для исследования электрической цепи создаётся её идеализирован-

ная модель, учитывающая режим работы схемы и метод расчёта. Реальные электрические установки заменяются идеализированными элементами, обладающими приближённо теми же электрическими и магнитными свойствами, что и их прототипы.

Электрическая принципиальная схема (ЭПС) – это графическая мо-

дель реальной схемы, отображающая способ электрического соединения проводниками выводов реальных элементов, составляющих данную цепь (резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности и др.). Электрическая схема замещения (ЭСЗ) – математическая модель, схемная модель, в которой отдельные графические символы отражают определённые физические свойства и особенности реальной цепи (например, сопротивление, ёмкость, индуктивность и др.).

Разницу между ЭПС и ЭСЗ легко понять на простейшем примере: рис. 1.5 показывает ЭПС электрической схемы, состоящей из электрической люстры, соединённой через выключатель с осветительным щитком

12

с помощью проводов. На этом рисунке условно-графически изображены реальные элементы схемы, тогда как на рис. 1.6 показаны только базовые электрические свойства этих элементов. При электрическом анализе представленной электрической схемы не имеют значения, например, количество ламп в люстре, цвет плафона, сколькими шурупами выключатель крепится к стене, качество запора на электрическом щитке и многое другое, что может заинтересовать инженера по технике безопасности, завхоза и работников других специальностей. Для электрического рассмотрения наибольшее значение имеют такие величины, как например, параметры электрического сигнала, получаемого с щитка, мощность лампы, сопротивление проводов, функция выключателя замыкать–размыкать цепь (ключ). Именно они показаны на схеме замещения (ЭСЗ).

Электрические параметры элемента по-разному проявляются в разных условиях работы, соответственно при составлении ЭСЗ реальный элемент может быть заменён различными моделями. Сложность модели каждого элемента зависит от режима работы цепи, формы и величины сигнала, требуемой точности расчёта, технологии, способа изготовления элемента, имеющихся вычислительных мощностей.

1.1 Модели 2-х полюсных элементов

2-х полюсный элемент — это простейший двухвыводной элемент электрической схемы (полюсами называют его выводы). С электрической точки зрения важны три его параметра: ток i , протекающий через элемент; напряжение u между выводами элемента; мощность p , потребляемая или генерируемая элементом. Напряжение и ток элемента связаны между собой определённой функцией i f u ; при исследовании переходных процессов важны также зависимости тока и напряжения от времени: i f1 t ,

u f2 t .

Ток ветви обычно обозначают по номеру ветви или по имени элемента, через которые он протекает (например, I5 или IR1). В отдельных случаях можно обозначить ток ветви по именам точек, между которыми данная ветвь подключена (например, IAC) – только если такое обозначение не вызывает путаницы и является однозначным.

Напряжение участка цепи обычно обозначают по именам точек, между которыми данный участок подключён (например, UAC). Кроме того, напряжение всей ветви может быть обозначено по номеру ветви (например, U5), а напряжение отдельного элемента цепи может быть обозначено по имени этого элемента (например, UR1).

Положительное направление. И ток, и напряжение в каждый мо-

мент времени имеют определённое направление (обозначаемое стрелкой); если оно неизвестно, то для целей расчёта можно произвольно выбрать ка- кое-то условное «положительное» направление — если в результате расчё-

13

та получится отрицательная величина, это будет означать только то, что направление в действительности противоположное — ни на каких других параметрах и свойствах схемы это не скажется. При выборе положительных направлений тока и напряжения следует учитывать, что ток течёт от точки с бо́льшим потенциалом к точке с меньшим потенциалом.

u

Рис. 1.7. Квадрат-двухполюсник, помечено напряжение и ток на выводах

Мгновенная активная мощность двухполюсника равна произведению его тока и напряжения, взятому со знаком «+», если ток и напряжение совпадают по направлению, и со знаком «–» в обратном случае: p ui .

По традиции, мгновенное значение переменного тока, напряжения, мощности и др. параметров обозначают строчной буквой (i , u , p , …), а постоянное значение – прописной ( I , U , P , …).

Далее будут рассмотрены элементы электрической цепи: реальные элементы и их идеализированные модели.

Электрический проводник (провод). Электрические свойства реаль-

ного провода (на ЭПС): обладает продольным сопротивлением; между близко расположенными проводниками образуется ёмкость; при изгибе провода может образовываться небольшая индуктивность, проявляющаяся при высокочастотном электрическом сигнале. Из-за появления паразитных свойств напряжение вдоль реального провода немного уменьшается с течением тока, электрический сигнал немного задерживается и деформируется. В идеальном проводе (на ЭСЗ) все точки провода эквипотенциальны. При составлении ЭСЗ сопротивления реальных проводов учитывают в виде отдельных резистивных элементов, а сам провод считают идеальным.

Пассивные элементы (элементы, не создающие новой электромагнитной энергии).

[R] Резистор – элемент электрической цепи, превращающий электрическую энергию в другие виды (чаще всего в тепловую). Его основное свойство – сопротивление. Обозначение резистора на ЭСЗ:

14

Реальный источник напряжения всегда имеет ненулевое внутреннее сопротивление Rв 0 (которое очень мало в хороших экземплярах). Эквивалентная схема реального источника напряжения состоит из последовательно включённых идеального источника э. д. с. e и сопротивления Rв

(см. рис. 1.12).

17

Рис. 1.12. Обозначение идеального (а) и реального (б) источника э. д. с.

Напряжение на зажимах реального источника uE отличается от вырабатываемой им э. д. с. e на величину падения напряжения на внутреннем сопротивлении: uE e iRв (это уравнение прямой). Таким образом, ВАХ реального источника напряжения с постоянным номиналом имеет вид наклонной прямой линии (см. рис. 1.11, б), пересекающей оси координат в двух характерных точках, соответствующих режиму холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ). В режиме холостого хода контакты элемента разомкнуты (между ними бесконечно большое или громадное сопротивление); выходной ток в таком режиме равен нулю iхх 0 , а выходное напряжение равно э. д. с. uхх e . В режиме короткого замыкания контакты элемента соединены друг с другом накоротко (между ними нулевое или мизерное сопротивление); выходное напряжение в таком режиме равно нулю uкз 0, а выходной ток определяется внутренним сопротивлени-

ем по закону Ома iкз e Rв .

[J] Источник тока. Идеальный источник тока – элемент, ток которого J не зависит от приложенного напряжения. ВАХ идеального источника тока с постоянным номиналом – это прямая линия, параллельная оси X (см. рис. 1.13, а), а внутреннее сопротивление равно бесконечности Rв .

Рис. 1.13. ВАХ источника тока: идеального (а) и реального (б)

Реальный источник тока всегда имеет конечное внутреннее сопротивление (которое в хороших экземплярах очень велико). Эквивалентная схема реального источника тока состоит из параллельно включённых идеального источника тока j и внутреннего сопротивления Rв (см. рис. 1-14).

18

uJ

Рис. 1-14. Обозначение идеального (а) и реального (б) источника тока

прямой линии (см. рис. 1.13, б), имеющей две характерные точки, соответствующие режимам ХХ и КЗ:

Легко заметить, что ВАХ реальных источников напряжения и тока в рабочем диапазоне совпадают по форме, что подтверждает предположение, сделанное в начале пункта, о взаимозаменяемости их моделей. Из сравнения токов и напряжений в крайних точках: ХХ и КЗ, можно вывести связь между параметрами источников тока и напряжения (по закону Ома):

Измерительные приборы:

[V] Измеритель напряжения. У хорошего измерителя напряжения его внутреннее сопротивление очень велико, а ток через него течь не будет, поэтому на ЭСЗ такой прибор будет представлен разрывом:

[A] Измеритель тока. У хорошего измерителя тока его внутреннее сопротивление близко к нулю, он не должен препятствовать протеканию тока, поэтому на ЭСЗ такой прибор будет представлен соединением:

19

2 Основные топологические понятия теории цепей

Equation Section (Next)

2.1. Элементы теории графов: граф, дерево графа, сечение/контур, главное сечение/ главный контур.

2.2. Топологические матрицы: матрица соединений, матрица главных сечений, матрица главных контуров.

2.1 Элементы теории графов

Применение теории графов облегчает составление уравнений, описывающих всю схему, — позволяет формально составить необходимое количество независимых уравнений, определяющих поведение схемы.

Способ соединения отдельных элементов схемы между собой называется топологией схемы. Граф схемы (определение будет дано ниже) описывает именно топологическую информацию о схеме.

Место, к которому подключены три и более вывода различных элементов, называется узлом (см. рис. 2-1) (место соединения двух и более элементов в системах автоматизированного моделирования называется точкой). В этом курсе рассматриваются только двухполюсные элементы, т. е. имеющие два вывода. Любой точке схемы может быть дано какоенибудь имя.

Рис. 2-1. Узел в схеме (A)

Рис. 2-2. Последовательное соединение элементов (а) и параллельное соединение ветвей (б)

20