2601

вий между начальным и конечным положениями груза. Наличие габаритов грузов вызывает необходимость оптимизации изменяющихся линейных и угловых координат.

Использование методик поиска кратчайшего пути в алгоритмах систем автоматического управления грузоподъемными машинами позволит перемещать груз по оптимальной траектории, обеспечивая оптимизацию по любому критерию, вычисляемому по значениям обобщенных координат груза.

Для того, чтобы исключить столкновениегруза с реальными поверхностями препятствий при поиске траектории движения, была разработана методика построения пространственных эквидистантных (равноудаленных) поверхностей вокруг реальных поверхностей препятствий, заданных надвухмерной дискретной сетке с произвольным шагом [1].

Эквидистантные поверхности в [1] строятся на расстоянии эквидистантного радиуса R от реальных поверхностей-препятствий, равном

R =lg+lзап, (1)

где lg – расстояние от характерной точки начала координат системы груза до наиболее удаленной от начала координат периферийной точки груза в заданном направлении, определяемом угловой ориентацией груза относительно препятствия в момент его прохождения; lзап – запас расстояния, учитывающий возможное раскачивание груза, погрешность реализации алгоритма, погрешность при сглаживании траектории, погрешность реализации алгоритма приводами и т.п.

При этом указывается на целесообразность задания фиксированного значения lg в виде максимального значения вдоль одной из координатных осей XgYgZg системы координат груза.

В настоящей работе предлагается модифицированная методика [1] построения полидистантных (разноудаленных в различных направлениях) поверхностей вокруг препятствий.

Это позволит учесть возможные ограничения, накладываемые на угловые обобщенные координаты груза в процессе его перемещения, что может оказывать значительное влияние на длину найденной траектории, особенно если груз имеет выраженную неравноосную форму (т.е. разницу собственных габаритных размеров). Поиск пути точки начала координат груза в среде с эквидистантными поверхностями не позволяет учесть данные ограничения.

Так, например, если рассматривать перемещение груза в форме цилиндра или параллелепипеда достаточно большой длины (как в примере на рис. 1), для которого возможны в процессе перемещения только повороты вокруг вертикальной оси Zg, и недопустимы другие угловые перемещения, что является одним из самых часто встречающихся в практике расчетных случаев, построение полидистантной поверхности вокруг препятствий по-

305

зволит учесть тот факт, что размер lgz для рассматриваемой на рис. 1 формы груза намного меньше lgx. Кроме того, возможное раскачивание груза вызывает его смещения в основном в горизонтальной плоскости, и лишь в незначительной степени – смещения в вертикальном направлении вверх. Следовательно, удаленность полидистантной поверхности вертикально вверх от поверхности препятствий должна быть меньше, чем в горизонтальном направлении.

Конечная

точка

Рис. 1. Реальная (а) и соответствующая ей полидистантная (б) поверхности с найденной кратчайшей траекторией (пример)

Полидистантные поверхности предлагается строить на расстоянии радиуса Rг от реальных поверхностей-препятствий в горизонтальном направлении, и на расстоянии Rв в вертикальном направлении:

где lg_г – расстояние от характерной точки начала координат системы груза до наиболее удаленной от начала координат периферийной точки груза в

горизонтальном направлении, lg_г= lgx 2 lgy 2 ; lg_в – расстояние от харак-

терной точки начала координат системы груза до наиболее удаленной от начала координат периферийной точки груза в вертикальном направлении, lg_в= lgz; lзап_г – запас расстояния в горизонтальном направлении; lзап_в – запас расстояния в вертикальном направлении.

При этом предлагается использовать вариант перехода от вертикального направления к горизонтальному по эллиптической кривой.

Рабочая область с препятствиями (рис. 2, а) задана в виде двухмерного массива чисел – высот точек реальной поверхности zij, где i = 1… imax; j=1… jmax; imax – число точек рассматриваемой области вдоль оси X0; jmax – число точек вдоль оси Y0.

Построение полидистантных поверхностей на дискретной двухмерной сетке предлагается выполнять по следующему алгоритму:

-при помощициклов, меняющихiи j, осуществитьперебор каждойточки сетки свысотойzij идля каждой изееближайшихточек-соседей, входящихв

306

область радиуса Rг (за исключениемтех, которыевыходятза пределырассматриваемойрабочей области), определитьзначенияr и∆z(рис. 3):

где ∆i=∆j= – Rг l …+ Rг l ; ∆l – шаг квантования пространства.

Z0

X0

Y0

X0

Рис. 2. Кратчайшие траектории, найденные для одной и той же конфигурации препятствий: 1 – в среде с эквидистантной поверхностью; 2 – в среде с полидистантной поверхностью (вид сверху и вид сбоку)

Рис. 3. Схема к определению полидистантных поверхностей:

а– вид сверху; б – вид сбоку

-для текущих значений i и j вычислить значение высоты z':

Зависимость (5) получена из эллиптического уравнения r2/Rг2+(∆z)2/Rв2=1 (см. рис. 3, б).

307

Значения imax и jmax определяются дискретностью сетки координат (∆l) и максимальными значениями координат рассматриваемой области xmax, ymax. Для рассматриваемого примера (см. рис. 2) imax=xmax/∆l=10/0,1=100; jmax=ymax/∆l=10/0,1=100.

Пусть lgy=lgz= 0,25 условных линейных единиц (у.л.е.); lgx= 1,0 у.л.е. (см. рис. 1). Примем lg_г= lgx 2 lgy 2 =1,03 у.л.е.; lg_в= lgz= 0,25 у.л.е.;

lзап_г=0,5 у.л.е., lзап_в=0,25 у.л.е. Радиус в горизонтальном направлении по

(2) будет равен Rг =1,53 у.л.е. Радиус в вертикальном направлении по (3) будет равен Rв =0,5 у.л.е. Построенная в качестве примера для указанных значений полидистантная поверхность, и кратчайшая траектория движения точки для нее приведены на рис. 2, б.

Нарис. 3приведеныдлясравнения эквидистантная поверхностьсэквидистантнымрадиусом1,5миполидистантнаяповерхностьсприведеннымивыше значениямиRг иRв,атакжекратчайшиетраектории, найденныедля однойитой жеконфигурациипрепятствий всредесэквидистантнойповерхностью(кривая №1)ивсредесполидистантнойповерхностью(кривая №2). Траектория №1 имеетбольшуюдлину, чемтраектория №2(14,15и13,2у.л.е.соответственно), чтопозволяетсделатьвывод оцелесообразностииспользования предлагаемой модифицированнойметодики.

Разработанная методика позволяет построить полидистантную поверхность вокруг любой реальной поверхности препятствий, заданной на двухмерной дискретной сетке с произвольным шагом. Предполагается использование методики в алгоритмах поиска кратчайшего пути перемещения груза в системах автоматического управления мобильных грузоподъемных машин.

Библиографический список

1. Корытов, М.С. Методика построения эквидистантных поверхностей в задаче поиска пути перемещения груза автокраном // Вестник Брянского государственного техниче-

ского университета, 2009. – № 2 (22). – С. 65-69.

УДК 685.7:51-7

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ РАБОЧЕГО ОБОРУДОВАНИЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ МАШИН В SIMMECHANICS

С.В. Котькин, аспирант

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Для моделирования механических систем разработан специальный физико-математический аппарат. Хотя физическое моделирование подра-

308

зумевает создание некоторого физического аналога - модели объекта, с развитием компьютерных технологий это представление изменилось. При этом под физическим моделированием понимается совокупность математического моделирования и проектирования объекта, подчиняющегося основным физическим принципам, например, законам классической механики.

Пакет расширения SimMechanics системы Simulink предназначен для технического проектирования и моделирования механических систем, в рамках законов теоретической механики. SimMechanics позволяет создавать модели механических систем в виде блок-схем.

Любой механизм можно представить в виде совокупности звеньев и сопряжений. Например, рабочее оборудование экскаватора, далее будет рассмотрена модель стрелы и гидроцилиндра стрелы (рис. 1).

Рис. 1. Расчетная схема моделируемого механизма

Для реализации расчетной схемы в Simulink используются следующие блоки SimMechanics:

­Ground (неподвижное звено, соответствующее неподвижной системе координат X0Y0Z0);

­Revolute (шарнирное соединение, задающее одну степень свободы,

вчастности поворот вокруг оси z);

­Body (представляется как абсолютное твердое тело);

­Prismatic (шарнирное соединение, задающее поступательную степень свободы).

309

SimMechanics - модель такого механизма выглядит, так как показано на рис. 2. Исходным элементом модели является звено Ground. К нему присоединен элемент - Revolute (т.е. сопряжение, позволяющее следующему звену лишь поворачиваться вокруг указанной оси - z).

Далее следует непосредственно звено стрелы Body. В качестве параметров этого звена необходимо указать массу тела, тензор инерции, а также координаты верхнего, нижнего конца звена и его центра масс и точки соединения с штоком гидроцилиндра (рис. 3). При этом координаты можно задавать как в глобальной системе координат, так и в локальной системе координат звена.

Рис. 2. SimMechanics схема моделируемого механизма

В общем виде тензор инерции представляет собой симметричную матрицу размером 3х3, состоящую из осевых и центробежных моментов инерции:

Так как в локальных системах координат звеньев оси OiXi, OiYi, OiZi, совпадают с главными осями инерции i-го звена, то центробежные моменты инерции равны нулю. Звенья механизма можно представить в виде прямоугольных параллелепипедов со сторонами ai, bi, ci вдоль осей OiXi, OiYi, OiZi. В соответствии с расчетной схемой начала локальных систем координат звеньев Oi не совпадают с их центрами масс, то применяя теорему Гюйгенса-Штейнера, тензор инерции примет вид:

310

где xi – расстояние от оси вращения до центра масс тела.

К звену стрелы посредством шарнирного соединения Revolute2 присоединяется звено штока гидроцилиндра Body2. Звенья штока и основания гидроцилиндра соединяются между собой при помощи блока Prismatic, обеспечивающую поступательную степень свободы. Звено гидроцилиндра соединяется с Ground1 (неподвижное основание) через блок Revolute1. Для задании модели параметров ускорения свободного падения используется блок Machine Environment.

Рис. 3. Диалоговое окно блока Body

Для того чтобы стрела спроектированного механизма начала двигаться необходимо, добавить вынуждающую силу. Численное значение силы задается при помощи блока Force1, соединенного с блоком Prismatic через

Joint Actuator.

В качестве примера результаты моделирования представлены на ниже приведенных рисунках.

Рис. 4. График изменения скорости (скорость выдвижения штока гидроцилиндра)

на блоке Prismatic

311

Всовременной теории автоматического управления уделяется огромное внимание системам с запаздыванием. Это объясняется возникновением задач управления систем с запаздыванием в различных областях науки и техники.

1. Моделирование математическиой модели системы

Вкачестве примера систем с распределенными параметрами рассматриваются длинные линии электро передачи на расстояния (рис. 1).

Линии без потерь описываются следующими уравнениями в частных производных:

u L i 0, i C u 0,x t x t

Рис. 1. Эквивалентная схема длинной линии

Их решение:

запаздывания, l –длина линии, LC параметры линии. В итоге мы получаем звено чистого запаздывания, то есть линии без потерь являются звеном чистого запаздывания, но они не могут полностью охарактеризовать длинные линии электропередачи, потому что мы только учитываем зависимость напряжения в начале и в конце линии, тут не учитываются сопротивления[1].

2. Определение передаточной функции для однородной линии(R≠0;G≠0)

Длинные линии электропередачи описываются следующими уравнениями в частных производных:

313

Решением этих уравнений будут уравнения в гиперболическом виде.В итоге передаточная функция будет в следующем виде(отношение напряжений в начале и конце линий)[2]:

l 0.02 0.0079p;

e l e0.02ep0.01 1.02e0.01p; e l e 0.02e 0.01p 0.98e 0.01p;

ch l 0.5(e l e l ) 0.5e0.01p 0.49e 0.01p .

Передаточная функция будет сложным звеном запаздывания:

Выявленные передаточные функции в виде гиперболических функций для линий без потерь и однородных линий описывают зависимость напряжения в начале и конце линии,т.е здесь не учитываются другие параметры такие как сопротивления, их можно учесть использовав законы Кирхгофа и определить математическую модель и передаточную функцию.

3. Определение передаточной функции, математической модели при помощи законов Кирхгофа.

Длина электромагнитной волны в воздухе на частоте 50Гц примерно составляет 6000км.Волновые колебания в установившемся режиме при частоте 50Гц учитываем изменяя активные,емкостные,индуктивные сопротивления, и эти изменения будут явно проявлятся если длина линии превысит 400км.

В практике моделирование длинных линий весьма затруднительно поэтому их разбивают на короткие линии соединенный цепочкой(Рисунок 2), рассматриваем только одну часть, а сопротивления в остальных частях предполагаем что равны между собой.

Длина отрезков настолько коротка что можно не учитывать волновые процессы.Их длина,например примерно равна 350 км[3].

314