2533

Пример 4. Дано: материал вала сталь 45, σв= 900 Н/мм2; диаметр шейки вала под зубчатое колесо dш2 = 36 мм; метод обработки – обточка Ra= 0,63…2,5; посадка напряженная (Н).

Коэффициенты: ε = 0,88; β = 0,89; kσ = 2,2; [n] =1,7.

Допускаемое напряжение на усталость

Если диаметр вала d (рис. 5.4) или шпоночный паз не соответствует табличным, то осевой момент сопротивления сечения с учетом шпоночного паза можно определить по формуле

где d – диаметр вала, мм;

b – ширина шпоночного паза, мм;

t1 - глубина шпоночного паза вала, мм.

Полярный момент сопротивления сечения с учетом шпоночного паза

Расчет на усталостную прочность проводят в форме проверки коэффициентов запаса прочности в предполагаемых опасных сечениях (I–I

и II–II, рис. 5.3).

b

t1

d

x x

Вал вращается и под действием силы F (рис. 5.1, т.2) прогибается. При вращении вала нормальные напряжения от изгиба изменяются по симметричному циклу, при котором σmax = - σmin = σa, а коэффициент асимметрии цикла r = σmin /σmax = -1.

Крутящий момент в установившемся движении Mк = const, а в период пуска и остановки момент возрастает от нуля до номинального значения и наоборот. Такой цикл называется пульсирующим отнулевым. Так как σmin = 0, коэффициент r = σmin / σmax = 0.

Напряжения симметричного цикла обозначаются σ-1, а напряжения отнулевого цикла (при кручении) τ0.

В § 5.5, т.2 выведены формулы (5.24) и (5.25), т.2 для определения коэффициентов запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям (для упрощения символики штрихи при напряжениях

Так как вал нагружен двумя видами деформации – изгибом и кручением, коэффициент запаса прочности определяют по формуле (5.27), т.2, а условие прочности имеет вид (5.28), т.2

s s s / s2 s2 s .

Напряжения σ-1 и σa выбираются по табл. 5.5 или ориентировочно по формулам (5.8), т.2. Амплитуда напряжений σa и τa определяется по формуле (5.5) т.2

σa = (σmax - σmin) / 2,

где максимальное значение нормальных напряжений при изгибе вала, а также минимальных

Коэффициенты концентрации напряжений kσ и kτ находят по формулам

(5.13) и (5.14), т.2.

Допускаемое значение коэффициентов запаса прочности приведено в конце гл. 5, т.2.

Разберем расчеты на примерах.

Пример 5. Рассчитать тихоходный вал (рис. 5.5) конической зубчатой передачи. Исходные данные: мощность двигателя Nэ = 2,2 кВт; числа зубьев колес z1=22, z2 = 73; передаточное отношение u12 = 3,32; частоты вращения валов n1 = 1425 об/мин, n2 = 429,5 об/мин; моменты на валах M1 = 14,7 Н·м, M2 = 46,85 Н·м; средний модуль mm = 2,32 мм, внешний модуль m = 2,5 мм; конусные углы δ1 = 16,77°, δ2 = 73,23°; начальные диаметры d1=55мм, d2 = 185,5 мм; средние диаметры dm1= 51,04 мм, dm2 = 169,36мм;

ширина зубчатого венца b = 15 мм; конусное расстояние R = 95,3 мм; среднее конусное расстояние Rm = 90,8 мм; диаметры шеек вала тихоходного: dВ2 = 22 мм, dУ2 = 30 мм, dП2 = 35 мм, dШ2 = 36 мм, dБ2 = 45 мм; длины шеек вала: lВ2 = 36 мм, lУ2 = 30 мм, lП2 = 17+8 = 25 мм, lC2 = 56

мм, lБ2 = 60 мм; ступица колеса dC2 = 67 мм, lC2 = 56 мм; подшипник 46207: d = 35 мм, D = 72 мм, B = 17 мм, r = 2 мм, α = 26°.

Решение

1. Определим расстояния l1, l2, l3 между опорными точками вала. Индексы длин шеек вала соответствуют индексам их диаметров (рис. 5.5,

а)

– расстояние l3 согласно чертежу

l3 = 0,5lВ2 + lУ2 + а = 0,5· 36 + 30 + 21,5 = 69,5 ≈ 70 мм,

где расстояние а находим по формуле

– расстояние l2 согласно чертежу

l2 = lC2 + lП2 - a-b = 56 + 25 - 21,5 - 12 = 47,5 ≈ 48 мм.

– расстояние l1 согласно чертежу

l1 = B + lБ2 – a – b = 17+ 60 + 12 - 21,5 = 67,5 ≈ 48 мм.

2.Строим эпюру крутящих моментов, если Mк = M2= 46,85 Н·м (рис. 5.5,б) или Mк ≈ 47 кН·мм.

3.Разрабатываем расчетную схему (рис. 5.5, в). Вал изображаем как балку AD на двух опорах A и С. К балке приложены внешние силы: Ft, Fr2,

иFa2 в полюсе зацепления П, который жестко связан с балкой и составляет с ней единое целое, и тяговая сила Fц цепи (цепной передачи) в точке D. В

опорах А и С будут возникать реакции. Радиальные реакции подшипников прикладывают к оси вала. Для радиальных подшипников точки приложения располагаются на середине ширины подшипника. Для радиально-упорных подшипников расстояние а между точкой приложения

Си торцом подшипника определяется по следующим формулам:

–шариковые радиально-упорные подшипники

– роликовые конические однорядные

где d, D, B, T, e и α – параметры подшипников, указанные в справочных таблицах. Осевая реакция А прикладывается к подшипнику, на который давит сила Fа2 в точке С. Реакция А = Fа2.

Складываем геометрически силы Ft и Fr2:

F2 Ft2 Fr22 534,52 562 537Н,

где Ft 2M1 /d1 2 14,7 103/55 534,5Н;

Fr2 Ft tg sin 1 534,5 tg20 sin16,77 56Н;

Fа2 Ft tg cos 1 534,5 tg20 cos16,77 186Н.

Полученную силу F2 прикладываем в полюсе П (рис. 5.5, в). В полюсе П прикладываем и осевую точку Fа2.

Для определения силы Fц нужно рассчитать цепную передачу [1, с. 188].

1) число зубьев ведущей звездочки

z3 = 29-2u = 29-2·4 = 21;

2) коэффициент влияния частоты вращения

3) шаг цепи

tц 30,53k N2 /n2 30,5312,26 2,2/429,5 12 12,7 мм;

выбираем согласно стандарту шаг цепи tц=12,7 мм. 4) окружная сила, передаваемая цепью,

F 19,1N2 /d3n2 19,1 2200/85,2 10 3 429,5 1148 1,15 кН;

где d3 = tц/sin(180/z3) = 12,7/sin8,57° = 85,2 мм

5) сила, действующая на вал,

Fц = 2F0 = kF = 1,1·1,15 = 1,25 кН,

где k = 1,1, т.к. угол наклона линии центров звездочек к горизонту θ=90º. Для определения радиальной реакции RA составляем уравнение

равновесия моментов от внешних сил, приложенных к балке. Равновесие рассматриваем относительно точки С, чтобы избавиться от реакции RC.

MC F2 l2 Fa2 rm2 Fц l3 RA (l1 l2) 0,

откуда находим искомую реакцию

Y RA F2 RC Fц 0,

откуда

RC RA F2 Fц 840 537 1250 1553Н 1,55кН.

Пронумеруем участки вала: I-й участок – AB, II участок – BC, III-й участок – СD.

Спроектируем силы на ось Х

X = Fа2 – А = 0,

откуда найдем осевую реакцию А опоры С

А= Fа2 = 186 Н.

4.Строим эпюру изгибающих моментов (рис. 5.5, г). 1) Изгибающий момент на участке I

Mи1 = RA·x1,

т.к. 0≤ x1 ≤l1, то в точке А Mи1=0, а в точке В Mи1 = RA·l1= 840·68 = =57120 Н·мм ≈ 57 кН·мм.

2) В точке В приложен сосредоточенный момент

m= Fa2·rm2 = 186·84,7 = 15750 Н·мм ≈ 16 кН·мм.

Вэтой точке изгибающий момент от первого участка Ми1 скачком возрастает на величину m, т.е.

Mи2 = Ми1 + m = 57120 + 15750 = 72870 Н·м ≈ 73 кН·мм.

Этот момент Mи2 хотя и принадлежит точке В, но относится ко II – му участку. Знак + перед m потому, что он загибает II – й участок вверх.

3) Изгибающий момент на участке III

Mи3 = Fц x3,

т.к. 0≤ х3 ≤ l3, то в точке D Mи3 = 0, а в точке В Mи3 = Fц·l3 = 1250 · 70 = 87500 Н·м = 87,5 кН·мм.

Откладываем на эпюре контрольные точки в масштабе μ=3,17 кН/мм и строим эпюру.

5.Намечаем опасные сечения. В соответствии с эпюрами изгибающих

икрутящих моментов и размерами вала намечаем опасные сечения I–I и II–II. В этих сечениях моменты достигают максимальных значений и имеются концентраторы напряжений. В этих сечениях необходимо проверить вал на сопротивление усталости.

Проверку будем делать двумя методами: сопоставлением эквивалентного напряжения допускаемому, т.е.

и сопоставлением расчетного коэффициента запаса прочности допускаемому, т.е.

6.Определяем эквивалентные моменты в сечениях I–I и II–II:

– в сечении I–I согласно формуле (5.13)

Mэ1 Ми22 Мк2 732 472 87 кН мм,

– в сечении II–II согласно той же формуле

Mэ2 Ми23 Мк2 87,52 472 99 кН мм.

7.Находим осевые моменты сопротивления

–в сечении I–I по табл. 5.6 для диаметра dш2 = 36 мм

Wx1 = 4010 мм3,

– в сечении II–II по известной формуле

Wx2 = π · dn3 / 32 = π · 353 / 32 = 4209 мм3.

8. Комплексный коэффициент концентрации напряжений определяют по формуле (5.15):

–в сечении I–I

ε= 0,862 – масштабный коэффициент для диаметра dш2 = 36 мм согласно табл. 5.2;

β = 1 – коэффициент, учитывающий шероховатость поверхности, см. табл. 5.3 – шлифование;

kσ = 2,8 – коэффициент концентрации напряжений, который выбирают по табл. 5.4, больший из двух вариантов: шпоночного паза и прессовой посадки зубчатого колеса. Материал вала – сталь 45, улучшение, твердость НВ = 250. Для этого материала концентрация от шпоночного паза оценивается коэффициентом kσ = 2,0, а концентрация от прессовой посадки

–kσ = 2,8;

коэффициент запаса прочности [n] = 2,1; комплексный коэффициент

k = ε · β / kσ [n] = 0,862 · 1 / 2,8 · 2,1= 0,146.

–в сечении II–II

ε= 0,865; β = 1; kσ = 2,1 – для напряженной посадки Н; [n] = 2,1;

комплексный коэффициент концентрации напряжений

k = ε · β / kσ [n] = 0,865 · 1 / 2,1 · 2,1= 0,196.

9. Допускаемое напряжение от изгиба с кручением при симметричном цикле определим по формуле (5.14)

[σ-1] = k · σ-1,

где σ-1 = 380 Н/мм2 – предельное напряжение при симметричном цикле для стали 45 (табл. 5.5)

– в сечении I–I

[σ-1]1 = 0,146 · 380 = 55,5 Н/мм2;

– в сечении II–II

[σ-1]2 = 0,196 · 380 = 74,5 Н/мм2.

10. Проверяем прочность вала в сечении I–I по формуле (5.12)

σэ1 = Мэ1 / Wх1 = 87000 / 4010 = 21,7 Н/мм2 < [σ-1]1 = 55,5 Н/мм2.

Прочность вала в сечении II–II

σэ2 = Мэ2 / Wх2 = 99000 / 4209 = 23,5 Н/мм2 < [σ-1]2 = 74,5 Н/мм2.

В обоих сечениях I–I и II–II прочность удовлетворительная.

11.Определяем полярные моменты сопротивления:

–в сечении I–I по табл. 5.6 для диаметра dш2 = 36 мм

Wр1 = 8590 мм3,

– в сечении II–II по известной формуле

Wр2 = π · dn3 / 16 = π · 353 / 16 = 8418 мм3.

12. Амплитуда нормальных напряжений при симметричном цикле в сечении I–I

σа1 = Ми2 / Wх1 = 73000 / 4010 = 18,2 Н/мм2;

– в сечении II–II

σа2 = Ми3 / Wх2 = 87500 / 4209 = 20,8 Н/мм2.

13. Амплитуда касательных напряжений при отнулевом цикле в сечении I–I

τа1 = τmax / 2 = Мк / 2 Wр1 = 47000/2·8590 = 2,7 Н/мм2;