2533

kн – поправочный коэффициент; kнα – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения нагрузки между зубьями. Для прямозубых колес kнα=1. Для косозубых и шевронных колес kнα = 1,1; kнβ – коэффициент неравномерности распределения нагрузки по ширине зубчатого венца. Если твердость НВ ≤ 350, а v ≤ 15 м/с, то kнβ = 1; kнv – коэффициент динамической нагрузки, учитывающий возникновение дополнительных нагрузок от v, точности и упругости передачи. Для прямозубых колес при НВ ≤ 350 kнv = 1,2; при НВ > 350 kнv = 1,1; для косозубых колес при НВ ≤ 350 kнv = 1,1; при НВ > 350 kнv = 1,05.

– для косозубых и шевронных колес

где mt – торцовый модуль, мм; 1,3 = kα – коэффициент, учитывающий особенности геометрии зубчатого зацепления, для прямозубых некорригированных колес kα = 1, для прямозубых корригированных колес kα= tgα / tgα0, для косозубых и шевронных колес

kα = εα / cos βb=1,25…1,35≈1,3.

Допускаемый коэффициент контактных напряжений [Cн] для конструкционных сталей определяется по формулам (2.22), (2.23), (2.24) и (2.25), т.2.

При расчете по формулам (5.5) и (5.7) должно соблюдаться условие

что означает: допускаемая недогрузка передачи – 20 %; допускаемая перегрузка – 10 %.

Если условие (5.8) не выполняется, то изменяют ширину колеса в пределах ψ=10…20. Если это не помогает, то изменяют межосевое расстояние или выбирают другие материалы и термообработку колес.

Разберем расчет на примере1, изложенном в п. а).

1.Торцовый модуль найдем по формуле (2.5), т.2 mt = mn /cos β = 2/cos 8,07°=2,02 мм.

2.Определяем поправочный коэффициент kн, для чего

–находим коэффициент, учитывающий неравномерность распределения нагрузки между зубьями, который для косозубых колес kнα

=1,1;

– выбираем коэффициент неравномерности распределения нагрузки по ширине зубчатого венца, который при НВ ≤ 350 и v ≤15 м/с равен

kнβ = 1,1;

– назначаем коэффициент динамической нагрузки, который для косозубых колес при НВ ≤ 350 kнv = 1,1.

С учетом выбранных коэффициентов

kн = kнα ·kнβ ·kнv = 1,1 · 1,1 · 1,1 = 1,33.

3.Передаточное отношение определится из формулы u12 = z2/z 1= = 81/18 = 4,5.

4.Для косозубой шестерни допускаемый коэффициент контактных напряжений найдем по формулам (2.22) и (2.23), т.2 для стальных колес при НВ ≤ 350, когда

–базовое число циклов

Noн= 30 · НВ2,4 = 30 · 2502,4 = 17·106;

– базовый коэффициент контактных напряжений по формуле (2.23),

т.2

Сно = (НВ-100)/100 = (250-100)/100 = 1,5 Н/мм2;

– действительное число циклов по формуле (2.25), т.2

N1 = 60·n·h = 60·1425·40000 = 3,4·109 > 17·106, поэтому 6N0 / N1 1;

– допускаемый коэффициент контактных напряжений по формуле

(2.22), т.2

Сн Сно 6N0 /N1 1,5 Н/мм2.

5. Проверочный расчет проведем по формуле (5.7)

Проверяем условие (5.8):

Сн / [Сн] = 1,34 / 1,5 = 0,89, таким образом Сн > 0,8[Сн], что удовлетворяет условию (5.8).

5.1.2. Расчет конических прямозубых зубчатых колес

Проверочный расчет зубьев шестерни на изгиб проводится по формуле

где M1 – крутящий момент на шестерне, Н·мм; yэ1 – коэффициент формы зуба эквивалентной шестерни, определяемый по табл. 2.1, т.2 для эквивалентного числа зубьев

где z1 – число зубьев шестерни; ψ = 6…10 – коэффициент ширины зуба (ψ=b/mm); mm – средний модуль, мм; [σu] – допускаемое напряжение изгиба, Н/мм2; kи – поправочный коэффициент, определяемый по формуле

(5.3).

Для расчета напряжения изгиба σи1 в зубе шестерни используют формулу (5.1), но в ней заменен модуль mn на модуль mm (модуль в среднем сечении), а сила Ft определена по формуле Ft = 2M1/dm1 = 2M1/z1mm.

Допускаемые напряжения определяются по формулам (2.28) и (2.29),

т.2.

Пример 2. Дано: числа зубьев шестерни и колеса z1 = 20, z2 = 60; внешний окружной модуль конической передачи m =3 мм; момент крутящий на 1-м валу M1 = 36,8 Н·м; момент на 2-м валу M2 = 107 Н·м; коэффициент ширины зуба ψ = 6; модуль в среднем сечении mm = 2,7 мм; u12 = 3 – передаточное отношение; [Сн] = 1,5 Н/мм2 – коэффициент контактных напряжений; модуль определен по формуле (3.24); n1 = 717,5 об/мин. Материал сталь 45, НВ = 250.

Решение

1. Определяем коэффициент формы зуба шестерни для эквивалентного числа зубьев при δ1=18,43°

z1э = z1/cos δ1 = 20/cos 18,43° = 21,1.

По табл. 2.1, т.2 для z1э = 21,1 находим yэ1 = 0,3725.

2. Находим поправочный коэффициент, для чего определяем

Для 8 степени точности и v = 2,03 < 10 м/с, kuα = 1,35. Коэффициент kuβ

= 1, т.к. β = 0. Коэффициент kuv = 1,4, т.к. НВ < 350.

Поправочный коэффициент

kи= kиα· kиβ· kиv = 1,35 · 1 ·1,4=1,89.

3. Для нормализованных конструкционных углеродистых сталей при НВ≤350 допускаемое напряжение на изгиб с учетом цикличности нагрузки определяется по формуле (2.28), т.2. Действительное число циклов определяется по формуле (2.30), т.2:

N1 = 60·n·h = 60·717.5·40000 = 1.72·109 > 4·106,

поэтому 6N0 / N1 1. Подставляя полученные значения в формулу (2.28),

т.2, найдем

[σи ] = (1,8·НВ/1,75) 6N0 / N1 (1,8·250/1,75)·1 = 257 Н/мм2.

4. Делаем проверку прочности зубьев шестерни на изгиб по формуле

(5.9)

Запас прочности составляет [σи] /σи1=257/158=1,63 раза.

Проверочный расчет зубьев шестерни на контактную прочность

производится по формуле (3.39), т.2:

где M1 – крутящий момент на шестерне, Н·мм; kн – поправочный коэффициент, определяемый по формуле (5.6); u12 – передаточное отношение; ψ = 6…10 – коэффициент ширины зуба; z1 – число зубьев шестерни; mm − модуль в среднем сечении зуба; [Сн] – допускаемый коэффициент контактных напряжений, определяемый по формулам (2.22)

и (2.23), т.2.

Пример 3. Используем данные, приведенные в § 4.6, см. рис. 2.2. Коническая передача расположена между II – м и III – м валами.

Исходные данные: числа зубьев шестерни и колеса z1 = 20, z2 = 60; внешний модуль m = 3 мм; момент крутящий на II – м валу M1 = 36,8 Н·м = = 36,8·103 Н·мм; коэффициент ширины зуба ψ = 6; крутящий момент на III – м валу M2 = 107 Н·м; модуль в среднем сечении mm = 2,7 мм; cталь 45 c НВ = 250; n2 = 717,5 об/мин – частота вращения II – ого вала.

Решение

1. Определяем поправочный коэффициент по формуле (5.6)

kн= kнα· kнβ· kнv = 1 · 1 ·1,2 = 1,2,

где kнα = 1 для прямозубых колес, kнβ = 1, т.к. НВ < 350, а v = =π·n2·mm·z1/60 = π·717,5·2,7·20/60 = 2028 мм/с = 2,03 м/с < 15 м/с; kнv=1,2,

потому что НВ < 350.

2.Передаточное отношение равно u12 = z2/z1 = 60/20 = 3.

3.Находим по формулам (2.22) и (2.23), т.2 допускаемый коэффициент контактных напряжений:

– базовый коэффициент контактных напряжений

Сно = (НВ-100)/100 = (250-100)/100 = 1,5 Н/мм2;

– действительное число циклов перемены напряжений

N = 60·n2·h = 60·717,5·40000 = 1,7·109 циклов; т.к. N = 1,7·109 > N0,то 6N0 / N1 1;

– допускаемый коэффициент контактных напряжений

Сн Сно 6N0/N1 1,5 1 1,5Н/мм2.

4. Проверочный расчет произведен по формуле (3.39), т.2

5. При проверке контактной прочности должно соблюдаться условие (5.8). Напряжение 2,3 Н/мм2 превышает напряжение 1,5 Н/мм2 на (2,3-1,5)/1,5 = 0,38, или 38 %, что превышает допускаемую перегрузку 10%. Решая формулу (3.39), т.2 относительно модуля mm, получим

Расчеты показывают, что для нормальной работы зубчатого зацепления модуль нужно увеличить.

6. Определяем внешний модуль по формуле (3.8), т.2:

Таблица 5.1

Стандартный ряд модулей по ГОСТ 9563-60

Примечание. 1-й ряд следует предпочитать 2-му. Согласно табл. 5.1 выбираем модуль m=3,5.

7. Уточняем средний модуль по формуле (3.8), т.2.

8. Проверяем прочность зубьев шестерни на изгиб по формуле (5.9)

что полностью удовлетворяет изгибную прочность. Запас прочности составляет [σи] /σи = 257/95=2,7 раза.

5.2. Проверочный расчет вала

Вал – это вращающаяся деталь, несущая на себе шкивы, звездочки, зубчатые колеса, муфты и другие детали вращения, которые через вал передают крутящий момент. Вал в свою очередь устанавливается в корпусе с помощью подшипников. Подшипники являются опорами вала и одновременно направляющими вращения. Они отбирают у вала свободу осевого и радиального перемещения и создают свободу вращательному движению. Вал в совокупности с деталями вращения называют узлом вала. Валы имеют ступенчатую форму, т.к. каждая деталь надевается на свою шейку. Шейки вала имеют разные диаметры. Детали вращения и подшипники надеваются последовательно.

Устройство узла вала показано на рис. 5.3, а. Участки вала 7 и 8, которыми вал опирается на подшипники 3, называются цапфами. Концевая цапфа 7 называется шипом, а 8 – шейкой. Шипом и шейкой вал через подшипники опирается на корпус, как балка на двух опорах. Участки вала, на которые посажены колесо 1, звездочка 2, дистанционное кольцо 15, уплотнение и другие детали, называются посадочными поверхностями. На практике их также называют шейками вала. Уступы на валу при переходе с цилиндрической поверхности одного диаметра на поверхность другого диаметра называют заплечиками. Они служат для восприятия осевой силы Fa2 (заплечики 11 и 12), а также для фиксации осевого положения деталей 1 и 2 на валу (заплечики 11 и 14) и вала в подшипниках (заплечики 12 и 13).

Для передачи крутящего момента от колеса 1 к звездочке 2 детали вращения соединяют с валом с помощью шпонок 5 и 6.

Валы должны изготавливаться из прочных материалов, которые хорошо обрабатываются и имеют высокую упругость. Обычно применяют среднеуглеродистые стали марок 45 и 40Х. Основные критерии

работоспособности и расчета валов – это статическая и усталостная прочность и жесткость. Основными расчетными нагрузками являются передаваемый крутящий момент Mк и момент поперечного изгиба Mи. Влияние сжимающих (А и Fa2) или растягивающих сил обычно мало и не учитывается. При работе вала его материал подвергается циклически изменяющимся напряжениям, поэтому основной вид разрушения валов от усталости (см. гл. 8).

Проверочный расчет вала начинают с разработки расчетной схемы,

рис. 5.3, б. Вал изображают, как балку на двух опорах А и С. К балке прикладывают внешние силы Ft, Fr2 и Fa2, приложенные в полюсе зацепления П, и силу натяжения цепной передачи Fц=2Fо. Кроме поперечных сил к балке (валу) приложены крутящие моменты Mк.

Ниже расчетной схемы построена эпюра крутящих моментов Mк. Нагрузка на вал (внешние силы) имеет пространственный характер, поэтому изгибающие моменты определяют в вертикальной и горизонтальной плоскостях. В предполагаемых опасных сечениях векторно складывают изгибающие моменты, действующие в обеих плоскостях. Для найденных полных изгибающих и крутящих моментов находят нормальные и касательные напряжения, а затем для этих сечений определяют коэффициенты запаса, см. гл. 5, т.2. Опасным является не обязательно то сечение, в котором изгибающий момент имеет максимальное значение. Часто наименьшее значение коэффициента запаса прочности соответствует другому сечению. Нужно помнить, что при ступенчатой форме вала и наличии концентраторов (ступеньки, шпоночные пазы, напрессованные детали, отверстия, канавки, резьба и т.д.) опасное сечение однозначно назвать нельзя. Поэтому в сечениях, которые вызывают сомнения, нужно определить коэффициенты запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям и полный коэффициент запаса.

Поскольку в каждом предполагаемом опасном сечении изгибающие моменты вертикальный и горизонтальный складываются, то это сложение можно выполнить заранее и построить эпюру суммарных моментов.

Анализ показывает, что наибольшие изгибающие моменты получаются в том случае, когда поперечные силы действуют в одной плоскости, а эпюра изгибающих моментов расположена по одну сторону от оси абсцисс.

Чтобы не складывать моменты, можно заранее сложить геометрически поперечные внешние силы. Силы, действующие в зубчатом зацеплении окружная Ft и радиальная Fr2, направлены перпендикулярно к оси вала, следовательно, их можно рассматривать как поперечные и сложить геометрически. По теореме сложения получим

F2 = Ft2 Fr2 (5.11)

где F2 – суммарная поперечная сила, приложенная к колесу в полюсе П, которая после приведения в точку В на ось вала [1, рис. 1.22] будет приложена в точке В, не меняя своего направления и модуля, и будет создавать момент вокруг оси вала, т.е. крутящий момент Мк = Ft·rm.

Для того чтобы получить эпюру изгибающих моментов, расположенную по одну сторону оси абсцисс, нужно силу Fц расположить в одной

плоскости с силой F2 и направить вверх по чертежу. Подшипники, которые воспринимают одновременно радиальные и осевые силы, рассматривают и изображают на расчетной схеме как шарнирно-неподвижные опоры (см.

опору А на рис. 5.3, б).

Подшипники, воспринимающие только радиальную силу, рассматривают как шарнирно-подвижные (опора С).

Эпюра изгибающих моментов изображена под расчетной схемой (рис. 5.3, в).

Опасными сечениями вала намечаем I-I и II-II (см. рис. 5.3, а). Для опасных сечений определяют изгибающие и крутящие моменты, а также эквивалентные моменты.

Проверку прочности в опасных сечениях с учетом переменных

– эквивалентный момент, Н·мм; Wx – осевой момент сопротивления, мм3;

[σ-1] – допускаемое напряжение, учитывающее цикличность нагрузки, Н/мм2.

Для определения осевых Wx и полярныхWр моментов сопротивления валов с сечением, ослабленным шпоночным пазом, приведена табл. 5.6.

Допускаемое напряжение изгиба при симметричном цикле [σ-1] можно определить по формуле

где k – комплексный коэффициент, который равен [1, с. 199]

В местах посадки деталей с натягом (зубчатые колеса, подшипники,

звездочки, шкивы и др.) влияние абсолютных размеров (диаметров) на снижение предела выносливости оказывается более резким и для оценки концентрации пользуются табл. 5.4.

В случае наличия на валу двух концентраторов, например шпоночного паза или ступеньки и посадки с натягом, коэффициенты находят для каждого концентратора, а за расчетный коэффициент kσ выбирают тот, который имеет большее значение.

Для валов выбирают прочные материалы, которые хорошо обрабатываются и обладают высоким модулем упругости Е. К таким материалам относятся конструкционные углеродистые и легированные стали, приведенные в табл. 5.5.