Контрольные вопросы и задания

1.Какая система называется нелинейной?

2.Что называют естественными и искусственными нелинейно-

стями?

3.Приведите примеры нелинейностей в реальных технических устройствах.

4.Какая нелинейность называется существенной?

5.Каковы особенности существенно нелинейных систем?

6.Что представляют собой релейный элемент и релейная автоматическая система?

7.Приведите преимущества релейной аппаратуры.

8.Приведите простейшую структурную схему нелинейной автоматической системы.

9.Приведите классификацию нелинейных характеристик.

10.Какие типы симметрии могут иметь нелинейные характери-

стики?

11.Какую нелинейную характеристикуА называют однозначной, а какую многозначной?

12.По указанию преподавателяб нарисуйте статическую характеристику и приведите уравнение типового нелинейного звена.

13.Поясните методикуипостроения результирующей статической характеристики нел нейной системы.

14.Что называютСавтоколебаниями в нелинейной системе?

15.В каком случае возможно возникновение автоколебаний в нелинейной системе?

16.Приведите методику определения амплитуды А', периода Т' и частоты ω' автоколебаний.

17.Приведите примеры автоколебательных режимов в реальных нелинейных системах.

18.Поясните принцип работы релейной автоматической системы стабилизации напряжения на рис. 1.11.ДИ

23

2. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

2.1. Основы анализа нелинейных систем

Для решения задач анализа нелинейной системы прежде всего необходимо построить её математическую модель, которая характеризует связь выходных сигналов системы с сигналами, отражающими приложенные к системе воздействия. В результате может быть получено одно или несколько нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка, иногда с рядом логических соотношений, что делает анализ математической модели чрезвычайно трудоёмким. Поэтому для решения задач анализа нелинейной системы нужны такие методы расчета, которые позволяют в достаточно простом виде определять математические связи параметров нелинейной системы с динамическими показателями процесса управленияИ.

Все инженерные методы исследования нелинейных систем разделяются на две основные группы: точныеДи приближенные. К точным методам относится метод А.М. Ляпунова, метод фазовой плоскости, метод припасовывания и точечных преобразований, частотный метод В.М. Попова. ПриближенныеАметоды основаны на линеаризации нелинейных уравнений системы с применением гармонической или статистической линеаризацииб: метод гармонического баланса Л.С. Гольдфарба, метод гармонической линеаризации Н.М. Крылова и Н.Н. Боголюбова, методиД.А. Башкирова и т.д.

Основными параметрами, характеризующими динамику работы существенно нелинейныхС АСУ, являются:

1) наличие ли отсутств е автоколебаний. Если автоколебания имеются, то необходимо определить их амплитуду и частоту;

2) время выхода регулируемого параметра в режим стабилизации (быстродействие);

3) наличие или отсутствие скользящего режима;

4) определение особых точек и особых траекторий движения. Важной особенностью динамики существенно нелинейных сис-

тем является зависимость условий устойчивости от величины внешнего воздействия. В связи с этим для нелинейных систем применяют понятия «устойчивость в малом», «устойчивость в большом», «устойчивость в целом».

Система устойчива «в малом», если она устойчива только при малых начальных отклонениях. Система устойчива «в большом», если она устойчива при больших начальных отклонениях. Система устойчива «в целом», если она устойчива при любых отклонениях.

24

2.2. Фазовое пространство

Метод исследования динамики нелинейных АСУ с помощью фазового пространства относится к наиболее ранним точным аналитическим методам теории нелинейных систем.

Фазовое пространство – n-мерное пространство, образованное системой координат, состоящей из регулируемой величины x1 и её производных (рис. 2.1, а).

Состояние системы в таком фазовом пространстве представляется изображающей точкой М. Процесс изменения состояния системы представляет собой некоторое движение изображающей точки M в фазовом пространстве [x1, x2, x3], который описывается фазовой траекторией движения системы.

дината времени отсутствует. Время отображается в неявном виде, поэтому фазовая траектория не даёт временную динамическую характеристику системы, но полностью раскрывает динамические свойства системы, показывая не только значения производных (x2, x3) в каждый м о- мент времени, но и закон изменения каждой производной, что по временной динамической характеристике не всегда можно определить. Кроме этого, временную переходную характеристику можно построить по фазовой траектории различными способами.

Фазовая траектория показывает динамику движения системы при ненулевых начальных условиях. Эти начальные условия изображаются начальной точкой фазовой траектории M0. При равновесии в системе, когда изменения регулируемой величины нет и все производные по регулируемой величине равны нулю, то это состояние системы изображается конечной точкой фазовой траектории, которая на-

зывается особой точкой.

25

При изменении начальных условий или начального состояния системы соответственно изменится фазовая траектория. Совокупность фазовых траекторий для определенных начальных условий и состояний называется фазовым портретом системы.

Графически изобразить фазовый портрет в n-мерном пространстве невозможно, поэтому при анализе нелинейных систем ограничиваются двумерной фазовой плоскостью, которая практически позволяет изучить все особенности поведения нелинейной системы.

Фазовая плоскость – это двумерная координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются две переменные (фазовые координаты): регулируемая величина x1 и её первая производная x2

(рис. 2.1, б).

2.3. Фазовые траектории систем

Рассмотрим математическое представление фазовых траекторий линейной динамической системы, переходный процесс которой опи-

Уравнения (2.4) являются параметрическими уравнениями фазовой траектории системы, параметром которых является время. Исключим из уравнения время, разделив второе уравнение на первое:

26