В случае γ – 1 < 0 функцию Ляпунова берем в виде

Находим производную от функции Ляпунова по времени:

2.15. Определение границ абсолютной устойчивости нелинейной системы

В нелинейной АСУ может существовать такая область параметров линейной части, которая обеспечивает абсолютную устойчивость в независимости от конкретной формы нелинейной характеристики.

Для нелинейных систем с одной однозначной нечётносимметричной нелинейностью, у которых передаточная функция линейной части обладает свойством фильтра низких частот, можно определять устойчивость как свойство затухания переходных процессов. Граница устойчивости может быть определена как граница области существования периодических собственных колебаний в системе, т.е. как граница появления пары чисто мнимых корней в характеристическом уравнении гармонически линеаризованной системы.

88

Пусть автоматическая система (см. рис. 2.6) с одной однозначной нечётно-симметричной нелинейностью F(x) имеет передаточную функцию линейной части

Заметим, что характеристическое уравнение системы при гармонической линеаризации нелинейной зависимости, в случае однозначной нелинейности F(x) (q' (A) = 0), имеет вид

Наличие пары чисто мнимых корней в характеристическом уравнении гармонически линеаризованной системы можно определить по критерию Гурвица. При их наличии последний определитель Гурвица n−1 = 0, а остальные определители положительные при любых возможных значениях q(A) (для систем третьего и четвертого порядка это означает просто положительность коэффициентов характе-

ность параметров линейной части системы, при которой в нуль обра-

щается значение определителя n−1(q), а его наименьшее значение име-

ет характер минимума функции. В результате получаем два уравнения:

Исключив из этих двух уравнений величину q(A), можно найти границу области абсолютной устойчивости, которая будет зависеть только от параметров линейной части системы.

Рассмотрим метод определения абсолютной устойчивости на конкретном примере. Дана структурная схема системы (рис. 2.36). Определим взаимосвязь параметров линейной части системы, обеспечиваю-

89

щую абсолютную устойчивость системы с нелинейным элементом F(x), обладающим однозначной нечётно-симметричной нелинейностью.

ОС

Рис. 2.36. Структурная схема нелинейной АСУ

Система задана передаточными функциями:

Запишем характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы, т.е. при F(x) = q(A)x

T1T2 p3 +(T1 +T2 ) p2 +(1+ q(A)T1K2 KОС )р+ K2q(A)(KОС + K1 )= 0 . (2.197)

90

На границе устойчивости согласно формуле (2.191), имеем

Параметр, характеризующий нелинейную зависимость q(A), не вошёл в последнее уравнение. Границу абсолютной устойчивости определяем по параметрам линейной части системы (рис. 2.37)

Дополнительно необходимо проверить положительность остальных определителей Гурвица. Для системы третьего порядка по-

Таким образом, нелинейная АСУ с одной однозначной нечётно-

Рассмотрим случай, когда возможные значения F(x) при нечёт- но-симметричной нелинейной характеристике могут содержаться в интервале угла, ограниченного прямыми k0x и kf x (см. рис. 2.29).

91