Белозеров В.И. Учебное пособие по курсу Техническая термодинамика (исправлено)

По закону Бойля–Мариотта можно записать P V = PV , откуда

i i

где n – число молей компонента; или, деля уравнение состояния для

i

компонента на уравнение состояния смеси, получаем

cì

Исключая все математические преобразования, приведем формулы взаимного перехода от одного состава смеси к другому. Переход от объемных долей к массовым производится по формуле

gi nriΠi , ¦riΠi

i1

àпереход от массовых долей к объемным – по формуле

5.4. Теплоемкость

Для определения количества тепла, которое получает или отдает рабочее тело в процессе нагревания или охлаждения, необходимо знать теплоемкость.

Теплоемкостью называется то количество теплоты, которое необходимо подвести к единице количества вещества (или отвести от него), чтобы повысить (или понизить) его температуру на один градус. Такую теплоемкость называют удельной теплоемкостью. В дальнейшем будем называть удельную теплоемкость просто теплоемкостью.

71

В зависимости от выбранной количественной единицы вещества различают

• массовую теплоемкость, отнесенную к 1 кг массы; она обозна-

• объемную теплоемкость, отнесенную к 1 м3 газа при нормальных физических условиях, обозначаемую Сcи имеющую размерность

• мольную теплоемкость, отнесенную к 1 кмолю газа; она обо-

которое нужно сообщить массе m, кг или объему V , м3 (приведен-

0

m

ному к нормальным физическим условиям), или числу киломолей ,

где C, C c, PC – соответственно массовая, объемная и мольная теплоемкости.

Массовая, объемная и мольная теплоемкости связаны между собой следующими зависимостями:

72

5.5. Зависимость теплоемкости от температуры.

Истинная и средняя теплоемкости

Теплоемкость идеальных газов зависит от следующих факторов: от физических свойств газов, от условий, при которых протекает процесс изменения состояния, и от температуры. Теплоемкость реальных газов зависит, кроме того, и от давления.

Рассмотрим зависимость теплоемкости от температуры. Опыты показывают, что количество тепла, затрачиваемого на нагревание единицы количества газа на одинаковое число градусов при различ- ных температурах, различно. Так, например, для нагревания единицы количества вещества от 0 до 100°С требуется одно количество тепла, а для нагревания от 100 до 200°С – другое, обычно больше первого. Это значит, что теплоемкости для интервалов различных температур неодинаковы.

Зависимость теплоемкости от температуры можно выразить графически (рис. 5.5.1).

Различают среднюю и истинную теплоемкости.

Средней теплоемкостью C называется отношение теплоты q, подведенной или отведенной в процессе, к изменению температуры (t – t ) при условии, что разность температур является конечной ве-

21

личиной.

Допустим, что для нагревания 1 кг газа затрачено q Дж тепла, при

этом температура газа повысилась от t до t , тогда средняя тепло-

íèÿ

73

Теплоемкость, соответствующая данной температуре газа, является истинной теплоемкостью С. Так, ординаты 1,а и 2,b в определенном масштабе дают значения истинных теплоемкостей (рис. 5.5.1).

Исходя из понятия истинной теплоемкости, можно из равенства (5.5.2) получить выражение для подсчета количества тепла в процессе:

t2

Графически интеграл ³Cdt измеряется заштрихованной площа-

t1

дью 1-2-b-а-1, расположенной под кривой 1-2 (рис. 5.5.1). Истинной теплоемкостью при расчетах обычно не пользуются,

так как в процессе подвода тепла она непрерывно изменяется и вычислять количество затраченного тепла очень сложно, поэтому во всех случаях подсчета тепла пользуются средними теплоемкостями:

qC0t2 t2 C0t1 t1.

5.6.Теплоемкость в процессе при постоянных

давлении и объеме

Процесс нагревания рабочего тела (или его охлаждение) может совершаться, в частности, при постоянном объеме или постоянном давлении. Подвод тепла при постоянном объеме называют изохорным, а при постоянном давлении – изобарным. Теплоемкость в пер-

вом случае называется изохорной и обозначается C , а во втором –

v

изобарной и обозначается C .

P

Изохорная и изобарная теплоемкости могут быть массовыми,

объемными и мольными, и соответственно обозначаются C , C , C c,

P v P

C c, PC c, PC c.

v P v

74

Возьмем два цилиндра, одинаковых по размеру, в которых будет содержаться одно и то же газообразное тело при одинаковой начальной температуре и в одинаковом количестве. В левом цилиндре (рис. 5.6.1, а) поршень нагружен постоянной силой, создающей давление Р, и может перемещаться; в правом цилиндре (рис. 5.6.1, б) поршень закреплен неподвижно. Таким образом, газ в левом цилиндре будет находиться под постоянным давлением, а в правом – при постоянном объеме.

Ðèñ. 5.6.1

При нагревании объем газа в левом цилиндре увеличивается, а в правом остается постоянным, следовательно, газ, находящийся в левом цилиндре, совершит работу расширения, преодолевая при этом давление Р; в правом цилиндре работа совершаться не будет. Если при нагревании температура газа в обоих цилиндрах повысилась на (t – t ), то количество тепла, затраченного на нагревание газа, будет

21

неодинаковым. При нагревании газа при постоянном давлении коли-

чество подведенного тепла q будет больше, чем количество тепла

P

q , подведенного при постоянном объеме, т.к. в первом случае часть

v

тепла будет затрачена на совершение работы, т.е.

где l – величина работы 1 кг газа, которая определяет работу расширения газа, т.е.

где v и v – начальный и конечный удельный объемы, м3/êã ñîîò-

12

ветственно.

75

Если считать теплоемкости C и C постоянными, то

Pv

Уравнение (5.6.5) называется уравнением Майера.

Сравнивая (5.6.1) и (5.6.5), находим, что удельная газовая постоянная представляет собой работу, совершаемую 1 кг газа при изменении температуры на 1°С в процессе при постоянном давлении.

Если (5.6.5) умножить на молекулярную массу Π, то получим зависимость между мольными теплоемкостями

При проведении расчетов, связанных с идеальными газами, зна- чение мольных теплоемкостей часто принимают на основании данных молекулярно-кинетической теории газов. По этой теории мольные теплоемкости идеальных газов не зависят от температуры, а являются функцией только их атомности (табл. 5.6.1). Для реальных газов величина k зависит от температуры и давления.

76

Пользуясь величиной k, найдем формулы для вычисления C и C .

k 1

Применение постоянных теплоемкостей допустимо только для приближенных расчетов, для точных расчетов необходимо учитывать зависимость теплоемкости от температуры.

5.7. Расчет теплоемкости газовой смеси

идеальных газов

В зависимости от способа задания смеси теплоемкость газовой смеси может быть рассчитана через массовые или объемные доли.

Допустим, что смесь, состоящая из нескольких идеальных газов, массы которых соответственно m , m , …, m , а их массовые тепло-

веденное к каждому газу,

77

q1 C1m1 ; q2 C2m2 ; …; qn Cnmn .

Сложив эти равенства почленно, получим

Количество тепла, затраченное на нагревание m кг смеси, равно

Аналогично найдем теплоемкость смеси, если последняя задана объемными долями:

т.е. мольная теплоемкость смеси равна сумме произведений мольных теплоемкостей отдельных газов, входящих в смесь, на их объемные доли.

78

Глава 6

ОСНОВНЫЕ ПРОЦЕССЫ ИЗМЕНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ГАЗА

Все реальные процессы изменения состояния газа, происходящие в различных теплотехнических установках, в действительности являются неравновесными, однако в технической термодинамике их заменяют соответствующими равновесными процессами. Из них основными являются

•изохорный – процесс при постоянном объеме;

•изобарный – процесс при постоянном давлении;

•изотермический – процесс при постоянной температуре;

•адиабатный – процесс без теплообмена с окружающей средой, причем все они относятся к политропным процессам, в которых происходит одновременное изменение всех параметров состояния рабочего тела при наличии теплообмена с окружающей средой.

При рассмотрении основных процессов необходимо установить зависимость между параметрами состояния, определить величину совершенной работы, количество участвующего тепла и изменение внутренней энергии, а также изобразить процесс в Pv-координатах.

6.1. Изохорный процесс

Изохорным процессом называется такое изменение состояния рабочего тела, при котором его объем остается постоянным.

Линия, изображающая этот процесс графически, называется изохорой и в Pv-координатах выражается уравнением v = const, т.е. отрезок вертикальной прямой 1-2 (рис. 6.1.1, а).

Связь между термическими параметрами начального и конечного состояний может быть получена из уравнения состояния идеального газа, если принять v = const:

79

откуда видно, что изохоры нагревания направлены снизу вверх, а изохоры охлаждения – сверху вниз.

Аналитическое выражение первого закона термодинамики для изохорного процесса, в котором dv = 0, принимает вид

Таким образом, в изохорном процессе все подводимое тепло расходуется на изменение внутренней энергии газа, а работа расширения равна нулю.

С другой стороны, согласно определению теплоемкости

Поскольку внутренняя энергия является функцией состояния и ее изменение не зависит от характера процесса, приведенные формулы справедливы для любого процесса.

Принимая теплоемкость постоянной, изменение энтропии в изохорном процессе можно записать как

80